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哥德尔证上帝存在(详解版)

哥德尔证上帝存在(详解版)

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解释一下哥德尔的证明中出现的符号的含义:谓词Pos表示“Positive propertis”,这是一个二阶谓词,Pos(A)即“属性A是肯定属性”;G(x)表示“x是类上帝的(God-like)”;Ess(P,x)表示“Px的本质属性”;NE(x)表示“x必然存在”。
在下面的证明中,A表示Axiom公理;T表示Theorm定理;D表示Defination定义;C表示Corollary推论:

我们从头开始讨论这个证明。公理A1的含义是“对于任意属性PP是肯定属性,当且仅当非P不是肯定属性”,A2的含义是“如果P是肯定属性,且对于任意个体xx具有性质P则具有性质Q是必然的,那么Q是肯定属性”。公理A1对所有属性进行二分处理:要么P是肯定属性,要么非P是肯定;公理A2说明:任何肯定属性P必然的逻辑后承也是肯定属性。这可以简单理解为:肯定属性不会引起非肯定属性。
T1的含义是:如果P是肯定属性,则可能存在xx具有属性P。我们也可以称“x具有属性P”为“x例示属性P”。那么如何证明T1呢?证明T1需要一个引理:x=x是肯定属性。下面证明引理:如果x=x是否定属性,则根据A1,有x≠x是肯定属性;根据一阶逻辑定理和必然化法则,我们有

根据A2,我们有对于任意QQ是肯定属性;令Qx“x=x”,则x=x是肯定属性,这与A1矛盾,则引理得证。下面证明T1:如果“所有x没有性质Q”是必然的,则根据一阶逻辑+必然化法则有

由于我们已经证明x=x是肯定属性,则根据A2可得“非Q是肯定属性”,根据A1有“Q不是肯定属性”,矛盾,反证T1成立。
D1是对“类上帝”这个属性G作出说明。称x类上帝的,是指x例示全部肯定属性。这个定义还是很好理解的,上帝是全知全能全善的嘛,自然包含一切肯定的东西了。
A3是公理:“类上帝”这个属性是肯定的。根据T1,可能存在类上帝的个体。
A4是公理:如果P是肯定属性,那么P必然是肯定属性。
D2是解释“属性Px的本质”的含义:Px的本质,当且仅当,x具有属性P,且如果x具有属性Q,那么必然地,y有属性Py有属性Q。“属性Px的本质”相当于找到了一个属性P能完美刻画了关于x的一切,有且只有x能满足P
T2:如果x是类上帝的,那么“类上帝”是x的本质属性。这是因为G(x)当且仅当x具有一切肯定属性,那么根据属性的二分法,x所具有的属性恰好就是全部肯定属性;现在假设y是类上帝的,那么y所具有的属性也恰好就是全部肯定属性。T2得证。
D3是解释了“x必然存在”的含义:“x必然存在”,当且仅当,如果Px的必然属性,那么必然存在x满足属性P。换言之,如果x必然存在,那么x的每个本质属性都必然被例示。
A5是最后一条公理:“x必然存在”是肯定属性。
L是引理。如果存在x具有类上帝的属性,那么x也具有“必然存在”的属性,根据D3T2,我们知道必然存在y是类上帝的。又因为模态逻辑公理

由于“如果存在x是类上帝的,那么必然存在x是类上帝的”,我们可以推出:如果存在上帝是可能的,那么“必然存在上帝”是可能的。而根据模态逻辑,

因此如果可能存在上帝,那么必然存在上帝。而在推论C中我们证明了可能存在上帝,因此上帝必然存在。

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