【人人都能欣赏的数学证明】整除判别法

风云老师精华文章：

中小学篇：

1，在没有培训的时代，该如何规划中小学数学学习呢？该如何规避一些典型误区？

2，学数学自学提前学，该选择什么样的教材，该选择什么样的课外书？？？

3，数学学习方法论

4，究竟什么才是数学学习的最重要的基本功？？？？？

5，写给数学牛蛙的一些建议

小学篇：

1，小学数学究竟该学什么？培优的大方向究竟在哪里？

2，小学的加减乘除计算训练对中考高考究竟有多少影响？

3，小学数学的几何这一块究竟该怎么学，风云老师为你划重点和核心！

4，小学数学中有哪些内容其实并不重要？

5，职业数学家出的一份小学数学试卷(不断更新中，已更新至21题)

中学篇：

1，中学数学究竟该学什么？中学数学培优的大方向在哪里？

2，初高中的几何究竟该怎么学？？风云老师为你传授绝世神功！！！

3，中学几何之最高境界——复数方法

４，高考非常难，而中考却简单的新形势下，该如何整体规化初高中数学学习？？

《人人都能欣赏的数学证明》马上就要定稿了，下面是书中第一章第一节的内容，我希望人人都能看懂这个证明。

第一节：整除判定法

大家在小学阶段，就接触过这样一个数学知识：

被3整除判定法：判断一个自然数能否被3整除，只需要看这个数的每个位数之和能否被3整除。

举个例子， 243的每个位数之和是2+4+3=9，会被3整除，由此就能断定243也会被3整除。

再举个例子，1348的每个位数之和是1+3+4+8=16，不会被3整除，由此就能断定1348也不会被3整除。

小学数学课本是通过观察表格来引导学生发现这个规律，但问题是，为什么会有这个规律呢？

接下来，我们将“证明”为什么这个被3整除判定法总是对的。

证明：其实任何自然数除以3都是将这个数平均分成三份，比如判定243能否被3整除，其实就是问243个糖果能否平均分给三个小朋友。

243颗糖果可以拆分成2份100颗的糖果堆，4份10颗的糖果堆和余下3颗糖果，

如果我们从每堆糖果中取出一颗，那么就会有2份99颗的糖果堆，4份9颗的糖果堆，并余下2+4+3颗糖果。

注意，99和9都可以被3整除，因此这些糖果堆中每一堆都可以平均分给三个小朋友，并余下2+4+3颗糖果。所以243个糖果能否平均分给三个小朋友，就看余下的2+4+3颗糖果能否平均分。

再以上面的1348为例。1348颗糖果可以拆分成1份999颗的糖果堆，3份99颗的糖果堆，和4份9颗的糖果堆，并余下1+3+4+8颗糖果。

注意999也可以被3整除，因此这些糖果堆中每一堆都可以平均分给三个小朋友，并余下1+3+4+8颗糖果。所以1348个糖果能否平均分给三个小朋友，就看余下的1+3+4+8颗糖果能否被平均分。

证明完毕。

但是，请注意了，我们只是举243和1348这两个例子解释说明为什么被3整除的判定法是成立的，你还需要解释说明对其他数比如25791，892312，，，，，被3整除的判定法也总是成立。所以这个“证明”还不是严格意义上的证明，仅仅是一种解释说明。

另一方面，这种解释说明已经非常接近真正意义上的证明了，因为你会发现，无论你给出哪个自然数，完全同样的方法都可以解释说明被3整除的判定法对这个自然数是成立的。

到了这里，希望读者能回头再读一次这个“证明”，并思考：

为什么这个“证明”会成立呢？

如果把被3整除换成被7，或者被11整除，这个“证明”过程还会成立吗？

明显是不能成立的！因为在“证明”过程中运用到这样一个结论：

9，99，999，9999……都会被3整除

如果把3换成7，或者11，这个结论就不成立了。

但是，如果把3换成9，这个结论仍然成立：

9，99，999，9999……也都会被9整除

所以，如果将上面的“证明”中的3换成9，我们会惊讶地发现，“证明”仍然会成立，所以就得到

被9整除判定法：判断一个自然数能否被9整除，只需要看这个数的每个位数之和能否被9整除。

以1347为例，这个数的每位数之和为1+3+4+7=15不被9整除，所以1347也不被9整除。

这个被9整除判定法也可以迅速地求出一个数被9除的余数，上面的例子中因为1+3+4+7=15除以9的余数是6，所以可以断定1347除以9的余数也是6，这种方法称为弃九法(casting out nines)，可以用来验算加减乘运算。弃九法的历史非常悠久。最早关于这种方法的记载是在大约950年印度数学家阿耶波多二世(Āryabhaṭa Ⅱc.920–c.1000 )所著的《Mahâsiddhânta》一书中，后来伊斯兰著名学者伊本·西那（ibn-Sīna，980—1037）也给出了弃九法的详细介绍，并将这种方法称为印度方法。