上海交大副教授五年参禅：神经网络的简单偏好

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  新智元报道  

我原本是研究计算神经科学的，研究的内容，宏观来讲是从数学的角度理解大脑工作的原理，具体来说，我的研究是处理高维的神经元网络产生的脉冲数据，尝试去理解这些信号是如何处理输入的信号。但大脑过于复杂，维度也过于高，我们普通大脑有一千亿左右个神经元，每个神经元还和成千上万个其它神经元有信号传递，我对处理这类数据并没有太多信心，那阶段也刚好读到一篇文章，大意是把现阶段计算神经科学的研究方法用来研究计算机的芯片，结论是这些方法并不能帮助我们理解芯片的工作原理。另一个让我觉得非常难受的地方是我们不仅对大脑了解很少，还非常难以获得大脑的数据。

于是，我们当时思考，能否寻找一个简单的网络模型，能够实现复杂的功能，同时我们对它的理解也很少的例子，我们通过研究它来启发我们对大脑的研究。当时是2017年底，深度学习已经非常流行，特别是我的同学已经接触深度学习一段时间，所以我们迅速了解到深度学习。其结构和训练看起来足够简单，但能力不凡，而且与其相关的理论正处在萌芽阶段。

因此，我进入深度学习的第一个想法是把它当作研究大脑的简单模型。显然，在这种「类脑研究」的定位下，我们关心的是深度学习的基础研究。这里，我想区分深度学习的「理论」和「基础研究」。我认为「理论」给人一种全是公式和证明的感觉。而「基础研究」的范围听起来会更广阔一些，它不仅可以包括「理论」，还可以是一些重要的现象，直观的解释，定律，经验原则等等。这种区分只是一种感性的区分，实际上，我们在谈论它们的时候，并不真正做这么细致的区分。尽管是以深度学习为模型，来研究大脑为何会有如此复杂的学习能力，但大脑和深度学习还是有明显的差异。而我从知识储备、能力和时间上来看，都很难同时在这两个目前看起来距离仍然很大的领域同时深入。

于是我选择全面转向深度学习，研究的问题是，深度学习作为一个算法，它有什么样的特征。「没有免费的午餐」的定理告诉我们，当考虑所有可能的数据集的平均性能时，所有算法都是等价的，也就是没有哪一种算法是万能的。我们需要厘清深度学习这类算法适用于什么数据，以及不适用于什么数据。

事实上，深度学习理论并不是处于萌芽阶段，从上世纪中叶，它刚开始发展的时候，相关的理论就已经开始了，也有过一些重要的结果，但整体上来说，它仍然处于初级阶段。对我而言，这更是一个非常困难的问题。

于是，我转而把深度学习当作一种「玩具」，通过调整各类超参数和不同的任务，观察它会产生哪些「自然现象」。设定的目标也不再高大上，而是有趣即可，发现有趣的现象，然后解释它，也许还可以用它来指导实际应用。在上面这些认识下，我们从深度神经网络训练中的一些有趣的现象开始。于我个人，我是从头开始学习写python和tensorflow，更具体是，从网上找了几份代码，边抄边理解。

因此，传统建模相关的研究人员在使用神经网络时，经常会计算模型参数量，以及为了避免过拟合，刻意用参数少的网络。然而，今天神经网络能够大获成功，一个重要的原因正是使用了超大规模的网络。网络的参数数量往往远大于样本的数量，但却不像传统学习理论所预言的那样过拟合。这便是这些年受到极大关注的泛化迷团。实际上，在1995年，Leo Breiman在一篇文章中就已经指出了这个问题。在神经网络非常流行和重要的今天，这个迷团愈加重要。我们可以问：带有大量参数的神经网络真的很复杂吗？答案是肯定的！上世纪八十年代末的理论工作证明当两层神经网络（激活函数非多项式函数）足够宽时，它可以以任意精度逼近任意连续函数，这也就是著名的「万有逼近」定理。实际上，我们应该问一个更加有意义的问题：在实际训练中，神经网络真的很复杂吗？逼近论证明的解在实际训练中几乎不可能遇到。实际的训练，需要设定初始值、优化算法、网络结构等超参数。对我们实际要有指导作用，我们就不能脱离这些因素来考虑泛化的问题，因为泛化本身就是依赖实际数据的问题。

  实域空间拟合（红色为目标函数，蓝色为DNN）

关于高维中验证频率原则，我们采用了降维和滤波的办法。一系列的实验都验证了频率原则是一个广泛存在的现象。为什么会有频率原则呢？事实上，在自然界中大部分信号都有一个特征，强度随频率增加而衰减。一般我们见到的函数在频率空间也都有衰减的特征，特别是函数越光滑，衰减越快，连常见的ReLU函数在频率空间也是关于频率二次方衰减。在梯度下降的计算中，很容易得到低频信号对梯度的贡献要大于高频，所以梯度下降自然就以消除低频误差为主要目标[2]。

对于一般的网络，我们有定性的理论证明[6]，而对于线性NTK区域的网络，我们有严格的线性频率原则模型揭示频率衰减的机制[7, 8, 9]。有了这个理解，我们也可以构造一些例子来加速高频的收敛，比如在损失函数中增加输出关于输入的导数项，因为求导在频率空间看，相当于在强度上乘以了一个其对应的频率，可以缓解高频的困难。这在求解PDE中很常见。

了解频率原则对我们理解神经网络有什么帮助吗？我们举两个例子。第一个是理解提前停止这个技巧。实际的训练中，一般都能发现泛化最好的点并不是训练误差最低的，通常需要在训练误差还没降得很低的时候，提前停止训练。实际数据大部分都是低频占优，而且基本都有噪音。噪音对低频的影响相对比较小，而对高频影响相对比较大，而神经网络在学习过程先学习低频，所以通过提前停止可以避免学习到过多被污染的高频而带来更好的泛化性能。

另一个例子是，我们发现图像分类问题中，从图像到类别的映射通常也是低频占优，所以可以理解其良好的泛化。但对于定义在d维空间中的奇偶函数，其每一维的值只能取1或者-1。显然任何一维被扰动后，输出都会发生大的变化。这个函数可以被证明是高频占优的，而实际训练中，神经网络在这个问题中完全没有预测能力。我们还利用频率原则解释了为什么在实验中会观察到深度可以加快训练，核心的原因是越深的网络把目标函数变成一个越低频的函数，使学习变得容易 [10]。

除了理解，频率原则能对我们实际设计和使用神经网络产生什么指导吗？频率原则揭示了神经网络中存在高频灾难，这也引起了很多研究人员的注意，包括求解PDE、生成图像、拟合函数等。高频灾难带来的训练和泛化困难很难通过简单的调参来缓解。我们组提出了多尺度神经网络的方法来加速高频的收敛[11]。基本的想法是把目标函数在径向进行不同尺度的拉伸，尝试将不同频率的成分都拉伸成一致的低频，达到一致的快速收敛。实现也是非常之容易，仅需在第一隐藏层的神经元的输入乘以一些固定的系数即可。我们的一些工作发现调整激活函数对网络的性能影响很大[12]，用正弦余弦函数做第一个隐藏层的基可以有比较好的效果[13]。这个算法被华为的MindSpore所采用。径向拉伸的想法在很多其它的算法中也被采用，包括在图片渲染中非常出名的NerF（神经辐射场）。

同样是低频到高频的学习过程，参数的演化可以非常不一样，比如一个函数可以用一个神经元表示，也可以用10个神经元（每个神经元的输出权重为原输出权重的1/10）一起表示，从输入输出函数的频率来看，这两种表示完全没有差别，那神经网络会选择哪一种表示，以及这些表示有什么差别？下面我们就要更细致地看参数演化中的现象。

W是输入权重，它以内积的方式提取输入在权重所在的方向上的成分，可以理解为一种特征提取的方式，加上偏置项，然后再经过非线性函数（也称为激活函数），完成单个神经元的计算，然后再把所有神经元的输出加权求和。为了方便，我们记

对于ReLU激活函数，我们可以通过考虑输入权重的角度和神经元的幅度来理解每个神经元的特征：，其中

考虑用上面的两层神经网络来拟合四个一维的数据点。结合输入权重和偏置项，我们所关心的方向就是两维的方向，因此可以用角度来表示其方向。下图展示了，不同初始化下，神经网络的拟合结果（第一行），以及在训练前（青色）和训练后（红色）特征分布的图（第二行）

前面，我们只是通过一个简单的例子来呈现凝聚现象，接下来重要的问题是：参数凝聚是非线性过程中普遍的现象吗？在统计力学相图的启发下，我们在实验发现并理论推导出了两层无限宽ReLU神经网络的相图。基于不同的初始化尺度，以参数在训练前后的相对距离在无限宽极限下趋于零、常数、无穷作为判据，相图划分了线性、临界、凝聚三种动力学态（dynamical regime）。领域内的一系列理论研究（包括NTK，mean-field等）都可以在我们的相图中找到对应的位置[3]。

到目前，我们谈了参数凝聚使得神经网络的有效规模变得很小，那为什么我们不直接训练一个小规模的网络？大网络和小网络有什么差异？首先，我们用不同宽度的两层网络来拟合同一批数据，下图展示了它们的损失下降的过程。

如果再仔细观察他们的损失图，可以发现当宽度增加的时候，网络的损失函数更容易下降，比如前面箭头指的地方，相对小的网络就停留在台阶上，大的网络的损失才继续下降。从实验上可以看出，大网络凝聚时虽然和小网络在表达能力类似，但看起来大网络更容易训练。

怎么解释不同宽度的网络的相似性以及大网络的优势？在一个梯度下降的训练过程，出现平台的原因很可能是因为训练路径经历某个鞍点（附近有上升方向也有下降方向的极值点）附近。不同宽度的网络似乎会经历相同的鞍点。但参数量不同的网络，它们各自的鞍点生活在不同维度的空间，怎么会是同一点呢？我们证明了不同宽度的网络的损失景观的极值点存在一个嵌入原则(Embedding Principle)[16], 即一个神经网络的损失景观中 「包含」所有更窄神经网络损失景观的所有临界点（包括鞍点、局部最优点和全局最优点等）。简单地说，就是一个网络处理临界点时，通过一些特定的嵌入方式，可以把这个网络嵌入到一个更宽的网络中，嵌入过程能够保持网络输出不变以及宽网络仍然处于临界点。最简单的嵌入方式正是凝聚的逆过程，比如下图是一种一步嵌入方式。更一般的嵌入方式我们在Journal of Machine Learning第一期的文章里[17]有详细讨论。