那些能把数学讲明白的牛人

教育

2023-05-19 22:05

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最近看了一个YouTube视频，来自英国皇家科学院（The Royal Institution）频道，讲述了数学发展的历史，非常精彩，值得和大家分享，特别是学生和有孩子的家长。在视频后面还介绍了一位传奇的MIT数学家。

我们习惯通过做题来学习数学，但这次的讲座将人类数学发展的大图景展示给我们，我们不仅能看到树木，更能看清整个森林，数学显得不再那么高深和枯燥。

演讲者是一位华人学者，何杨辉（Yang-Hui He），一位数学物理学家。他是设在英国皇家学会伦敦研究所的研究员，也是牛津大学默顿学院的讲师和前研究员。

我简要总结了演讲内容，如果有机会，建议直接观看视频，链接放在文章最后。

第一个阶段是古希腊的几何学。

在古代，不同的社会都对几何学有一定的理解，但希腊人进展最快。

数学家欧几里得收集了古代世界所知的数学知识，并制定了非常特殊的东西 - 公理（axioms）。他尽量用最少的公理来形成数学基础，然后我们可以从这些看似最简单的公理出发，用逻辑推导出其他所有内容。这对人类来说是一大突破。

他提出了著名的五条几何学公理，构成了数学的基础。其中最具挑战和争议的是第五条，即给定一条直线和一个不在该直线上的点，存在一条唯一的平行线。这个问题在一千多年后推动了人类进入一个完全不同的世界。

第二个阶段是阿拉伯世界。

数学的中心在9世纪从古希腊转移到了阿拉伯世界，阿拉伯数学家穆罕默德·伊本·穆萨·花剌子米写下了《代数学》。我们正是从他的名字中得到了 "algorithm"（算法）这个词。

然而，他给我们带来的不仅仅是一种方法。他还为我们带来了代数这个词，它源于阿拉伯语中的 "al-jabra"。希腊人擅长几何学，而代数的出现则是在阿拉伯世界的波斯。

然而，在欧洲，学者和神学家继续研究几何学，思考与恒定加速度有关的问题。

第三个阶段是解析几何学。

在这个阶段，数学的重心回到了欧洲，希腊的几何学和阿拉伯的代数相结合，发展出了解析几何学。笛卡尔提出了坐标几何学的概念，将几何图形与代数方程联系起来。

在这个时代，牛顿和莱布尼茨为解析几何学添加了另一层面，即微积分。微积分将笛卡尔的解析几何学与无限小的思想结合起来。

微积分的发展彻底改变了数学和物理学。1687年，随着牛顿的著作《自然哲学的数学原理》（Principia Mathematica Philosophy and Naturalis）的出版，世界进入了一个全新的时代。

在微积分之前，人类只能用数学描述间断性的运动，就像笨拙的机器人。然而，几乎所有运动变化都是连续的。通过牛顿、欧拉等人的贡献，人类终于能够描述和计算世界的连续变化和累积。

因此，在演讲中，何杨辉将世界分为1687年之前和1687年之后。牛顿之后，人类终于能够用数学来描述、解释和预测所有自然现象，从海洋的潮汐到恒星的运动，甚至苹果掉落的现象。

他还提出了一个经典的描述世界的公式：

。我用ChatGPT4给出了一个通俗易懂的解释。

理论上，到这个阶段，数学已经非常完善。但是，人类的智慧超出了我们的想象。

第四个阶段是非欧几何时代。

数百年来，一些数学家开始怀疑古希腊的第五公理的合理性，并试图从古希腊的四条公理中推导出第五公理，即给定一条直线和一个不在直线上的点，存在一条唯一的平行线。然而，事实证明这是不可能的。

一个无法解释的例子是地球的经度线，就像下面这张图一样，经度线在某一点上是平行的，但它们在北极相交了。

然而，匈牙利数学家鲍耶和欧拉开创性地试图创建一个放弃第五公理的几何学体系。这就诞生了全新的几何学公理理论，非欧几何学，为现代物理理论（如爱因斯坦的广义相对论）奠定了基础。

高斯和黎曼将非欧几何学发展为一种新的几何学，即微分几何学。他们重新定义了数学的基本概念，例如线。

在这个几何学体系中，一些奇怪的事情开始发生。例如，三角形的内角和不总是180度。相反，它们可以是270度或任何其他角度的和。就像这个三角形，三个角都是90度。

世界进入了非欧几何的新时代。

在这个时期，实验家法拉第和麦克斯韦如何发现光不遵循伽利略物理学中的电磁波传播定律，这与牛顿的物理学相矛盾。

爱因斯坦基于此意识到，整个牛顿物理学需要被放弃。这导致了相对论和现代物理学的发展。

狭义相对论改变了我们对物体运动和时空观念的理解，揭示了在高速运动中物体行为的非直观特征，并且需要用更复杂的数学和理论来描述这些现象，这超出了简单的

运算所能涵盖的范围。

这张大图给出了许多里程碑式的数学家和物理学家。

这些天才们，站在一个又一个巨人的肩膀上，谱写了最美的自然规律。从古希腊的欧几里得，到阿拉伯的花剌子米，再到欧洲的伽利略、笛卡尔、牛顿、莱布尼茨和欧拉，一直到高斯、黎曼、法拉第、爱因斯坦等等。有时是继承和发展，有时是颠覆性的挑战。

英国皇家科学院（The Royal Institution）频道是世界上享有极高声誉的机构之一。我在两年多前的一篇文章中推荐过这个机构的讲座。他们在YouTube上提供免费的视频。

我之所以看到这个视频，是因为我在寻找另一个数学家Gilbert Strang教授的视频时，Youtube的算法推荐给我的。

Gilbert Strang是麻省理工学院（MIT）的教授，他的线性代数公开课已经在YouTube上讲了十多年，成为全球数百万学生学习数学的圣殿。视频链接在这里。https://www.youtube.com/watch?v=ZK3O402wf1c&list=PL49CF3715CB9EF31D&index=1

B站也有很多他的视频。https://www.bilibili.com/video/BV1zx411g7gq/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=6926395883337af73ff6ff1d25f4aa1b

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来源: qq

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