九省联考数论压轴题的官方答案很有问题！
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４，高考非常难，而中考却简单的新形势下，该如何整体规化初高中数学学习？？
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我在前几天的文章中说到这道压轴题的解答，需要用到费马小定理。结果官方答案出来了，是直接证明了费马小定理，而且证明整整占了7分。
其实在整门初等数论课程中，费马小定理是比较深刻的一个结论，其各种证明都需要用到不少预备知识。比如这个官方答案给出的证明，虽然有用到“两两不同”的前提条件，但还是用到了一个非常非常重要且很不简单的引理：
引理：若素数p能整除整数a和整数b的乘积，则p要么整除a，要么整除b。
这个引理直觉上看，感觉应该是很简单的，似乎可以直接用。但这只是错觉。我估计出题人可能也产生了这种错觉。
实际上，这个引理的证明绝不简单。这个引理可以由算术基本定理直接推导。
算术基本定理：每个大于1的正整数都可以分解成素数的乘积等于，而且在不考虑次序的情况下，这种分解是唯一的。
推导过程如下：若素数p能ab，但p不整除a也不整除b，这时ab就有两种素数分解，其中一种分解出现p，另一种分解不出现p，这和算术基本定理就矛盾了。
反过来这个引理也可以用来迅速地证明算术基本定理中的唯一性。
这里就出现了学习初等数论课程的一个非常普遍的盲点，很多学生在没有证明这个引理的情况下，直接利用这个引理试图给出算术基本定理的一个完整的证明。
这样的证明肯定是不完整的，而且有循环论证的嫌疑。想要利用这个引理证明算术基本定理，你首先要先证明这个引理。
证明这个引理最普遍的做法是先证明裴蜀引理，然后利用裴蜀引理推出这个引理
裴蜀引理：两个正整数a和b互素当且仅当存在两个整数x，y使得ax＋by＝1。
以上这些来龙去脉，我甚至怀疑出题人自己都没整明白。所以出考题，尤其是出高考模拟题甚至高考真题真没你想象的那么简单，比如你要想出数论的题目，你至少要对初等数论的课程有个整体宏观深刻的把握，否则很容易出“事故”！
那么现在很严肃的问题来了：
九省联考的这道题，费马小定理能不能直接用？
如果能直接用，这样子考查新定义新概念的意义又有多大？
如果不能直接用费马小定理的话，那为什么这个引理又可以直接用？
所以问题非常多！
还有一个更严肃的问题，这个引理看上去确实很直观，很合理，肯定会有学生在考试的时候会大胆使用，尤其是数学竞赛生。但没有数学竞赛经历的考生会知道使用这个引理吗？也有可能出现这样子的学生，他很严谨，他甚至会在考场上考虑能否先证明这个引理然后再使用，这其实是非常严谨，非常高明的想法，但在考场上却非常不利。
所以，整体而言，这道高考模拟题出的非常失败！
以后如果高考真要考数论相关方面的题目的话，哪些定理，哪些结论，哪些引理可以用？这些都将是非常严肃的问题。
考虑到数学竞赛生都会学过数论，这里还涉及到一个公平性的问题。
所以还是像我上篇文章所说的那样，你要考新定义，新概念，新知识的自学能力，强烈建议要挑一些比较偏的中学生几乎不可能接触到的领域。这样才能彰显公平性，也不会留下这些漏洞。
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