数学推理问题是语言模型绕不过的痛点，在各种黑科技的加持下，开源模型的推理性能依然不够看。

最近，滑铁卢大学、俄亥俄州立大学、香港科技大学、爱丁堡大学的研究人员联合开源了一个专为「通用数学问题」定制的大模型MAmmoTH和一个指令调优数据集MathInstruct.

论文链接：https://arxiv.org/pdf/2309.05653.pdf

项目链接：https://tiger-ai-lab.github.io/MAmmoTH/

MathInstruct由13个具有中间原理的数学数据集编译而成，其中6个为新数据集，混合了思想链（CoT）和思想程序（PoT），并确保覆盖了广泛的数学领域。

CoT和PoT的混合不仅可以释放工具使用的潜力，而且还允许模型针对不同的数学问题进行不同的思维过程。

因此，MAmmoTH系列在所有尺度上的9个数学推理数据集上的表现大大优于现有的开源模型，平均准确率提高了12%至29%。

其中MAmmoTH-7B模型在MATH（竞赛级数据集）上的准确率达到了35%，超过了最好的开源7B模型（WizardMath）25%，MAmmoTH-34B模型在MATH上的准确率达到了46%，甚至超过了GPT-4的CoT结果。

数学推理领域新王：MAmmoTH

在数学推理任务上，开源和闭源的大型语言模型（LLM）之间存在巨大的性能差距，目前基准数据集上的sota仍然是GPT-4，PaLM-2和Claude等闭源模型，其他开源模型如Llama，Falcon和OPT等仍然远远落后。

为了弥补性能差距，主要的研究方法有两类：

1. 如Galactica，MINERVA等模型，继续使用数学相关的网络数据对语言模型进行训练，可以提高模型的通用科学推理能力，但计算成本会更高；

2. 如拒绝采样微调（RFT）和WizardMath等，使用特定领域数据集对模型进行微调，虽然可以提高领域内性能，但无法适用于更广泛的数学推理任务。

在解决数学问题时，现有方法通常会采用思维链（CoT）方法引导语言模型循序渐进地用自然语言描述来解决数学问题。

虽然在大多数数学主题下表现出很好的通用性，但在需要精确或复杂的数学计算、算法推理的问题下（如求解二次方程根，计算矩阵特征值）表现不佳。

相比之下，思维程序（PoT, Program-of-Thought）方法和PAL利用外部工具（即Python解释器）大大简化了数学求解过程，将计算过程卸载到外部Python解释器，以解决复杂的数学和算法推理过程（例如，用sympy求解二次方程或用numpy计算矩阵特征值）。

然而，PoT在处理更抽象的推理场景方面有所欠缺，尤其是在没有内置API的情况下，常识推理、形式逻辑和抽象代数的推理能力会更差。

方法概述

研究人员的目标是编制一个高质量、多样化的数学指令调整（instruction-tuning）数据集列表。

1. 覆盖不同数学领域和复杂度

更全面的数据集可以让模型接触到多样化的数学知识，提升模型的多功能性。

研究人员将选择范围缩小到几个被广泛采用的高质量数据集，包括GSM8K、math、AQuA、Camel和TheoremQA.

还可以注意到，现有的数据集缺乏对大学水平的数学知识的覆盖，如抽象代数和形式逻辑，所以研究人员选择使用GPT-4来合成TheoremQA问题中的思维链（CoT）原理，利用网络上找到的数个种子样例，通过自我指导（self-instruct）创建问题和CoT的数据对。

2. 混合CoT和PoT

现有的研究方法大多只关注CoT，并且数据集中也只包含有限的解题思路，导致CoT和PoT的数据量十分不均衡。

为了解决该问题，研究人员利用GPT-4来补充选定数据集的PoT解题思路，通过对比合成程序的执行结果以及人工标注的答案进行过滤，确保生成数据的高质量。

遵循上述方法，最后得到了26万条指令、回复数据对，涵盖了广泛的核心数学领域，如算术、代数、概率、微积分和几何等，混合了CoT和PoT基本原理，并提供多种语言、多个难度级别的数据，足以证明数据集的高品质和独特性。

训练步骤

研究人员统一了MathInstruct中的所有子集，将指令数据集的结构标准化为Alpaca模型的格式，使得模型无需考虑原始数据集的格式，在微调阶段统一处理数据即可。

研究人员选择开源模型Llama-2和Code Llama作为基础模型，在7B、13B、34B和70B尺寸的模型上进行微调。

实验部分

评估数据集

研究人员选择了不同数学领域下的样本，对模型的通用数学推理能力进行评估：

领域内数据集包括GSM8K，MATH，AQuA-RAT，NumGLUE；领域外数据集包括SVAMP，Mathematics，SimulEq，SAT-Math和SimulEq，涵盖了小学、高中和大学水平的数学问题，部分数据集甚至包括形式逻辑和常识推理。

问题类型为开放式问题和多选题，其中开放式问题（如GSM8K、数学）采用PoT解码，因为大多数问题都可以由程序解决；多项选择题（如AQuA、MMLU）采用CoT解码。

CoT解码不需要触发词，PoT需要触发短语「让我们写个程序来解决这个问题」（Let’s write a program to solve the problem）。

实验结果

总的来说，MAmmoTH和MAmmoTH-Coder在不同的模型尺寸上均优于SoTA模型，并且在领域外（OOD）数据集上的增益要显著优于领域内（IND）数据集，展现出了该模型作为数学通才模型的潜力，甚至在几个数据集上，MAmmoTH-Coder-34B和MAmmoTH-70B甚至超过了闭源模型。

在领域内数据的评估，MAmmoTH模型的主要竞争对手是WizardMath和Platypus，其中WizardMath的训练深度依赖于GSM8K和MATH数据集，Platypus在更广泛的文本和数学推理数据集上对LLM进行微调。

相比之下，MAmmoTH实现了全面的改进，并且更擅长解决复杂数学问题，相比WizardMath（MATH数据的sota）的增益最高超过了25%

在领域外数据评估中，主要竞争模型依然是Platypus，不过MAmmoTH可以实现比领域内数据更高的性能提升，展现出对未知数学问题的通用能力。

值得注意的是，MAmmoTH-7B还将WizardMath-7B在MMLU-Math上的CoT性能大幅提高了9%，其中包含大量没有在训练数据集中涵盖的主题。

不同基础模型之间的对比

可以发现，Code-Llama作为基础模型时的效果始终优于Llama-2，尤其是在领域外数据集上，二者之间的性能差异甚至达到了5%，其中MAmmoTH-Coder（34B）在领域外数据集上的平均性能实际上高于MAmmoTH（70B）

研究人员认为，MAmmoTH-Coder从Code-Llama的持续代码训练中受益匪浅，不仅增强了PoT能力，还提高了Llama的通用推理技能。