小学数学应用题：从常规训练到思维的火花

今天简单给大家讲一讲小学数学应用题训练的脉络。借用一张B课程的图👇，小学课本安排的思路是，先一般应用，再典型应用，在每个学期也都会穿插一些典型/特殊应用题，低年级作为拓展，逐步渗透，直至高年级变成一个专项。这些典型应用题就是经常出现在我们看到的难题/小奥题里。‍‍‍‍‍

（本页选自B课程，主要讲家长支持技巧的）

上图列了一下什么是一般应用题，什么是典型应用题，其中典型应用题并没有写全，如果林林种种细碎的都写上，都要二三十种，然而实际上有些如今被当作典型应用题来看的如比例问题，也应该看作一般应用题，当然这个分类不是今天我们要讲的最重要的部分。‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

重要的是：一，为什么要分一般和典型？二，为什么先一般，再典型？‍‍‍‍‍‍

小学生主要要学习的是数的概念，以及四则运算。在学习数与运算的过程中，就需要通过一些具体情景来锻炼孩子解决问题的能力，说白了就是你学了数和运算有什么用？所以每次学习新运算后，课本都会安排一些应用题来做基础练习。这通常就是一般应用题，着重于数与运算的应用。‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

从这个角度来讲，我们就很清楚，可以把一般应用题再分成整数/小数运算应用题、分数/百分数运算应用题，以及到了六年级要学的比和比例关系的应用题（但这个也往往因为某些情景的特殊性而被看作典型应用题）‍‍‍‍‍‍

就第一学段（小学一二年级）来讲，通过一般应用题孩子们主要要掌握两种结构：加法结构和乘法结构。‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

加法结构：对应的是整体部分关系。减法是加法的逆运算。

乘法结构：对应的是总量分量关系。除法是乘法的逆运算。

到了第二学段（小学三四年级），孩子学了混合运算，连乘连除，因而一般应用题里就会出现对应的题，上升到了一般复合结构应用题。这些应用题也会衍生出典型应用题。如乘除混合中，就有一类典型应用题，称为“归一归总问题”，而涉及逆运算的一些基本训练/一般应用，也自成一派形成了典型的还原问题。‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

到了第三学段（小学五六年级），主要进入了分数应用，比和比例的学习。‍‍‍‍‍‍‍

以上是一般应用题发展的路线，那么典型应用题呢？虽然在第一学段我们也能看到一些典型应用题，如排队问题，间隔问题。但实际上真正进入典型应用题训练的，是在孩子们已经完全掌握了四则运算（及相应的运算结构）后，即第二学段开始的。什么和差倍问题啊，行程问题，年龄问题，盈亏问题，等量代换问题啊等等。之所以称为典型应用题，因为之类题目的情景特殊，特征典型，在这种特定的情景下，可以找到特殊的规律来解题（如植树问题/间隔问题就可以通过找到点和区间的规律来解题。也就是说，学习典型应用题，就是孩子能够通过反复琢磨反复练习，察觉到一类典型情景的规律是什么，找到其中特殊的数量关系，利用之前学习过的加、减、乘、除的运算工具，去解决问题。这就是为什么必须先一般，再典型。‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

想象一下，如果一个孩子在一般的情景里都无法识别加法结构，乘法结构，看不出题目中的复合结构，整体部分关系搞不清，总量分量也搞不清，那怎么去识别一些典型而复杂的问题，把里面的数量关系搞清楚呢？

如行程问题，就是一个典型的乘法结构模型，行程问题里的时间、速度、路程三者的数量关系，就是两个因数与积的关系；三个量各自发生了变化，就衍生出各类行程问题的分支；学过比例后，就可以从正比反比角度来思考，而这也是从最基本的乘法运算规律逐步演变而来。‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

如盈亏问题，也是一个典型的乘法结构问题，要用的无非是乘法的互补性，补偿原理。如果孩子连一般应用题里，各种各样普普通通的情景都无法识别里面什么是“份数”，什么是“每份数”（在我的课程体系里比喻为“盒子数”与“包含两”），搞不清什么情况下积不变，对“此消彼长”的规律熟视无睹，那么如何在盈亏问题里识别出相应数量变化的因果关系呢？

也就是说，孩子如果无法在一般应用题层面能够达到快速识别数量关系，运算结构，不能用这种较为抽象的方式思考问题（真正去理解运算结构），那么进入典型应用题就铁定是抓瞎的。就只能等着老师来告诉他，特定的解题方法是什么，然后记住这种方法，不断去套入解题。而这根本上来讲，他的抽象思维能力没有得到训练和提高，他无非在做一件复制拷贝的事。‍‍‍

在数学上，语言是苍白的。语言往往造成误解，无法把抽象概念的内核道明。所以应用题的训练与计算训练不同且更有难度的地方在于，它需要孩子能更多地去“悟”，去琢磨“模式规律”，看不透这些，就意味着仍然是个“门外汉”，火候不到。‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

在一般应用题的训练中，我们讲求孩子能够把思考过程有序化，能够掌握一般的解题思路。‍‍‍‍‍‍

如第一学段，要掌握两类加法的一般应用题：求整体；求比一个数多几的比较类应用。对应减法有三类：求部分；求比一个数少几；求相差量。它们都可以归结为整体部分模型。如果孩子get到里面的结构，解题的思路相当简单：‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

第一步：找什么是整体，什么是部分，关系怎样。

第二步：问题问的是整体，还是部分。

第三步：求什么列什么算式。‍‍‍‍

这里有难度的无非是比较类问题，但是即便是课本，也已经将比较类问题的训练思路讲的很清楚，把它们转化为整体部分关系来解答就可以了。‍‍‍

掌握乘法应用题，除法应用题，也是同样的，无非是变成总量分量模型。其中有难度的是倍数问题，但是一旦把“倍”看成“份”来思考，难度系数立马就降低了。‍‍‍‍‍‍‍‍

你看，这里考察和训练的就是孩子的抽象思维能力。你甭管倍的对象是果园里的树木，还是距离，还是时间，还是年龄，还是各色各样有形无形的事物，你统统看成“1份”和“几份”就完事儿了～简单吧？你觉得很简单，可是轮到你孩子去学，就是过不了这个坎儿？为啥？因为大多数父母不知道怎么训练，他们能讲题，能把方法一次一次说出来，但是就是做不到“点睛之笔”，没办法让孩子的思维抽象到那个特定的模式上。还有，他们认为需要用很多语言来解释这道题，辅导过程简直可以写上一篇小作文。家长能把里面的情景，对象都拆解得清清楚楚，老师讲数学题就跟上语文课一样，分析句式语法，这类讲法实际上都是围绕着具体事物和情景在讲，讲了故事，但没有抽提出里面的本质关系。所以一旦题目从果园里的树，变成了运动场上的得分数，变成了爸爸和儿子的年龄，语言结构，语序稍加变化了，孩子就认为这是一道完全不同的题，得重新来讲。‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

当然，这种就题讲题的方式，也并不是总是无效的。因为毕竟有些孩子天赋好，在你为他们展示了人类世界的纷繁复杂后，某些孩子就能抓住本质，他们看到的和你说的是不一样的（他甚至高你一筹），随便你说得天花乱坠，他们有自己理解事物的一套方法。‍‍‍‍‍‍‍‍

但不幸的是，并不是所有孩子都是这个样子的，大多数父母会绝望于完全无法让一个孩子举一反三，也绝望于自己无论如何都得不断重复，且看不到一点儿希望。‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

数学的概念是层层递进，环环相扣，概念的抽象程度一个比一个高，而且相互包含，因而上一个层次没有弄清楚，自然就会影响下一个层次的理解。‍‍‍‍

最典型的就是分数应用题。可以说分数的一般应用题思考程序也相当简单：找出情景中的“单位1”是哪个量？根据分数乘法的意义，用“单位1”的几分之几等于多少来求解。这个“单位1”有时候不是直接告诉你的，它可能包含了一个加法结构，你需要加加减减算出来，或者包含一个乘法结构，你需要通过求积算出来。如果一个孩子头脑中没有“和”、“差”、“积”这些概念，用这些概念来思考问题，他们如何能在更复杂的情景中抓准解题思路呢？更不要说有些非常直白的“单位1”孩子也无法分辨出来，那么就是孩子对于“整体部分”的相对性这种抽象思维能力还不具备/还不熟练。‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

在学习分数概念的时候，很多孩子始终没有弄明白，分数既可以表示具体的量，也可以表示某种关系。这个概念没有弄清楚，那么到分数除法应用题里，就会搞不清具体量和分率的关系。‍‍‍‍‍

说到关系，甚至许多孩子你跟他说“关系”，他也听不懂。“关系”毕竟也是一个抽象的概念。如果孩子没有在第一学段理解，两个量的关系，就是和、差、倍，从来没有人跟他们讲过，和差倍所指的是两个量的基本关系，甚至他们在第一学段，就没有学会用“和”，“差”这些概念思考问题，从来都是“这个加上那个”，或者“这个减去这个”这样含混具体的描述，那么也就是说他们头脑中都还没有建立最基本的概念，又如何去应用呢？‍‍‍‍‍‍‍

这就是我要说的，先一般，再典型。一般应用题训练的是对基本概念的应用，锻炼孩子的抽象思维能力，能够快速识别运算结构和数量关系。‍‍‍‍‍‍‍

典型应用题我们学习的是数学思想方法，其实小学部分也谈不上熟练掌握，而仅仅是“我教你，你去体会”这种渗透和积累经验。一些孩子真的可以在进入第三学段的时候深刻领悟到数学的思想方法，从而应用自如。大部分孩子在抽象思维发展的道路上仍然有很长的路要走，但不要忘记，无论如何12-14岁孩子都应当进入了形式运算阶段，可以开启思考抽象的抽象了，用概念来思考问题是必然的了。‍‍‍‍‍‍‍‍

前面我们讲的是小学课本编排的原理，训练的原理：先一般，再典型。训练一般应用题的时候要注重概念的理解和应用，要说题，最终孩子能指向一种清晰明了的解题思路并熟练地阐述出来，为最佳。‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

下面我要说的是，家长辅导的技巧，不要过于刻板，闭门造车，钻牛角尖。我们成人必须考虑一点：人的情绪情感。如果说成年人可以为一个目标，坚持不懈奋斗，感足马力地干。那么你不要奢望在小学这个年龄段里大多数孩子都有这样钢铁般地意志。当然，可能成人你也不一定具有不搞定一件事就坚决不买一件衣服的意志，往往立了一面flag，又自己打脸，这种事也并不稀罕。

训练还是需要有一些调剂，有一般，也有典型，有应用，也有计算，有代数，也有几何，穿插着进行。课本编排得如此“细碎”自然也是因为出于这样的理由，不想让孩子觉得太枯燥乏味，毕竟把所有孩子都培养成数学系高材生这样的特殊人才不是国家的目的，当然也是实现不了的。‍‍‍‍‍‍‍‍‍

所以不要因为学霸们认为应该加大力度垂直训练，挖深，继续挖深，你也跟着一起挖呀挖。有些人最后能挖到“宝藏”，有些人总是会完美避开“宝藏”。‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

如果要培养孩子对数学学习的热情，方法并不唯一。有的人是通过讲故事，有的人是通过爸爸妈妈锲而不舍地指导帮助，有的人是靠不断挑战孩子，有的人甚至告诉你是通过动画片。但无论别人觉得多么有用的方法，换成自己和孩子，就不一定能成功。所以不必要去追求某种特定的方法，但一定要注意下面这点👇。‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

无论如何有一点是肯定的，如果你察觉孩子情绪低落，最近没有什么兴致，或者已经表现出越来越抗拒，那么你一定要做出改变，你要去尝试做出调整。不是让你彻底放弃，而是让你在现有的做法上，提供一些新鲜感，让你们跳出那个怪圈，从固有模式进入一种新鲜的模式。不要始终采取一层不变的训练态度。‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

我比较建议对于处于中间层-中上水平的孩子，能够树立两种完全不同的辅导风格：一种是常规的，维持你的日常辅导行为；另一种全新的，可以选择一个特定的时间，给这个特定的时间取一个名字，代表你们在这个时刻会进入某一场景，开启一段不一样的旅程。‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

举个例子，我曾经建议家长在双休题开辟1-2个特定时间，根据第一学段到第三学段，或者孩子本身的韧性，时长设置为30-60分钟，可以命名为“数学加油站”，你们在这段时间里可以围绕一个问题展开讨论。

也许还可以命名为“火花时刻”，“思考吧”，“我们的秘密”......等等，欢迎读者献上你们的创意‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

当我们构想了不同的场景，不同的目标，我们的方式可能就不同了。下面给大家分享一些家长在带孩子挑战较难问题时的做法，以及孩子的进步：‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

第一例子：“猜”老师的设计思路。‍‍

第二个例子：让孩子感受难度是如何递进的

第三个例子：从接触到水到渠成，逐步破案‍‍‍‍‍

如果你也想利用每周末一小段时间和孩子尝试这种无压力的学习方式，可以试试寒假的F课。作为典型应用题训练的代表，F课提供家长的训练方法与常规应用题训练有所不同。F课从几个简单问题入手，逐步递进，对题目进行变化，演变成一道较难的超越题。一课一个主题，家长可以带着孩子进入你们的秘密思考基地，开启每周1-2次的秘密会谈，没有必须完成的目标，只有保持思考的习惯，让思维的火花不断涌现，让孩子始终保持接触挑战，面对挑战，勇于思考的习惯。在无压力的学习中，孩子更能激发创造力～‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

温馨提醒：寒假课报名截止1月15日。‍‍‍‍‍‍

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