当500年历史的数学问题，与钟摆、晨光中的咖啡与核反应堆相遇
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撰文 | 莎拉·哈特（Sarah Hart）
翻译 | 张岱铭
审校 | 不周
著名艺术家保罗·克利（Paul Klee）曾形容绘画的过程是“牵着一条线散步”——但为什么止步于此呢？五个世纪以来，数学家一直在思考这样一个问题：当你牵着圆或者其他曲线去散步时，会发生什么呢？且听我将这个迷人的故事细细道来……
摆线深深地吸引了伽利略，其神秘之处在于，关于这条曲线最基本的一些问题似乎都是无法解答的——它的长度是多少？包含的面积有多大？直线和拱形曲线之间的面积是多少？伽利略甚至在金属板上制作了一条摆线，并试图通过称重来估算面积，但他始终没能在数学上解决这个问题。
几年之内，似乎整个欧洲的数学家都痴迷于摆线问题。皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）、勒内·笛卡尔（René Descartes）、马兰·梅森（Marin Mersenne）、艾萨克·牛顿（Isaac Newton）和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）都研究过它。它甚至让布莱兹·帕斯卡（Blaise Pascal）重新回到了数学领域，在此之前，他曾发誓放弃数学，转而专注于神学。
有一天晚上，帕斯卡牙痛得厉害，为了转移注意力，他决定思考摆线的问题。结果这个办法真的奏效了——他的牙痛奇迹般地消失了，帕斯卡自然认为这是因为上帝赞成他研究数学。从此，他再也没有放弃数学。在巴黎卢浮宫的帕斯卡雕像上，你甚至可以看到他手持一副摆线图的形象。事实上，这条曲线变得如此著名，以至于它出现在几部经典文学作品——《格列佛游记》、《项狄传》和《白鲸》中都有提及。
摆线的面积问题最早是在17世纪中期由吉尔·德·罗贝瓦尔（Gilles de Roberval）首先解决，其答案非常简洁美妙——摆线面积正好是滚动圆面积的三倍。第一个计算出摆线长度的人是克里斯托弗·雷恩（Christopher Wren），他是一位极其出色的数学家，传闻中也涉猎建筑领域。他得到的也是一个优雅简洁的公式：摆线长度正好是生成圆直径的四倍。迷人的摆线对数学家有着如此大的吸引力，以至于它被称为“几何学的海伦”（ “海伦”指的是古希腊神话中著名的美女海伦，她因美貌而引发特洛伊战争）。
但这并不是它被这么称呼的唯一原因。数学界许多激烈的争吵都归咎于它。当数学家埃万杰利斯塔·托里切利（Evangelista Torricelli）独立地找到摆线与直线之间的面积时，罗贝瓦尔指责他剽窃自己的研究成果。罗贝瓦尔的支持者甚至声称，托里切利是因被揭露为剽窃者而羞愧至死（虽然更有可能的死因是他当时患有的伤寒）。笛卡尔则轻蔑地称费马关于摆线的研究为“荒谬的胡言乱语”。而在回应约翰·伯努利（Johann Bernoulli）的质疑时，艾萨克·牛顿愤愤不平地抱怨自己“在数学上被外国人戏弄”。
克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）是世界上第一个摆钟的设计者，他发现了摆线的一个奇特性质。钟摆之所以适合计时，是因为无论释放时的角度如何，它的运动周期——也就是钟摆完成一次完整摆动的时间——都是不变的。实际上这只在近似条件下成立，周期其实会有轻微的变化。
惠更斯想知道，是否可以做出更精准的钟。普通钟摆的末端沿着圆弧运动，但是否有一条曲线可以让钟摆无论从哪个位置释放，都能在相同的时间内到达曲线的最低点？这就是所谓的“等时问题”。你猜满足这个条件的曲线是什么？意外的收获是，它还与“最速降线问题”有关，即寻找一条曲线，使得一个粒子在重力作用下沿该曲线从一点滑到另一点所用的时间最短。看起来完全没有理由认为这两个问题可以被同一条曲线解决，但事实就是如此，而这条曲线正是摆线。这些问题的背景看起来与摆线诞生时的研究背景迥然不同，却仍然有它的一席之地，这着实是一个令人惊喜的发现。
当线沿着圆滚动
当你把一个圆沿着一条直线滚动时，你会得到一个摆线。但如果你把一条线沿着一个圆滚动，你会得到什么呢？这是一种称为渐开线的曲线。要画出一条曲线的渐开线，你需要取一个线段的端点，并沿着这条曲线滚动这条线，使其始终与曲线保持只在一个点上接触（也就是相切）。渐开线就是这个端点描绘出的曲线。对于圆的渐开线，想象一下从一个线轴上放开一根线，并追踪线端的移动轨迹。你会得到一条从圆周发散开去的螺旋曲线。
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惠更斯是第一个研究渐开线的人，这源于他为了设计更精确的钟而做的尝试。虽然我们知道摆线是完美的等时曲线，但如何让你的线绳遵循摆线的路径呢？你需要找到一条其渐开线是摆线的曲线。摆线本身就奇迹般地具有这个美妙的性质：它的渐开线就是它自己！而圆那些美丽的螺旋形渐开线也同样非常有用。
我最喜欢的渐开线应用，是惠更斯绝对无法预测的：圆渐开线可以被用于设计一种核反应堆，以产生大质量的元素进行科学研究。这种反应堆通过发射高速中子撞击较轻的元素，从而产生较重的元素。在圆柱形的反应堆核心里，氧化铀燃料被夹在薄薄的铝条之间，这些铝条按照特定的曲线塑形以适应圆柱的形状。每平方厘米上有上千亿个中子飞速运动，产生的热量非常大，因此需要在这些铝条之间添加流动的冷却剂。为了防止出现过热点，必须确保这些铝条在整个弯曲表面上保持恒定的距离。
圆渐开线一个有用的性质在核反应堆里找到了用武之地。如果你从圆周上等距的点开始绘制一组圆渐开线，那么这些曲线之间的距离在整个曲线上都会保持恒定。因此，它们是反应堆核心中燃料条形状的最佳选择。更妙的是，圆渐开线是唯一一种具有这种特性的曲线！最初在摆钟背景下研究的曲线竟然能解决核反应堆设计中的关键问题，这实在令我着迷。
当圆沿着圆滚动
我们已经把圆沿直线滚动，并将直线沿圆滚动。显然，下一步是让圆沿圆滚动。会发生什么呢？这里我们得分类讨论一下。滚动的圆有多大？我们是沿着静止圆的内侧还是外侧滚动？当一个圆沿另一个圆的内侧滚动时，形成的曲线叫做内摆线；沿外侧滚动则得到外摆线。如果你玩过“画图仪”玩具，那你几乎就已经画出了内摆线。准确地说你绘制的应该是所谓的内旋轮线，因为你的笔不完全在滚动圆的边缘。
在外摆线中，最有趣的要数心形线：它是当滚动圆和固定圆的半径相同时形成的心形曲线。而当滚动圆的半径是固定圆的一半时，形成的则是肾形线。心形线出现在许多有趣的地方。著名的分形图形曼德博集合（Mandelbrot set）的中心区域就是一个心形线。声音工程师所熟知的心形麦克风，就在一个心形线形状的区域内接收声音。在某些光照条件下，你可能会在咖啡杯的光影图案中看到类似心形线的曲线。如果从固定光源发出的光线在一个弯曲的镜面上发生反射，能看见一条这些反射光线均相切的曲线，这个光线集聚的区域被称为焦散。如果光源位于一个完美圆形镜子的圆周上，其焦散恰好会形成一个心形线！
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当然，在咖啡杯的例子中，光源通常不会正好在杯子的边缘，而是离杯子有一定距离。如果光源非常远，我们可以假设照射到杯子边缘的光线是平行的。在这种情况下，焦散实际上不是心形线，而是另一种外摆线：肾形线。但由于强烈的顶灯光源介于这两种极端之间，我们通常得到的曲线会介于心形线和肾形线之间。数学家阿尔弗雷德·雷尼（Alfréd Rényi）曾将数学家定义为“将咖啡转化为定理的机器”。这句话在奇妙的外摆线中表现得淋漓尽致。如果你恰巧正在享用你的晨间咖啡，不妨也来找找这些曲线的踪迹吧！
原文链接：
https://www.newscientist.com/article/2430522-500-year-old-maths-problem-turns-out-to-apply-to-coffee-and-clocks/
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