风云老师精华文章：

最新精华文章：1，几何证明中的一套底层逻辑

2，高考中涉及新概念新定义的压轴题会对中小学数学学习提出哪些考验

中小学篇：

1，在没有培训的时代，该如何规划中小学数学学习呢？该如何规避一些典型误区？

2，学数学自学提前学，该选择什么样的教材，该选择什么样的课外书？？？

3，数学学习方法论

4，究竟什么才是数学学习的最重要的基本功？？？？？

5，写给数学牛蛙的一些建议

6，为什么你的孩子从小就学不好数学？写给数学差生和家长的一些建议。

7，高考中涉及新概念新定义的压轴题会对中小学数学学习提出哪些考验

小学篇：

1，小学数学究竟该学什么？培优的大方向究竟在哪里？

2，小学的加减乘除计算训练对中考高考究竟有多少影响？

3，小学数学的几何这一块究竟该怎么学，风云老师为你划重点和核心！

4，小学数学中有哪些内容其实并不重要？

5，职业数学家出的一份小学数学试卷(不断更新中，已更新至21题)

6，风云老师讲除法原理

中学篇：

1，中学数学究竟该学什么？中学数学培优的大方向在哪里？

2，初高中的几何究竟该怎么学？？风云老师为你传授绝世神功！！！

3，中学几何之最高境界——复数方法

４，高考非常难，而中考却简单的新形势下，该如何整体规化初高中数学学习？？

5，几何证明中的一套底层逻辑

1《数学分析原理》

- 鲁丁 (Walter Rudin)

机械工业出版社  

鲁丁的这本《原理》是强烈推荐的，尤其适合有志于基础数学研究的人。在风格上，这本书的语言是最接近现代数学。前面提到实数系八大定理是点集拓扑学的最主要发源地之一，而鲁丁的处理方式是直接把这些基本性质融入到点集拓扑的语言中。另外每个章节背后都有不少优秀习题，非常适合辅助学习。整本书才三百多页，但内容极为精练，除了数学分析的基本内容外，还涵盖了Fourier级数，微分形式，Lebesgue 积分理论等内容。最难能可贵的是，这本书虽然在其他地方非常精练，却花了大量笔墨已非常透彻的方式讲解微分形式。什么叫抓住重点，这就是抓住重点！！

2《微积分入门》 

-(日)小平邦彦

人民邮电出版社

小平邦彦这套教材虽然比较精炼，但还是照顾到了微积分学的严格性，风格非常亲切，课后习题也非常不错。书中处理欧拉公式的方法比较新颖，但显得有些啰嗦，大家可以比较一下我的科普文章《欧拉公式——上帝创造的数学公式》中的处理方式。

3《微积分学教程》 

-(俄罗斯)菲赫金哥尔茨

高等教育出版社

这是一套举世公认的最优秀最完备的数学分析教材，虽然书目是微积分。这套教材的特色是它涵盖了(除了复分析外的)古典分析的几乎所有精华内容，还包括了古典分析的一些著名应用，比如证明自然常数e的超越性，代数学基本定理的古典分析证明。我仍然还记得大一在图书馆刚接触到这套书(繁体字版，三卷八本)时狂喜的心情，我正是通过非常认真地通读这套书来学完数学分析的，所以自认为分析的基础很扎实。不过对于大部分人而言，这套书更适合作为参考书而非教材。

 4《陶哲轩实分析》 

-陶哲轩

人民邮电出版社

从逻辑的角度来看，陶哲轩的这套教材是最完美的，因为从自然数公理体系和集合论，从自然数，到整数，到有理数，再到实数，每一步都有坚实的逻辑基础。另一个特色是用Cauchy(柯西)序列的方法，而不是用Dedekind(戴德金)分割构造实数。虽然书名叫实分析，其实是数学分析的教材，只是在最后讲到Lebesgue 测度和Lebesgue 积分。整本书在语言上也非常接近现代数学，习惯抽象语言的同学可以挑战这本书。

5，《线性代数应该这样学》 

-阿克斯勒 (Sheldon Axler)

人民邮电出版社

这本教材写法非常新颖，用向量空间和线性算子的观点贯穿全文，把行列式的内容放在后面，风格上是比较抽象，喜欢逻辑推理和抽象观点的人可以考虑选用这本教材。这本教材最大的优势是和泛函分析等现代数学的语言比较契合。

数论的名著

1《Elementary Number Theory and its applications》

《初等数论及其应用》-罗森(Kenneth H.Rosen)                        

2《A Friendly Introduction to Number Theory》

《数论概论》-约瑟夫 H.西尔弗曼（Joseph H.Silverman）

第1，2本数论教材都比较亲切，内容相对简单，尤其是第1本，所以也十分适合需要运用数论知识的其他专业学生老师参考。

3《An Introduction to the Theory of Numbers》☆

《数论导引》- 哈代 与 莱特 (G.H. Hardy and E.M. Wright)

数论最经典的教材，没有之一。

4 《Introduction to Analytic Number Theory》 

《解析数论导论》 - 阿波斯托尔

5 《Unsolved Problem in Number Theory》 

《数论中未解决的问题》 - 盖伊 (K. Guy)

6 《A Classical Introduction to Modern Number Theory》☆

《现代数论的经典引论》 - 爱尔兰 与 罗森（K. Ireland and M. Rosen）

7《A Course in Arithmetic》☆

《算术教程》 –赛尔（J.P. Serre）

有一点抽象代数的背景就很可以很顺利地开始阅读5，6两本著名的数论教材了，读到后面要用到一点复分析知识。

8 《Basic Analytic Number Theory 》☆☆☆

《基础解析数论》 –卡拉楚巴（Karatsuba）

9《Algebraic Number Theory 》☆☆☆

《代数数论》 –诺伊基希(Jürgen N.)

10《Algebraic Number Theory 》☆☆☆

《代数数论》 – Lang

这两本都是代数数论最标准的教材，内容也大部分互相覆盖，但我本人更喜欢Jürgen的书。

拓扑学的名著

1 《Basic Topology》 《基础拓扑学》  - 阿姆斯特朗(M.A.Armstrong)

2 《Topology from the Differentiable Viewpoint》☆

《从微分观点看拓扑》  约翰·米尔诺(John W.Milnor)

米尔诺的每本书都非常优美，每本！

3 《Topology》  (2nd Edition)

《拓扑学》  Munkres, James

几十年来一直是点集拓扑学最标准的教材，国内也翻译出版过多次。

4 《Algebraic Topology》

《代数拓扑》  Allen Hatcher ☆☆

代数拓扑学最标准的教材，国内有影印。

代数学的名著

1 《Algebra》《代数学》（共两卷） - 范德瓦尔登 (B.L.Van der waerden)☆

范德瓦尔登的《代数学》是我本科时代最美好的记忆之一，所以我千方百计淘到中英文版本。

2 《Basic Algebra》 《基础代数学》（共两卷） - 雅各布森 (N.Jacobson)☆

3 《Introduction to Commutative Algebra》☆

《交换代数导引》- 迈克尔·阿蒂亚 (Michael Atiyah)

群论，李群，李代数，表示论名著

1《Linear Representations of Finite Groups》

《有限群的线性表示》 –赛尔（J.P. Serre）

2《Introduction to Lie Algebras and Representation Theory》☆

《李代数及其表示论导引》 –J.E. Humphreys

这两本书都是表示论领域最基础最标准的教材，虽然很薄，但内容非常精炼，应用十分广泛。

3《Representation Theory: a first course》☆

《表示论基本教程》 –W.Fulton, J.Harris

这本表示论教材内容覆盖面非常广，关于李群的部分也是非常适合作为教材，最难能可贵的是，举了许多例子，这些例子都非常非常重要。

(代数）几何学的名著

1 《Introduction to geometry》

《几何导论》- （Coxeter）

最经典的几何著作之一，写的太优美了，以至于许多图书馆的这本书都被盗。很奇怪国内居然没有影印或翻译。

2 《Differential Geometry of Curves and Surfaces》

《曲线与曲面的微分几何》- 杜卡莫  (P.do Carmo)

3 《Riemannian Geometry》☆

《黎曼几何》- 杜卡莫  (P.do Carmo)

杜卡莫的这两本教材我非常喜欢，可以作为黎曼几何的入门阶梯，对于本科生而言，陈省身的《微分几何讲义》比较晦涩难懂。

4 《Differential geometry in the large》☆☆

《整体微分几何》- H.霍普夫 (H.Hopf)

非常优美的一本小书。

5 《Algebraic Geometry》☆☆☆

《代数几何》- R.哈茨霍恩 (R.Hartshorne)

本科时代读过的最难的两本书之一，另一本是Weil 的《Basic Number Theory》

分析学的名著

1 《Complex Analysis》 《复分析》- 阿尔福斯 (Lars V.Ahlfors)☆

这也是我本科时代最美好的记忆之一，当时读的还是上海科学技术出版社的绿皮本。

2  《Real and Complex Analysis》 《实分析与复分析》- 鲁丁 (Walter Rudin)☆

3 《Functional  Analysis》 《泛函分析》- 鲁丁 (Walter Rudin)☆☆

4 《Real Analysis》 《实分析》 –斯坦 （M.Stein）☆

5 《Complex Analysis》 《复分析》 –斯坦 （M.Stein）☆

6 《Fourier Analysis》 《傅里叶分析》 –斯坦 （M.Stein）

7 《Functional  Analysis》 《泛函分析》- 斯坦 （M.Stein）☆☆

Rudin和Stein的分析教材都是经典和标准教材。

泛函分析泛函分析还有下面这两本非常经典的教材，

9 《Functional  Analysis》 《泛函分析》- Peter D.Lax ☆☆

10 《Functional  Analysis》 《泛函分析》-吉田耕作 Yosida ☆☆

吉田耕作的教材是最经典的了，也是我读的第一本泛函分析教材。

11，《An Introduction to Harmonic Analysis》 《调和分析导论》 –Katznelson☆

集合论，数理逻辑的名著

1 《A Course in Mathematical Logic》☆

《数理逻辑教程》- J.贝尔 (John Bell)

数理逻辑最全面最标准的教材，没有之一。

2 《Naive Set Theory》 

 《朴素集合论》 - 哈莫斯 (Halmos P.R.)

一本薄薄的小册子，也适合非数学专业人士阅读了解集合论

3 《Introduction to Mathematical Philosophy 》☆

《数理逻辑导论》- 伯特兰·罗素 (Bertrand Russell)

这是一本面向公众的数理逻辑讲义，也是我最钟爱的一本书，特地购入中英文版。我认为这本书很好地回答了一个数学哲学问题：什么是数？我相信不论是公众还是职业数学家读这本书都会有收获。

4 《Mathematical Logic》

《数理逻辑》- Ebbinghaus, Flum, Thomas

这本书风格非常亲切，虽然十分精练，但又不失严格，从零基础开始，最后讲到赫赫有名的哥德尔不完备定理，所以强烈推荐给大家！

常微分方程，动力系统的名著

1 《Ordinary Differential Equations》

《常微分方程》- 阿若尔德

2《Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations》☆

《常微分方程的几何方法》- 阿若尔德

阿若尔德的这两本书写得非常几何，非常物理，非常直观，非常优美。

3 《Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, Third Edition》 

 《微分方程，动力系统& 混沌导引》 - Morris W. Hirsch，Stephen Smale ，Robert L. Devaney

4 《Introduction to Dynamical Systems 》☆

《动力系统引论》- Brin, Michael

半个世纪的迅猛发展，使得动力系统早就成为和代数拓扑，黎曼几何，数论，表示论一样庞大的分支，但是很遗憾国内的本科教学在这块几乎是空白的，Brin, Michael的这本书无疑是最适合本科生阅读的，内容覆盖面非常广，而且能抓住动力系统各个方向的最基础知识点。

5《Mathematical Methods in Classical Mechanics》☆

《经典力学的数学方法》- 阿若尔德

这是一本举世闻名的经典著作，以三大力学体系——牛顿力学，拉格朗日力学，哈密尔顿力学为主线，既可以当作力学教材，也可以当作变分原理教材，还可以当成辛几何的入门导引。五六十年前这本书就被选入GTM。

概率论和组合数学的名著

1 《Elementary Probability Theory》

《初等概率论:英文版(第4版) 》-钟开莱(Kai Lai Chung)☆

钟开莱的这本本科生教材非常通俗易懂，甚至适合高中生。上个世纪七八十年代，国内曾翻译出版过中文版，到现在这套书已经非常稀少了，在二手书网站上，中文版薄薄的一本已经被卖到一两百元了。希望国内出版社能尽快重新翻译出版这本书

2《A Course In Probability Theory》

《概率论教程:英文版(第3版) 》-钟开莱(Kai Lai Chung)☆☆

钟开莱的这本研究生教材让我一度认为概率论就是实分析和测度论加上独立性，非常适合基础数学专业学生阅读。

3 《The Probabilistic Method 》 

《概率方法》 - Alon, Noga☆

概率方法在图论中的应用非常神奇，这本书也写的非常优美，也是我最钟爱的一本书。

4  《A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration and Graph Theory》

《组合数学导引》-Bona, Miklos

这也是我最钟爱的一本书，写得非常优美，组合大师Stanley亲自作序，最后一章介绍了大名鼎鼎的关于算法的NP猜想，和4本一样都是最标准的组合教材。

5 《Introductory Combinatorics Fifth Edition》

《组合数学》-Richard A.Brualdi

6《Research Problems in Discrete Geometry》

《离散几何中的研究问题》-Brass, Moser, Pach

6《Enumerative Combinatorics》

《计数组合学》-Stanley

组合学一代宗师Stanley的传世之作，一出版就好评如潮，立刻成为标准教程。课后的习题是绝好的，非常适合自学，只推荐第一本，因为第二本比较专业化。

数学大师的经典

这些大师的经典(weil的《Basic Number Theory》除外)不适合作为教材，不过仍然可以在合适的时候适当阅读，非常有启发

Felix Klein 1849-1925（菲利克斯·克莱因）

1，《Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint》

《高观点下的初等数学》(全3册)

这套书是数学教育的圣经，尤其适合师范生和中学数学教师。

2，《Famous Problems of Elementary Geometry》

《初等几何的著名问题》

3，《Development of Mathematics in the 19th Century》

《数学在19世纪的发展》

这本《数学19世纪》国内高教出版社有翻译出版过，但是翻译质量非常低劣，建议谨慎购买。

4，《Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree》☆

《关于正二十面体和五次方程解的讲义》

David Hilbert 1862–1943 (大卫·希尔伯特)

1，《The Foundations of Geometry》☆

《几何基础》

继《几何原本》之后，最伟大的几何著作，可以看成是《几何原本》的升级版

2，《Geometry and the imagination》

《直观几何》 与康福森(S.Cohnvossen)合著

非常优美亲切的几何书

3，Methods of Mathematical Physics》☆☆

《数学物理方法》（共两卷） 与柯朗（Richard Courant）合著

不论对于基础数学还是数学物理，都是传世经典巨作

4， 《The Theory of Algebraic Number Fields》☆ ☆  

《代数数域理论》

将十九世纪的代数数论做了一个完整的总结，语言有些陈旧，但里面的内容和处理方法今天读来仍然大受启发。

Hermann Weyl 1885 –1955 （赫尔曼·外尔）

1，《Classical Group》☆☆

《经典群》

经典李群及其表示论的传世之作

 2，《Symmetry》

《对称》

非常优美的一本科普小书

Andre Weil 1906–1998 （安德烈·韦伊）

1，《Basic Number Theory》☆☆☆

《基础数论》

严肃做代数数论以及相关领域的人，恐怕都绕不过Weil的这本著作，和希尔伯特的《代数数域理论》一样都是里程碑式的作品。

数学史的名著（包括优秀的传记）以及其他

1 《A History of Mathematics》

 《数学史》 - 卡茨(Victor J.Katz)

这是数学史最好的教材，没有之一，通过这本书可以对整个人类数学史有个较为全面的了解，这本书的另一大优点是在每章后面列举了大量的参考文献，不论你对哪个历史专题感兴趣，都可以顺着这些参考文献继续挖掘。

2 《Mathematics: The Loss of Certainty》

 《数学：确定性的丧失》 - 莫里斯·克莱因(Morris Kline)

莫里斯·克莱因是伟大的数学教育家和数学史家，在数学教育界和数学历史界有巨大影响力，除了这两套名著外，他的其他作品比如《西方文化中的数学》也是强烈推荐的。

3《Hilbert》

《希尔伯特：数学界的亚历山大》 - 康斯坦西·瑞德 (Reid. Constance)

我本人最喜爱的数学家传记，去年刚刚出版中译文。

4《Courant》

《柯朗：一位数学家的双城记》 - 康斯坦西·瑞德 (Reid. Constance)

这是康斯坦西继《希尔伯特》之后的又一本史诗级数学传记，国内二十年前有出版过中译文。如果把希尔伯特的传记看成是二战前德国数学圣城哥廷根大学的崛起之路，那么柯朗的这本传记可以看成是二战前后柯朗从德国到美国，在纽约重现哥廷根的辉煌的史诗征程。

5《The Mystery of the Aleph》

《神秘的阿列夫》 - D. Aczel

这是开创集合论的一代宗师康托尔的传记。今天已经完全熟悉各种各样的无穷概念的数学师生，完全无法想象康托尔一百多年前刚引入这些概念时，一切都显得有多么的荒诞不经，光怪陆离。真正的才华既是上苍的恩赐，也是命运的诅咒。

6 《The Man Who Loved Only Numbers》

《数字情种:埃尔德什传》—霍夫曼（Hoffman）

从未有哪个人像数学大师埃尔德什一样完全地把自己奉献给数学，没有女人，没有生活，没有固定住所。。。。。。

7 《The Man Who Knew Infinity》

《知无涯者:拉马努金传》 -罗伯特·卡尼格尔(Robert Kanigel)

什么样的人才能称得上是数学天才，真正的数学天赋到底是什么样子，看看拉马努金的传记吧！

8《Godel: A Life Of Logic, The Mind, And Mathematics》

《逻辑人生》 -John L. Casti，Werner DePauli

这本传记不但描述哥德尔的学术生涯，也花费大量笔墨介绍著名的哥德尔不完备定理，也可以作为现代数理逻辑的介绍读物

9《Isaac Newton》

《牛顿传》 -詹姆斯·格莱克 (James Gleick)

十分推荐这本优美传神的传记，有中译文。大家都知道牛顿是有史以来最伟大的物理学家，以至于好多人都忘了他其实和阿基米德，高斯，黎曼并列为有史以来最伟大的几位数学家。

10《The Music of the Primes: Why an Unsolved Problem in Mathematics Matters》

《素数的音乐》 -Marcus du Sautoy

讲述素数和黎曼猜想的科普书已经非常多了，但我最推崇这本，国内出版过中译文

6 《Fermat's Last Theorem》

《费马大定理》 - 辛格（Simon Singh）

看过这本书，但目前没有购买，费马大定理从费马写下定理到怀尔斯最终完成证明，整整耗费350年，多少数学天才和数学大师在这里折戟沉沙，扼腕长叹。

7 《Mathematical Thought from Ancient to Modern Times》

 《古今数学思想》（共四卷）  - 莫里斯·克莱因(Morris Kline)

8《Proofs from THE BOOK》

《数学天书中的证明》 - Martin Aigner，Günter M. Ziegler

这本书是数学证明的典范作品，它会告诉你，一段真正的数学证明是一首诗，是一座艺术品

哲学,物理学与其它领域的名著

加上这些书目也体现我个人喜好，我认为哲学和数学，“行深般若波罗蜜多时”，理应贯通。本科时代，除了数学书籍外，我读得最多的就是哲学书籍。最近一年又开始阅读老子，庄子，淮南子，同样深受启发！

1 The Republic   理想国 - 柏拉图 (Plato)

2 The Metaphysics   形而上学 - 亚里士多德 (Aristotle)☆

3 A Treatise of Human Nature  人性论 -休谟（D. Hume）

4 Meditations on First Philosophy  第一哲学沉思录 -笛卡尔 （Rene Descartes）

5 Critique of Pure Reason  纯粹理性批判-康德（Immanuel Kant）☆☆

6 Principles of Economics 《经济学原理》－曼昆 (N. Gregory Mankiw)☆

7 The Logic of Hegel 小逻辑-黑格尔（Hegel）☆

8 The World as Will and Representation☆

作为意志和表象的世界-叔本华（Schopenhauer）

9 Feynman Lectures on Physics  费恩曼物理学讲义（共三卷）-费恩曼（Feynman）☆

10 Introductory Lectures on Psycho-Analysis  精神分析引论 -弗洛伊德 （S.Freud）

11《帛书老子校注》   高明 撰-中华书局

12 《庄子今注今译》   陈鼓应-中华书局

13 《淮南鸿烈集解》   刘文典 撰-中华书局