解密NumPy求解梯度的一个关键难点

关于numpy的gradient方法，在参数edge_order等于2时，如何得到左右两个边界值，是比较难理解的地方，而网上的博文几乎都千篇一律，都没有对此做出正确的解释。

而关注我的老粉「高新区运气王」经过深思熟虑，找出规律，总结出edge_order等于2时左右两个边界值的推导，难能可贵！在此以飨关注我的读者。

1 Numpy求梯度

import numpy as np
x = np.random.randint(10, size=(6, ))
f = x**2
print(f"f:{f}")
# >> 0, 1, 4, 9, 16

grad1 = np.gradient(f)
print(f"不设置edge_order时, f的默认梯度:{grad1}")

grad2 = np.gradient(f, edge_order=1)
print(f"edge_order=1时,f的梯度:{grad2}")

print(f"查看f的默认梯度是否和edge_order=1时的梯度值相等:{(grad1==grad2).all()}")

grad3 = np.gradient(f, edge_order=2)
print(f"edge_order=2时, f的梯度:{grad3}")

输出结果如下：

f:[49 36 36 9 4 49]
不设置edge_order时, f的默认梯度:[-13. -6.5 -13.5 -16.  20.  45. ]
edge_order=1时,f的梯度:[-13. -6.5 -13.5 -16. 20. 45.]
查看f的默认梯度是否和edge_order=1时的梯度值相等:True
edge_order=2时, f的梯度:[-19.5 -6.5 -13.5 -16. 20. 70. ]

2 一阶中心差分

这里我对整个过程进行解析：

f的计算这里应该不用说，就是对生成的一维随机矩阵x求平方得到的。

根据打印结果我们会发现，默认情况下和edge_order=1时，f的梯度是一样的。

具体怎么算的呢？

先说下边界，整体来讲就是，左边界：f[1] – f[0]，右边界：f[-1] – f[-2]

比如本例中，左边界 = 36 – 49 = -13，右边界 = 49 - 4 = 45

再说下中间梯度：就是用的一阶中心差分，简而言之就是：

比如本例中，f的第二个梯度值 = (f的第三个数 – f的第一个数) / 2 = (36 - 49) / 2 = -6.5, 其他中间梯度值的计算也是同理。

3 理解难点（edge_order=2）

关键地方来了, edge_order=2时我们会发现，所得到的梯度值中间部分跟edge_order=1（也就是默认值）是一样的，区别就在于边界值。

按照官方文档来说edge_order=2就是利用边界处的二阶精确差计算梯度，具体啥意思呢？

网上博客也是千篇一律，都没有给出具体的计算过程。

这里我们对计算过程进行解析：

左边界 = 2*(edge_order=1时f的第一个梯度值) - (edge_order=1时f的第二个梯度值)

即：

（这里两撇表示edge_order=2时的梯度，表示f的第i个值）

大家可以自行跟二阶前向差分对比下，需要注意的是numpy里面求梯度这里中间部分的一阶差分是用的一阶中心差分。

右边界 = 2*(edge_order=1时f的最后一个梯度值) - (edge_order=1时f的倒数第二个梯度值)

即：

大家也可以自行推下这里，并跟二阶后向差分对比下。

本例中：

左边界 = 2*(-13) - (-6.5) = -19.5

左边界 = 2*(45) - (20) = 70

可以收藏下，日后你可能会用到。