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量化投资与机器学习公众号独家奉献

作者 | Martin     编辑 | QIML

3月14日

科学与艺术的结合

2019年11月26日，联合国教科文组织第四十届大会正式宣布，每年的3月14日为“国际数学日”。2023年3月14日是第四个国际数学日！

每年的3月14日，量化投资与机器学习公众号都会报道今年π的主题内容。让我们短暂的驻足，来看看数学与艺术带给我们精神世界的美好世界吧！

今年的主题是：

π与电子音乐

People find these numbers inconceivable — and I do too. Best thing to do is just relax and enjoy it. 

—Richard Feynman

大家可以聆听数学与电子合成器的奇妙声音。

有点魔幻！有点高级！

▍Eurorack模块合成器

电子音乐的设备情况：

Walnut, 104hp, 12U + 2U, Trogotronic m15 20A by BossWood creations

我们选择使用Moog Matriarch，因为它是半模块的-它可以通过内部patch points与模块合成器接口。Matriarch提供了一个微妙的，不断变化的和声结构，奠定了作品的基础。它通过Matriarch的定序器进行内部排序，在零件的中间部分，内部时钟通过 Nonlinear Circuits Triple Sloth的最慢惯性输出进行调制，就像机载延迟一样。

和声语言源自Flunk的作品《Down Here/Moon Above》：

https://www.youtube.com/watch?v=creeCUU_Kmg

我们的工作还包括操作几个采样模块中的样本库——即 Instru Lúbadh、4ms STS 采样器和Make Noise Morphagene。

现场模块合成器照片

▍音频样本来源

1、Richard Feynman：Big Numbers, Fun to Imagine (1983)

https://www.youtube.com/watch?v=nmzHQljJ4bc

2、Apollo 11 Moon Mission

https://archive.org/details/Apollo11Audio/11-03301.mp3

接下来就让我们看看从2013~2022，一年一度的π主题纪念日吧！太精彩了~

今年的主题是：

π与爱情

▍第一幅

I see a wild civility;—

Do more bewitch me, than when art

Is too precise in every part.

每个数字都用不同颜色的点表示。内部的灰点似乎在闪烁——这就是实际的亮度效果。

πi用于表示第i个π的数字。 对应外圆颜色编码第i位，内圆颜色编码第i+1位。相邻位置的内外圆颜色相同。

相邻数字用线条连接：

▍第二幅

设计灵感来自Elena Miska的美丽艾滋病海报。

LOVE IN π—YOU CAN FIND IT HERE

把π计算到13099586位，然后我找到了真爱

对a=0，b=1，…，z=25进行编码，love是数字序列1114214。

该序列首先出现在位置：

13,099,586(…91631111421481873…)

奇怪的是，“恨”（0700194）出现在“爱”之前，排在514,717位。

在前2亿位数中，“恨”出现了23次，是“爱”的6倍。

今年的主题是：

π与折叠路径和频率圈

于那些真正喜欢这种极简主义的人来说， 我们创造了更多复杂但更现代的东西：π频率圈。

但是为了让π的绘制走得更远，我们尝试将它折叠成一条路径，其方法与模拟蛋白质结构折叠的方法相同。研究蛋白质结构的折叠非常活跃——蛋白质的三维结构对其功能而言是必要的。理解它的结构是如何受到底层序列变化的影响， 对于识别细胞中的问题是如何发生的是必要的。

在二维空间折叠蛋白质是一项艰巨的挑战。它是一个NP完备问题，即使路径在网格上实现。我们对寻找能量最优路径进行模拟，最终目标是能够根据蛋白质的序列预测蛋白质的三维结构。图片来自维基百科。(2d折叠，3d形状)

折叠一个数字

使用复制交换蒙特卡罗算法创建折叠路径。

代码地址：http://www.cs.ubc.ca/labs/beta/Projects/REMC-HPPFP/

折叠数字：数字的位数被指定为极性（黑色）或疏水性（红色）。我们搜索能量为-42的路径，表示该路径有42对相邻的7。最大化分配给疏水（红色）状态的邻居数量。在本例中，7s和9s的64位数能量为-42，表明表示路径有42对相邻的7s。

数字（0-9）和状态（极性、疏水性）之间的映射选择是任意的。选择将素数（2，3，5，7 ）指定为疏水的。另一种方法可以使用完美正方形（1，2，4，9）。通过将每个数字分配给一个路径节点来构造路径。这样可以把 分成两个（或更多）的数字分组（31，41，59，26， ..）等等。

折叠64位数的：

路径的能量取决于其看上去多难以实现。每次折叠模拟运行时，你都有机会找到更好的解决方案。对于上面显示的64位π我们模拟了500次，发现了200多条具有相同的低能量路径。有趣的是，带有E=-22的路径是在不到1秒的时间内找到的，并且花了大部分时间来找到下一步。

下面按长宽比排序来展示了100条64位数E=-23的路径。 

100个最低能量路径|这些是100个64位E= - 23的路径——有更多的能量路径。路径按长宽比(宽度/高度)的增加顺序来进行排列。首先是6x14(0.429)， 最后是8x9(0.889 )。(变焦)

模拟64位非常实用-它只需几分钟。在下一节中，我将展示如何运行自己的模拟。

折叠768位数的π——费曼点

让我们折叠更多的位数！768位数怎么样——一直到.99999 。这是著名的π的费曼点。我们在这里看到了第一组连续的6个9。这出人意料地发生得早——在第762位。在这个序列中有298个素数，另外470个是合数。

找到的最好路径是前768位E=-223 (宽度=38，高度= 52，r=0.73, cm=1, cmabs=13 )的π。

选择不强调路径的起点和终点。结束更容易辨认——6 9s很突出。另一方面，找到起点更难。

复数字的π序列中的(d, n)点

费曼点是重复数字的一个特定实例，我称之为(d, n)点。

到达费因曼点的最优路径

下面是我能找到的20条最佳路径的列表。它们的范围从E=- 223到E=- 219。我用一些几何属性来注释每条路径，例如宽度、高度、面积等等。在一些作品中中，这些属性注释路径(能量xxy rcm, cmabs )。

如你所见，路径的尺寸变化很大。低能路径不一定是对称的。小厘米的路径是中心对称的。r≈1的路径被限制在正方形边界内。具有小树突的路径的起点和终点彼此靠得很近。

如果我们不设法进一步推进圆圈，那么作品就不会完整！路径网格是矩形的，但是可以使用以下变换变形为椭圆或圆。

简单地说，每一组同心圆对应一个数字序列π,如3(314 159 265…)或6 (314159 265358…)。给定数字在序列中出现的次数由环的厚度编码。环按其数字的数字顺序向外排列(即内部为0，外部为9)。

对于某些图片，第一个数字(3)与其他组的数字相抵消。寻找的高位数9 s的海报显示π的费曼点(6 9s位数762)。对于显示更多数字的图片，我们试着在组中找到费曼点。

费曼点位于一个非常有趣的位置。如果我们将π分成6组的数字,然后第一个999999正好128组。但是，如果我们把数字按3s分组，那么999和999正好可以分成255和256组(2的幂!)，它可以被排列成16 * 16组的平方。

费曼点是数字d连续出现n次的特殊情况。我将其称为(d=7,n=6)，并提供前1,000,000位中所有这些点的列表。n值较大的点对它们所属的数字组的频率分布有重要影响。如果将序列划分为多个组，则其影响会更小。

今年的主题是：

π与树状图

▍第一幅

我们从一个正方形开始，逐步划分它。在每一阶段，π的数字用于确定分区中使用了多少行。用于分割线的厚度可以被减薄到更高层次。

这种编码数据的方法称为树状图。通常，它用于编码层次信息，例如硬盘的空间使用情况，其中分区对应于目录中文件的总大小。

上色：

▍第一幅

上面的颜色分配是随机的。对于每种形状，选择给定颜色（透明、白色、黄色、红色、蓝色）的概率是相同的。

形状的颜色选择也会受到相邻形状的颜色的影响。要做到这一点，我们需要创建一个图来捕捉每个层次上所有形状之间的邻接关系。下面将展示π树图的前四层及其邻接图。在每个图中，节点对应一个形状，节点之间的一条边表示形状共享其边缘的一部分。只在角上接触的形状不被认为是相邻的。

Mais laisse-moi tomber, laisse-nous tomber
Laisse la nuit trembler en moi
Laisse-moi tomber, laisse nous tomber
Cette fois

But let me fall, let us fall
Let the night tremble in me
Let me fall, let us fall
This time

今年的主题是：

π与引力波

2016年2月，激光干涉仪引力波天文台（LIGO）首次探测到引力波。

探测器中的信号被声波探测到。通过这个过程，任何数据都可以被编码成声音，从而为我们可能错过的模式和结构提供线索——我们最终听到了两个黑洞的声音。嗡嗡声和唧唧声。

运行模拟重力位，π分配一个质量和允许相互碰撞及轨道。

推导如下：

模拟开始于取n个数字的π并将它们均匀地围绕圆形排列。每个数字的质量di（例如：3）由(1+d)^k给出，其中k是质量幂参数，在0.01到1之间。例如，如果k=0.42，那么3的质量是(1+3)^0.42=1.79。

下图展示了一个n=3，k=1的仿真过程。数字3和4碰撞形成数字3+4=7，然后立即与1碰撞形成数字7+1=8。当系统只剩下一个质量时，模拟停止。

给每个质量加上初速度

当质量具有初始速度时，这些图形很快就变得有趣起来。在上图中，质量以零速度运动。模拟一开始，每个质量立即开始直接向另外两个质量的质心移动。

当初速度为非零时，如下图所示：质量首先以它们的初速度运动，但重力立即施加加速度，改变了这个速度。

15000 步效果：

当以不同的初始条件重复模拟时，结果集称为集合。

下面，重复模拟100次，n=3，k=0.2，每次初始速度略有不同。速度的x、y分量均为正态分布，均值为零，方差固定。这四个系统中的每一个都有其模拟在5,000、7,500、10,000和20,000个时间步长上逐步演化的过程。

k值对仿真结果影响较大。当k很小的时候，所有的数都有相同的质量。例如：当k=0.01时，0的质量是1，9的质量是1.02。

当k很大时，质量的差别就大得多。例如，对于k=2，最轻的质量是(1+0)^2=1，最重的(1+9)^2=10。因为质量的加速度与吸引它的质量成正比，在一对质量中，轻质量会加速得更快。

随着数字数量的增加，折叠的模式不会发生质的变化。

做大量的模拟实验。对于不同的n和k值，重复了几次模拟来采样不同的初始速度。

下面是一个很好的例子，说明了一对质量的稳定轨道模式是如何被另一个质量的存在所破坏的。你可以看到，在左边，一旦淡红色的物质离开了橙/绿，它们就会形成一个稳定的图案。

当数字碰撞时，剩下三个质量，这就离开了系统。它们仍然在彼此的引力影响下，但在模拟期间移动得太快，无法回到画布上。

Well I look at it myself as the beginning, really, of an exploration. 

That's the reason we're exploring. You never know what you'll find on an exploration. 

What the sky looks like. 

What the stars look like. 

Will they still twinkle or are they a steady light when you get outside the atmosphere. 

As in all things, you must make your own way through life.

今年的主题是：

π与星座

THE DIGITS OF π AS A STAR CATALOGUE

π的数字解析为12块。每块中的数字被解释为恒星的(x,y,z)坐标，最后一个数字是恒星Mabs。

通过分析前1200万位数，就得到了100万颗星星。每颗恒星的Mapp由绝对星等计算，天空中的经纬度由直角坐标转换为球坐标。

科普：

绝对星等（Absolute magnitude,M）是假定把恒星放在距地球10秒差距（32.6光年）的地方测得的恒星的亮度，用以区别于视星等（Apparent magnitude，m）。它反映天体的真实发光本领。此方法可把天体的光度在不受距离的影响下，作出客观的比较。如果绝对星等用M表示，视星等用m表示恒星的距离化成秒差距数为r，那么M=m+5-5lgr。

通过从数字序列中减去平均坐标（x和y为4999，z为499），坐标以0为中心。

这颗恒星的绝对星等在-5（最亮）到5（最暗）之间。

所以对于第一颗恒星，它到原点的距离（观察行星的位置）：

恒星在宇宙中的位置(x,y,z)被投影到单位球面上，计算它们的经度-180..180和纬度-90..90坐标。

完成这一步后，下一步是找出如何将单位球面投影到页面上。

为了说明每个投影中恒星的排列方式，让我们从一个恒星立方体开始。

为此，我们创建了一个星形目录，它以(0,0,0)为中心填充立方体，边长为10,000。随意将每颗恒星的绝对大小设置为-8，并在此处使用与最终图表中相同的星号编码。

靠近“银河平面”（z坐标接近零）的恒星呈红色。观察行星被旋转，使得这个平面近似于银河系在实际图表中的外观。

在方位角投影中，展示一些相对的半球。北半球地图范围为[- 10,90]，南半球地图范围为[- 90,10]。这提供了一些边缘的连续性。靠近半球边缘的明亮的白色圆圈代表天球赤道。

看到落在立方体表面的星星在图表上的位置是很有趣的。这些代表了这个合成宇宙的最远距离。

从一开始就知道星座在星图中扮演着重要的角色。

下面是在天空中绘制某种图案的早期尝试。这些形状并不由什么特别的东西所驱动。

用灭绝的动植物来填充天空：

代码中实现：

图的各个组件用SVG生成，然后导入Illustrator。

And if you've got to sleep a moment on the road
I will steer for you
And if you want to work the street alone
I'll disappear for you
—Leonard Cohen (I'm Your Man)

今年的主题是：

π与全世界的街道

十字路口的街道段由折线表示，折线在十字路口被中断、拼接，以达到合5-10米的分辨率。

图像中共有108,366,429 条折线，总跨度大约 39,930,000 千米。

提取城市信息

我们从数据集中选择44个城市并用一个以经度和纬度为坐标的0.6*0.6度的方形图块作为样本。这个方块大概对应于一个65 km × 65 km的方形。

这些城市的中心坐标可能和权威坐标有所不同，使用谷歌地图在我们认为是有用的中心的地方确定中心坐标来对街道作为样本。下面这些坐标与导出的折线对应。

每个城市的道路坐标然后通过等距株环状投影图被转化，使得经线之间的距离与纬度之间的距离相等。这由以下过程实现：

其中ϕ是纬度，λ是经度。平均是对于所提取的整个城市的道路区块而言的。以下所有步骤将使用这些转换后的坐标。

让我们来看一个城市，以哥本哈根为例，建立一些对于数据集的印象。

在下面这个放大后的部分图片中，你可以看到这些十字路口（交点）和与交点连接的每一条折线。

进一步放大，你可以看到克里斯蒂安堡宫，丹麦的宫殿之一，并且是丹麦国会的所在地。

创建城市条带

城市条带由对于0.015度*0.015度（转化后的经纬度）的图块取样得到。这个大小大约是1.7千米的方形。

对于条带中的每一个地点，仅当折线的数量在40d≤N<40(d+1)−140d≤N<40(d+1)−1（d是π的数字）之间时，图块以π的数字为顺序被取样。有d=9 的图块仅需要有 360≤N 条折线。

举个例子，第一个图块被对应到 d=3，这必须有120≤N<159条折线，第二个图块被取样以满足密度40≤N<79，因为它与π的下一个数字d=1相关联。

进行进一步对可以接受的图块的选择，使得街道与前一图块相连接。进行极小的城市调整和缝合来尽量实现无缝连接。

下面是一个城市条带集合的例子，城市包括：阿姆斯特丹，曼谷，北京，柏林，哥本哈根，爱丁堡，香港，约翰内斯堡，马拉喀什和墨尔本。

在含π的十个数字的道路上，莫斯科、孟买、内罗毕、新德里、尼斯、布拉格、罗马、斯德哥尔摩、温哥华和华沙的城市条带。

下面放大了以上尝试条带的一部分来展示缝合的结果，每个街道区块在蓝色方框中被标出。

有些区块非常有趣，比如，最下面的条带的第四个区块（是哥本哈根）没有道路横穿区块。

创建世界图块

时间区块是城市条带的二维版本，但是使用了二个及以上的城市。

区块基于π的数字的顺序从城市取样，在6*6的网格上排列。举个例子，第一行的区块对应于314159，第二行对应于265358。每个数字都被分配给一个城市，对应的区块被从对应的城市取样。

对于城市条带，仅当他们与前一区块排列时，区块被选择。这在二维中的实现更具技巧性因为他们必须将一个已选择的区块与其他最多两个已放好的区块匹配。

不像城市条带，在街道密度中不进行选择。

下面是一个使用以下数字对应的城市的世界图块：0：阿姆斯特丹，1：多哈，2：马拉喀什，3：孟买，4：内罗毕，5：罗马，6：旧金山，7：首尔，8：上海，9：温哥华。

在含π的十个数字的道路上，含阿姆斯特丹、多哈、马拉喀什、孟买、内罗毕、罗马、旧金山、首尔、上海和温哥华的世界区块。

下面在图片中央放大区块，然后展示区块取样的城市。

How many ages hence
Shall this our lofty scene be acted over
In states unborn and accents yet unknown!
—Willian Shakespeare (Julius Caesar, Act III, Scene 1)

2019的主题是：

π与排版

海报自动生成，并进行了一些优化，以避免换行、平衡页面上的不同字母、单词长度、特定的数字结尾等等。

你可以用不同的语言下载数字列表0到9。

下载编号词表：http://mkweb.bcgsc.ca/pi/piday2019/numbers.in.languages.tsv

下面是每张海报的数字和单词列表。

▍第一幅

▍儿童版

102种语言

3  Little π

1  what

4  can you tell us?

今年的主题是：

π与诗意

由于今年新冠肺炎的影响，今年π日庆祝活动是短暂的诗意散发，称之为piku。

π的诗意

3  A Three and

1  a

4  one and a four.

或者：

1  Dust

4  in space vacuum

0

3  clogs alien

2  machines.

0

2  Bummer.

0

这些都是nku。就像俳句，是一种结构（行数和音节数）受限于数字的诗歌。

给大家讲一下nku：

俳句，是日本的一种古典短诗，由“五-七-五”，共十七字音组成；以三句十七音为一首，首句五音，次句七音，末句五音。要求严格，受“季语”的限制。

俳句是中国古代汉诗的绝句这种诗歌形式经过日本化发展而来。同时在日本以每日小诗的形式发展。

上面的第一首诗是一个piku（π kuパイク），基于π的前三个数字。上面的第二首诗是nku今年的日期14032020。

最简单的nku是一首三句诗，分别有3、1和4个音节。

3  Three one four

1  One

4  Five nine two six.

具体来说，俳句计算音标发音的数量，并不总是相同的音节。例如，any这个词有两个发音：a-ny。

如果你对如何用日语计数声音感兴趣，可以阅读标记时间和俳句。

http://www.tempslibres.org/tl/en/theo/mode04.html

当然，可以使用较长的单词，但要注意那些只需要一个音节的句子。

3  Numbers are

1  all

4  Equally fun.

3  Land meets sky.

1  Oh

4  It's you again!

你可以使用连字符来计算音节数：

3  Memories

1  for

4  get yourself then.

PIKU的复数形式是PIKU

Piku是singulare tantum ：数形式与单数形式相同。这是因为它的灵感来自俳句，在日语名词中没有不同的单复数形式。

3  Piku is

1  the

4  piku plural.

一般来说，一个piku可能有超过3行。这反映了这样一个事实，即数字的结尾不会终止。

3  Land meets sky.

1  Oh,

4  It's you again!

1  Yes,

5  Who did you expect?

0的处理

数字0是没有音节的一行，相当于一个必修的诗句休止符。但是因为第一个零在π的33处，所以有一段时间你不会看到一个句子中断。

因此，你可以自由地在piku中任何地方引入一个诗行分句，比如说：

3  Hot air breeze

1  cools

4  much hotter things.

3  F 0 0

1  red

4  You add the light.

来，我们自己写一个：

3  piku are

1  not

4  hard to write but

1  good

5  ones are not easy.

今年的主题是：

π与森林

让π的数字显示为森林。森林中的每棵树都代表π到下一个9的数字。前10棵树由数字集：314159、2653589、79、3238462643383279、50288419、7169、39、9、3751058209和749组成。

这些数字控制着树木的生长——但也有大量的植物变异。下面我们来为大家聊聊这些树的成长过程！

森林的规则

1、分支

树的第一个数字控制着从树干上长出的树枝的数量。例如，第一棵树的第一个数字是3，大家就会看到树干上长出了3根树枝。

下一个数字的分支从前一个数字的分支的末端开始，按从左到右的顺序增长。这个过程将继续，直到所有树的数字都用完为止。

大家看上图，第一棵树直到下一个9，生长到314159。每个数字决定了树的每个分叉上有多少根树枝——这里的树枝被相应的数字涂上颜色。叶子按照从左到右的顺序编码这些数字。数字9在前一个数字的一个分支上产生一朵花

分支异常为0，终止当前的分支！

2、树叶和花朵

树的数字本身被绘制成圆形的树叶，用数字的颜色进行编码。

当数字为9时，树叶属于特例，它会导致前一个数字的一个分支发芽开花！这朵花的花瓣是由9之前的数字进行着色，中心是由9之后的数字进行着色，这是在下一棵树上。这就是森林的繁殖方式。

花的颜色由下一棵树的第一个数字和当前树的倒数第二个数字决定。如果当前树只有一个数字，则使用该数字。

树叶按从左到右的顺序放置在树枝的顶端。此外，树叶分布在树内（不扰乱它们从左到右的顺序），尽可能地展开它们，避免重叠。这个顺序是确定的。

叶子位置的例外情况是发芽的分支。这些不是用来生长叶子的，因为花也需要空间！

特殊的例子

子集“09”非常特殊。根据上面的规则，因为0终止了树枝，而9生长出一朵花，所以我们在得到一朵花——树不能生长，但幸运的是，花可以繁殖到下一棵树上。

连续两个或更多的9会产生一系列花朵。下面的这张图以5朵花结尾：

森林的规则是复杂的。树下的标签可以帮助你在数字流中定位自己。地上的花朵没有标签。

树在睡觉

当灯光熄灭时：

768位π

潜水版：

独孤版：

上面几幅图是如何产生的呢？

一棵树的各个方面都有“随机”的变化，比如树枝的长度、角度和生长方向。然而，但随机性也是确定的——总是生成相同的森林。

为了实现这一点，使用每棵树及其前身的数字（除了第一棵树以外，其他树都有一个）来创建一个随机数生成器，这种方法叫：线性同余方法。

树（及其前身）中的数字越多，生成器输出的“随机性”就越大。具有变异的树的每个方面都有自己的生成器。

接下来，我们来讲讲基于上面的核心生成方法：Lindenmayer系统

Lindenmayer系统，简称L系统，是由荷兰Utrecht大学的生物学和植物学家，匈牙利裔的林登麦伊尔（Aristid Lindenmayer）于1968年提出的有关生长发展中的细胞交互作用的数学模型，尤其被广泛应用于植物生长过程的研究。

Lindenmayer系统是一种平行改写系统。系统从一些初始状态开始，通常用字符串表示，例如FX。

在每次迭代中，规则将应用于处于该状态的每个字符，该状态将用其他字符替换该字符。例如，假设我们用[-FX][+FX]替换X。从公理FX开始，前三轮重写给出了：

使用：海龟绘图（Turtle Graphics）：

F move forward distance d

- turn left &theta degrees;

+ turn right &theta degrees;

[ spawn a new turtle at this position facing at current angle

] restore previous turtle

如果我们设置 θ = 15度

每次迭代的形状是：

我们可以将F解释为一个分支，而X是一个点，表示新分支的生长。在第3级时，大家已经看到了两个分支。

π森林的规则非常简单。系统从公理FX开始（扩展一个主干，然后分支），每个数字对应一个不同的分支规则——数字给出了以零结束一个分支的分支数。

每个-或 + 对应于8度的左转或右转。

再回到刚开始这幅图，这个树的Lindenmayer系统字符串如下：

为了给树添加变化，我们取树的数字并创建线性一致生成器为以下每一个：树枝转角，树枝生长速率等等。

每个生成器的构造如下。树的数字𝑑1𝑑2𝑑3…𝑑𝑛被分成𝑎=𝑑1𝑑2𝑑3…𝑑𝑛−1，𝑐=𝑑𝑛，𝑚=𝑑1𝑑2𝑑3…𝑑𝑛。生成器以𝑋0=𝑑1作为种子，然后下一位数字为𝑋1=(𝑎𝑋0+𝑐)mod 𝑚。每个输出𝑋𝑖转换到𝑦×(2𝑋𝑖/𝑚−1)。由于某些树具有大量数字，因此操作是以任意精度库执行的。

第一棵树的LCG。前1000个样本显示在连续两个样本的滞后图之下。和所有的LCG一样，你会得到一个带状图案。

输出将在[−𝑦，𝑦]范围内分配。分布将取决于𝑎，𝑐和𝑚的值。对于某些组合，它可能是均匀的，而对于另一些组合，它可能是绝对不均匀的。但这里，不均匀并不意味着可怕——这只是数字森林中的另一个规则。

每一种类型的变异都是从一个相同的发生器开始的。

大家可能已经注意到，因为分支增长步骤在每次迭代中翻倍，所以分支由64个海龟步骤组成。这样做是为了有很多机会在一个分支上采样变异。

这意味着变异可以沿着一个分支建立起来，特别是当我们让海龟在分支生长的时候转向相当多的时候。记住，树枝一开始是朝一个特定的方向生长的，但它也可以沿着生长的方向改变方向。

下面我展示了当我把每个变异类型增加200%和300%时会发生什么：

2022年π的纪念主题：

π与音乐

There you go
Straight
Number me not
Scales
There is more of me
To forget than you can remember

—Emma Beauxis-Aussalet

2022年我们根据 π 的数学原理创作了一张专辑，这张专辑名为《three one four: a number of digits》，从音乐上诠释了以π（314…）开头和以π（264）结尾的数字。

这张专辑是为20世纪古典音乐风格的钢琴独奏配乐——每首曲子都有独特的曲风，有来自Boulez，Feldman，Glass，Ligeti，Monk和Satie的风格。

Tracks

1 | 314... (1:05)

2 | Feynman Point (2:56)

3 | Wallis Product (2:38)

4 | nn (2:13)

5 | null (4:55)

6 | ...264 (2:12)

每首都伴有一首piku，这首诗的音节数由π的数字序列决定（请查看2020年的具体介绍）。

什么是piku？piku就像俳句，是一种结构（行数和音节数）受限于数字的诗歌。

给大家讲一下nku：

俳句，是日本的一种古典短诗，由“五-七-五”，共十七字音组成；以三句十七音为一首，首句五音，次句七音，末句五音。要求严格，受“季语”的限制。

俳句是中国古代汉诗的绝句这种诗歌形式经过日本化发展而来。同时在日本以每日小诗的形式发展。

上面的第一首诗是一个piku（π kuパイク），基于π的前三个数字。上面的第二首诗是nku今年的日期14032020。

最简单的nku是一首三句诗，分别有3、1和4个音节。

3  Three one four

1  One

4  Five nine two six.

具体来说，俳句计算音标发音的数量，并不总是相同的音节。例如，any这个词有两个发音：a-ny。