量子材料中费米子之星火燎原 | Ising专栏

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翠木繁荫烟柳岸，流波风月女儿家

世间惟此最芳华

春衣春折水、落景落红葩

每年五月，是国家自然科学基金的评审季节。那种灼热、烧脑般的忙碌及长时间与案台亲密接触的煎熬，能够让人发疯而近于崩溃。此时，写《量子材料》科普文，就变成没有时间去完成的任务。由此，Ising 也可以给五月份这个写作淡季寻找一个好的理由！

其实，写基金项目书和写科普文章，还是有很多类似之处的。当基金的同行评审人必须在很短时间内看明白一份基金申请要干什么、为什么要干、怎么干时，申请人就不能指望那洋洋洒洒数万言的申请书能够被从头到尾仔细阅读。既然这种指望必定是徒劳的，申请人就需要在一刻钟、半小时的浏览过程一开始就抓住评审人的眼球、打动其内心。这样的基金申请，才是好的申请。科普文也是如此：如果行文一上来就是很学术的“味同嚼蜡”，则这样的文章就可能被长久放置于案头上承接灰尘，很难被人读下去。古今上下，文言之道，皆同此理。问题是，许多申请人似乎未能做好这个开场，因此也就将洋洋数万言变成了没有下文的“千古文章”。

既然如此，Ising 准备如何在这里开场呢？自觉也很难！

姑且遵循物理人那种自负和“目空一切”的模样，从宇宙中基本粒子开始，如图 1 所示。目前对宇宙中基本粒子的认知是：存在两大类基本粒子，即费米子 (fermions) 和玻色子 (bosons)。宇宙中几种最轻的基本粒子，似乎都是费米子，包括我们熟知的电子。它们是构成我们原子物质世界的基本元素。量子力学认为，费米子满足费米 - 狄拉克统计，它一般有半整数自旋，其占据态由泡利不相容原理规定：一个量子态上不能有两个或以上的费米子。

另一层面，所谓玻色子，则是承担完全不同功能的基本粒子，如光子、W 玻色子、Z 玻色子和最近发现的希格斯玻色子 (Higgs boson) 等。它们传递所谓力的相互作用，遵循玻色 - 爱因斯坦统计，一般有整数自旋，不受泡利不相容原理的限制。多个玻色子可以处于同一量子态上，并可能发生我们熟悉的玻色 - 爱因斯坦凝聚 BEC。

图 1. 宇宙中已知的一些基本粒子归纳 (Ising 对此也知之甚少)。

(A) https://studiouslyyours.com/standard-model-of-particle-physics。(B) https://www.publicdomainpictures.net/en/view-image.php?image=35142&picture=fundamental-particles-3。

这两段文字写下来，对物理和量子感兴趣的人们，应能体会到物理学最重要的问题是何方神圣。果若能预言和发现某种基本粒子，哪怕是“虚拟”的准粒子 (quasi-particle)，必定是最受关注和追踪的领域和问题。遗憾的是，Ising 于此道纯属外行，最多就知道一点固体中常见的费米子⸺电子的集体行为。凝聚态物理和量子材料人讨论费米子，基本上就是在讨论电子集体运动的某些性质和相关效应。

就物理学目前的基本认知，宇宙中的费米子也大约有两大亚类。一个亚类是狄拉克费米子，即其反粒子与自身不同的费米子。例如，电子的反粒子是“正电子”，它们不是一回事，且已被实验看到和若干应用用到，正在为人类文明服务。与狄拉克费米子对应的，是反粒子与自身相同的费米子，也即最近很吸引眼球的马约拉纳 (Ettore Majorana) 费米子。这种反粒子即它自己的所谓“天使粒子”，到底是何模样，在凝聚态物理体系中经历了一些正反实验争论之后，目前似乎处在尘埃落定之前的某个阶段：天使的面目，不是那么好显山露水的！目前所知的、区别于狄拉克费米子的另一个性质是：这位天使是二重简并的 (twofold degeneracy)。

更进一步，即便是狄拉克费米子，也还有一些更高层次的亚类划分，体现了精彩而令人深感历史沧桑的故事脉络。量子力学用狄拉克方程去描绘费米子，意味着此类费米子满足狄拉克方程的四重简并 (fourfold degeneracy)，也就是说狄拉克费米子的激发模式是四重简并或对称的。如此这般，似乎形成了费米子对称性的认知定式。用对称性范式去描绘或分类费米子，据说早就被理论物理学家们熟练运用，并在群论层面上形成了费米子对称性分类的规范，虽然实验物理学对此依然还有些“未知未觉”。最著名的一个例子是，大约一百年前，德国大数学和物理学家外尔 (Hermann Weyl) 通过对称性破缺操作，将四重对称的狄拉克费米子分解为一对具有相反手性的二重简并之新型费米子⸺外尔费米子 (Weyl fermion)，展示了与狄拉克费米子不同的性质。

当然，与马约拉纳费米子命运相似，外尔费米子作为被预言的基本粒子，到目前为止亦无踪迹显现，因此也算是一种天使粒子。Ising 小人之心，觉得这样的天使粒子如果多了，多少会给基本粒子物理和高能物理学科带来挑战，毕竟没有实验证实的粒子依然是天使粒子。杨振宁先生说高能物理“盛宴已过”，或许言语有些武断，但亦是率直之言。正因为如此，果若世间某处有这些粒子的蛛丝马迹，哪怕是“形似”而未必神似 (即准粒子)，亦是大事。

这样的梦想期待，实际上在凝聚态物理中已然成真，并且出现反哺。凝聚态物理，通过引入晶格对称性操作，能够形成诸多在基本粒子和高能物理范畴内难以实现的新效应，因此可能遇到一些新的基本粒子的准粒子对应，亦可能提供一些反哺视角给高能物理以发现新的粒子。例如，那个被南部 (南部阳一郎) 和安德森 (菲利普•安德森) 助力推动的、对称性破缺导致的 Higgs 粒子，其预言与发现 (Higgs 乃希格斯名讳)，就是这种反哺最 powerful 的例证。

具体到狄拉克费米子，在凝聚态中的确时有预言和发现。例如，石墨烯在费米面处的能带色散特征，就展现出狄拉克费米子 (准粒子) 行为。例如，万贤纲他们预言和中国科学院物理所发现的外尔半金属，亦是外尔费米子 (准粒子) 的一种表现。当下，在各种凝聚态中寻找马约拉纳费米子和外尔费米子的准粒子对应，已然是量子科技和量子材料的主题和前沿课题，彰显了物理人寻找各种基本粒子的强大驱动力，哪怕找到的是准粒子！图 2 乃是 Ising 外行摆热闹组装起来的一些凝聚态准粒子物理认知。

诚然，在凝聚态中寻找这些准粒子之驱动力，亦包括许多已知与未知的物理效应及应用前景。马约拉纳费米子之于量子计算和通信，早就有理论呈现。如果能实验实现，则可能是天大的成就。至于外尔半金属这一准粒子态，在凝聚态中就更有价值了：(1) 首先，看到她，是这一高能物理中未能露面的基本粒子的镜像；(2) 其次，这一准粒子态独特的费米弧特征，给了动量空间探测外尔费米子的指针；(3) 再次，这一准粒子态，可被视为是一对赝磁单极，并展示出巨大的贝里曲率，在性能上展示出很高的载流子迁移率、很大的反常霍尔效应、手性反常诱导出的奇特负磁电阻及 3D 量子霍尔效应等。这些效应，对半导体应用和自旋电子学应用都有潜在应用意义。目前，从四重简并破缺而来的二重简并外尔半金属、二重简并马约拉纳零能模，等等，正在成为拓扑量子物理和量子科技的前沿领域而风生水起。

图 2. 量子拓扑材料中一些与低能激发准粒子有关的物理图像 (详情可见链接文献)。

(A) 量子材料中一些常见的量子态，都包含了准粒子的物理，如新的拓扑态、手性、赝磁单极等。(B) 最直观的狄拉克费米子能带色散关系和四重对称性。(C) 一些典型的拓扑半金属及其中的准粒子激发。

(A) https://www.weizmann.ac.il/condmat/Huecker/research-activities/quantum-materials。(B) M. Baudisch et al, Ultrafast nonlinear optical response of Dirac fermions in graphene, NC 9, 1018 (2018), https://www.nature.com/articles/s41467-018-03413-7。(C) B. Singh et al, Topology and Symmetry in Quantum Materials, AM 35, 2201058 (2023), https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/adma.202201058。

这些成就，给了物理人以诸多启示。这里再说一遍：不仅仅是从高能物理，其实从凝聚态物理中寻找不同形式的费米子态，一样也是物理人感兴趣的课题。事实上，宇宙中针对基本粒子约束的对称性限制，与凝聚态系统可能存在很大不同。例如，宇宙中时空是连续的，其势函数结构对称性不会那么低。但凝聚态不同，凝聚态可以通过施加额外的晶格对称性，钳制于狄拉克方程之上，可能别出新奇产生一些宇宙中并不存在的低能激发准粒子态。这样的启示，正在催生新的结果，物理学正在从高能和基本粒子物理中寻求新的费米子 / 玻色子之类基本粒子的努力，走向在凝聚态中寻求宇宙中不存在的那些费米子 (准粒子)。这样的探索，还可以让物理人认识更多的量子物态、发现新效应，从而寻求新的应用以为人类文明服务。

行文到此，摆在我们面前的前景一下子就明朗起来：既然凝聚态中能够实现从四重简变的狄拉克费米子到二重简并的外尔半金属态 (外尔费米子) 和马约拉纳零能模 (马约拉纳费米子)，那么出现三重、六重和八重及至更高重简并的费米准粒子也许亦是可能的。这样的疑问，在七八年前似乎是很受关注的重大科学问题，在量子凝聚态和量子材料领域被高度关注。来自米国普林斯顿大学的那位少年成名的 B. Andrei Bernevig (他是张守晟老师的学生)，领导其团队，于 2016 年在《Science》发表了那篇著名的理论预测文章。他们从所谓的 Poincaré symmetry 群论层面，以穷尽之势讨论计算了凝聚态的 230 个空间群中蕴含的、超越狄拉克费米子和外尔费米子的各种非常规准粒子 [B. Bradlyn et al, Beyond Dirac and Weyl fermions: Unconventional quasiparticles in conventional crystals, Science 353, 558 (2016), https://www.science.org/doi/10.1126/science.aaf5037]。其中，三重、六重和八重低能费米准粒子态，都被囊括殆尽。文章也依照空间群分类，预言了若干实现这些准粒子态的可能材料体系。

不过，计算预言是一回事，实验中能不能实现可能是另外一回事。目前来看，鉴定这些体系中是否存在理论预言的准粒子，不是一件容易的事情。从图 2 和下面的图 3 均可看出，要观测和区分布里渊区特定点处发生 kiss 的能带有多少，以及描绘其低能激发行为，角分辨光电子能谱 ARPES 是最直接和优先的实验手段。从时间线上看 (不涉及学术之间的竞争与联系)，沿着这一思路最让人感觉“很棒”的工作，应是来自当时在中国科学院物理研究所工作的丁洪老师领导的合作团队。他们于 2017 年在《Nature》上发布了基于 ARPES 测量的实验发现，展示在拓扑半金属磷化钼晶体中观测到一类三重简并的费米子 (three-component fermions) [B. Q. Lv et al, Observation of three-component fermions in the topological semimetal molybdenum phosphide, Nature 546, 627 (2017), https://www.nature.com/articles/nature22390]。2020 年，来自德国马普固态化学物理研究所的著名学者 Claudia Felser 领衔其合作团队，发布了超导金属 PdSb₂ 中发现六重简并费米子的实验报告 [N. Kumar et al, Signatures of sixfold degenerate exotic fermions in a superconducting metal PdSb₂, Adv. Mater. 32, 1906046 (2020), https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/adma.201906046]。她们的实验手段，同样是 ARPES。

本文写到这里，基本上就可以收尾了。而收尾的段落，即是笔者的读书笔记。所读之文章，乃由任职于南方科技大学和俞大鹏老师创办的那个“深圳量子科学与工程研究院”的陈朝宇老师所领衔的、由六家科研机构 (南科大、香港科大、北理工、日本广岛大学、中大、中科大) 参与的合作团队所发布。他们在所谓的满足 nonsymmorphic symmetry (非简单空间群对称性) 的化合物 TaCo₂Te₂ 中清晰观测到八重简并的准粒子激发和四重简并的范霍夫奇异性，令人印象深刻。他们去年将相关结果整理成文，刊登在《npj QM》上，引起同行关注！

朝宇老师他们的文章简洁明快，对科学问题和存在的挑战把握得很准确。因此，感兴趣的读者，如其在此御览 Ising 粗浅文笔，还不如直接移步去御览论文详细。这里，需要提及的是，在二重、四重、六重简并的准粒子态被陆续观测到后，八重态则一直延后到去年才发布。其中一个难点在于合适的承载体系难于制备，能带表征上也很有难度。的确，即便朝宇他们的 ARPES 有强大的动量和能量分辨率，但要清晰展示能带于某一点处的八重简并，也是极富挑战性的。反过来，这些不断涌现的准粒子态，再一次昭示了凝聚态量子材料中各种新的费米子就如“星星之火、可以燎原”的。

图 3. 陈朝宇老师他们对化合物 TaCo₂Te₂ 的晶体结构表征及能带结构的 ARPES 观测结果 (详细解读参见他们的论文)。

按照 Ising 粗浅理解，朝宇老师他们的工作脉络大约如下，而部分原始数据展示于图 3 中：

(1) 首先，按照费米准粒子激发的能带简并度 (band degeneracy g) 和能带色散阶数 (order of dispersion n, 线性色散 n = 1，平方色散 n = 2) 不同，他们梳理分析了各种化合物中的能带谱学特征。目前来看，n = 3 的外尔和狄拉克费米子还未能被观测到，n = 2 的六重简并费米子已有实验报道。但是，最易于观测到这些新奇费米子态的载体，应该还是那些 n = 1 的体系，即能带呈现线性色散的体系。

(2) 承载八重简并的化合物是 nonsymmorphic symmetry 晶体 TaCo₂Te₂，归属 62 号空间群。这一体系没有长程自旋序，自旋 - 轨道耦合 SOC 也很弱。这些特性，与磁性 Co 离子的特定性质有关。

(3) 理论计算已预言，在布里渊区的 –X 点处，存在双狄拉克锥结构 (double Dirac cone, DDC)。Ising 想当然认为就是存在 4 × 2 = 8 重简并的节点 (node)，它受时间反演和晶体对称性保护。因为体系的 SOC 很弱，节点处不会有 SOC 导致的能隙出现。

(4) 更棒的是，朝宇老师他们还观测到费米面附近 Z 点处同样有受到如上对称性保护的四重范霍夫奇异性 (fourfold van Hove singularity, VHS)，而 VHS 本身又有其特别的效应。这些独特的磁性和电子结构，使得化合物 TaCo₂Te₂ 成为一个极富扩张张力的拓扑量子平台体系，方便去研究量子材料中丰富的磁性、拓扑和非平庸量子态。

当然，简并度超越狄拉克费米子而走向高处 (六重、八重) 的那些量子材料体系，与走向低处 (二重、三重) 的那些体系比较，是否一定有新颖而可被应用的物理，还需要更多工作去探索。即便 ARPES 直接观测到了八重能带简并度，这一量子态本身有什么价值，也还值得探索和讨论。的确，朝宇他们在文章中，对一些潜在的可能性和前景进行了简单讨论，虽然未来的实验探索和验证之难度不小。

雷打不动的结尾：Ising 乃属外行，描述不到之处，敬请谅解。各位有兴趣，还请前往御览原文。原文链接信息如下：

(1) 笔者 Ising，任职南京大学物理学院，兼职《npj Quantum Materials》编辑。感谢万贤纲教授和唐峰博士指点迷津。

(2) 小文标题“量子材料中费米子之星火燎原”乃感性言辞，不是物理上严谨的说法。这里只是引起读者关注的一种意象，即凝聚态中低能激发的费米准粒子可以有很多可实验实现的类别。就像星星之火可以燎原，乃是一种双关说辞！

(3) 文底图片拍摄于玄武湖东岸，宛如这 ARPES 能谱的模样 (20240509)。小词 (20240423) 原本描写玄武湖东岸的景色。一眼望去，竟然是孟夏如澄秋，有些像那 ARPES 的形态。解读其中滋味，可能就是“三月霞曲、孕育物华”的样子。

(4) 封面图片来自陈朝宇他们的文章原文，展示了 TaCo₂Te₂ 中的 四重范霍夫奇异性 (VHS) 和 TaIr₂Te₂ 中沙漏型费米子激发。

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