观点 / 刘润 主笔 / 二蔓 责编 / 黄静
以下是这篇重发文章正文。
我常说，只有底层逻辑才有生命力。
因为底层逻辑在面临变化的时候，能够应用到新的变化里面，会产生出新的方法论。
只有掌握了底层逻辑，只有探寻到了万变中的不变，才能动态地、持续地看清事物的本质。
可是你相信吗？
在这个世界上，其实有这么一样东西，天生就是一种“底层逻辑”。
那就是，数学。
数学，是用来描述万物本质的语言，是理解这个世界的底层逻辑。只有从数学上理解了一件事情，你才真正从本质上理解了这件事情。
经济学的尽头，是数学；物理学的尽头，是数学；所有自然学科的尽头，都是数学。
而商业和数学，也有着令人惊叹的紧密联系。
看似复杂的商业模式，用一个简洁的数学公式便可揭示其奥妙。很多棘手的商业问题，利用一些简单又常见的数学知识就能找到解法。
这就是我在《底层逻辑2》里，最想与你分享的：
如何用数学思维，理解商业世界的底层逻辑。
在这本书里，我想和你分享6种和商业高度相关的数学知识：
1.四则运算
2.笛卡尔坐标系
3.指数和幂
4.方差与标准差
5.概率与统计
6.博弈论
希望这些数学知识，能为你带来洞察之眼、深思之心，让你看透商业的本质，在商业世界里走得更远，飞得更高。但请相信我，作为数学专业的毕业生，我可以很负责任地说，数学一点都不难。
数学有趣，而且有用
是不是先脱口而出“三九二十七”，然后用27加90，得出了117？但是你发现没有，这么算有个步骤，是你绕不过去的，那就是“三九二十七”。我们所有关于乘法的计算，都是建立在熟练背诵九九乘法口诀的基础上。但是，你知不知道这个世界上，有一些国家，是不背九九乘法口诀的呢？事实上，全世界靠背诵“九九乘法口诀”来做乘法口算的国家，主要都集中在东亚。而俄罗斯、法国、很多国家，都没有“九九乘法口诀”。太不可思议了吧？没有九九乘法口诀，那他们怎么做乘法呢？俄罗斯人会拿一张纸，把9和13，分别写在第一行的左边，和右边。然后，在第二行，把9翻倍（18），把13减半（6.5）。6.5不是整数，就舍掉小数，只写6。所以第二行就是18和6。同理，第三行把18翻倍，把6减半，就得到36和3。第四行，再翻倍和减半，就得到72，和1.5。1.5扔掉小数，当1用。于是第四行，就是72和1。然后你看看右边这一列，有哪几个是“奇数”。13,3,1，这三个都是奇数。天啊，这也太神奇了吧？就这么不断的左边翻倍，右边减半，最后把其中几行一加，就是正确答案？为什么啊？今天我们不讲为什么。今天就是想告诉你，乘法，其实不止一种。他的计算效率不如九九乘法口诀高。但是，也是准确而有用的。再比如古埃及。古埃及人的乘法，很有意思。9乘以13，怎么算？公元前3000年，古埃及人是用堆石头的方式，来计算乘法。他们先在地上堆13个石头。然后在右边另放一个做标记。第二行的石头翻倍，标记也翻倍。第三行在第二行的基础之上再翻倍。第四行再翻倍。现在我们看看右边用于标记的石头，哪几行加在一起是9个？第一行和第四行？好的。把这两行的石头加在一起数一数。看看有多少个？天啊，这也太神奇了吧？就这么不断的左边翻倍，右边翻倍，最后把其中几行一加，就是正确答案？为什么啊？其实不只是农夫乘法，古埃及乘法，这个世界上，还有印度乘法，划线乘法，等等用来计算乘法的方式。所有这些乘法，都是对的。因为他们都是准确而有用的。但是如果说效率，九九乘法口诀的效率，是很少有别的方式能及的。九九乘法口诀，是中国人在春秋战国时期发明的。秦始皇统一中国后，里耶秦简“九九乘法表”已成了当时的数学教材。13世纪，九九乘法口诀传入西方国家。但是，中国的1-9，都是单音节。而英语里的one、two、three……nine，却有单有双。所以，很难有节律地背诵中国的九九乘法口诀。俄语就更复杂了。所以，伟大的九九乘法口诀，最终还是只在以中国为主的东亚地区广泛使用。“九九乘法表”这一伟大发明，赋予了几乎所有中国人出色的基础计算能力。如果你知道，你小时候背九九乘法口诀，居然这么有用时，你是不是背起来也会更加有兴趣呢？如果你觉得数学枯燥，而且脱离现实，除了考试之外毫无用处，那是非常可惜的。你错过了一门连接现象与本质之间的语言，你错过了理解商业世界最底层逻辑的终极方法。
四则运算商业世界的生命体，是企业。和生物世界的个人一样，企业也需要谋求个体的生存繁衍（竞争），和群体的共生繁荣（合作）。有时候，我们选择竞争，有时候我们选择合作。目的都是永续经营。合作竞争，可能是在同一个维度上，也可能是在不同维度上。十个人都在种地，这是同维。大家的贡献是在同一个维度（种地）上的。但是，如果有人浇水，有人种地，有人运输，大家的贡献，就是在不同的维度上了。为什么要理解竞争合作、同维异维？因为理解了这两件事情，你就能理解什么是“商业世界的加减乘除”了。比如，你是怎么安排销售的工作的？安排10个销售，每个人都去独立发展客户，各自打粮食回家？如果是这样，你是在用“加法”管理公司。每个销售，都在用同样的方式，同样的权重，对公司的整体业绩做贡献。但是有的公司不是这么做的。比如贝壳。贝壳管理公司的方式，是乘法。同样是房产中介，大部分公司是每个销售独立作战。但是，在贝壳的眼里，这种“散兵游勇”式的“加法管理”，是做不了大事的。为什么不试试乘法？贝壳把房产中介的工作，分成了10个角色。没有任何一个人，可以独立的完成销售工作，他们有各不相同的分工，然后协作，完成一单。他们对这一单的贡献维度不一样（10个维度），权重也不一样。市场份额总共100%。你拿了20%，我就少了20%。公司定下来今年有2000万的市场预算。每个产品线报一下，你要多少？产品线A，B，C，……，Z，都觉得自己挺重要，拼命抢，最后合并预算方案的总花费，将近2个亿。你说减一减，每个人都愁眉苦脸，振振有词，说不能减，减了就做不下去了。老板很痛苦。为什么会这样？因为每个产品线的竞争对手，是同维的另一条产品线。这就是：减法思维。可以。但是，请不要和其它产品线抢。试着和你的“营收”抢。预算（支出），和营收（收入），是不同维度的数字。不要让支出和支出竞争，要让支出和收入竞争。所有产品线都可以来要预算。但是，这笔预算的年度ROI必须大于2，否则扣奖金。这时，每条产品线的竞争对手，已经不是其它产品线了，而是自己的营收能力。如果这时大家报上来的还是2个亿，你可能会笑着去借钱，都要给。因为这说明，团队们认为自己有能力打败营收能力这个强大的对手，而不是打败其他部门的同事。除法的核心，是把两个关键经营数字，分别放在分子分母上，要求一个必须战胜另一个。每个公司，都有大量的数字。每个数字，都有它独特的价值。而商业世界的加减乘除，就是从这些数字中，开采出矿藏的最基本手段。
笛卡尔坐标系
比如，总有人问我一个问题：润总，我应该招什么样的员工，态度好的，还是能力强的？因为这个问题的问法，就是典型的笛卡尔时代之前，把高维问题“降维思考”到一维视角之后，提出的问题。一维，就是一条线。态度好，是这条线的左端。能力强，是这条线的右端。要么左，要么右，不可兼得。这就是一维视角。其实不是。中间不是“兼得”。中间是“妥协”。用能力差一点，换态度好一点。两个都有损失，但两个都“不太坏”。但是，你想过没有，态度和能力，是一个维度上的事情吗？态度本身就是一个维度。这个维度一端如果是“态度好”，那另一端只能是“态度差”。而能力，是另外一个维度。这个维度的一端如果是“能力强”，那另一端只能是“能力弱”。态度和能力，是不应该放在一条线上来做“二选一”的。他们是两个维度的事情。笛尔卡如果听到这个问题，他可能会给你画一张二维直角坐标系，教你从二维视角来思考问题。这个“二维直角坐标系”，用横轴（能力），和纵轴（态度），把可选的员工，分成了四个象限：明星。能力强，态度也好；小白兔。能力弱，但态度好；土狗。能力弱，态度也差；野狗。能力强，但态度差。当你如果能向笛卡尔一样“升维思考”，你就会发现，原来这个世界上不仅有能力强、态度差的“野狗”，或者态度好、能力弱的“小白兔”。这个世界上，还有两个都好的“明星”，以及两者都不行的“土狗”。明星，小白兔，土狗，野狗。这就是阿里把员工分类的方法，是个典型的二维视角。小白兔为什么要培养使用呢？小白兔值得培养吗？是想把小白兔的能力培养好，成为明星吗？如果这样，那为什么野狗不能也“培养使用”呢？把态度调整过来，也培养成明星呢？这时，我们就需要继续升维思考。在态度、能力两个维度之上，引入第三个维度：可塑性。我们都想招到明星员工。但是明星员工毕竟是稀缺的。我们身边遇到最多的是土狗。其次是小白兔。然后是野狗。明星，很多都在大厂的关键岗位上，挖不动。把土狗、小白兔、野狗，培养成明星员工，可能才是可行之路。那么，谁更容易培养？这就涉及到“可塑性”这个维度了。那么请问，是一个人的能力更可塑，还是一个人的态度更可塑呢？人与人之间，当下的“能力水平”，当然有差别。但是人与人之间“能力天花板”的差异不大。而且，大部分人离自己的天花板，还差很远。即便是明星。一个人的价值观，德行，态度，是过去几十年的人生经历塑造的。一旦形成闭环，非常难改变。除非是遇到一些重大的人生变故，大部分人会在自己的信仰、价值观、习惯里走不出来。态度的可塑性比较差。所以，当我们用三维视角看问题，心中放的，就不仅是今天的明星员工，更是未来的明星员工。一套“员工培养体系”，就会建立起来，为公司的发展，不断“种植”明星员工，而不是“采集”。一旦有了前后，左右，上下，三个维度后，我们混沌的思考，就可以被结构化地拆分为三个方向进行分别研究，然后再叠加起来深度思考。
指数和幂
先来看一个算式：2³=8。这里面的3就是指数，8就是幂。而这个2，叫做底数。这种算法，叫做乘方。这两条算式，看上去没有问题，也很励志。但问题是，它忽略了，有些东西的进步，是做不到每天1%的。比如说，劳动力水平。你一天能组装200个手机。但不管你这一年内怎么提升自己，一年后都不可能一天组装756个手机。润总，我发现餐饮业到今天为止，都没有一家公司可以占据全国5%以上的市场份额。但互联网行业，一家公司可以占据70%。说明餐饮行业还有巨大的机会啊。餐饮业有4万亿的市场规模。如果我用互联网公司的方法进入餐饮业，也干到70%的市场份额，那不就是一家年收入将近3万亿的公司啊？比华为还大好几倍啊！但，他用互联网的办法，就真的能做成一家年收入3万亿的公司吗？如果你没有听说过百胜中国，你一定听说过它的品牌：肯德基，必胜客，小肥羊，等等。百胜中国，已经是极其受尊敬的餐饮集团了，你去研究它的管理方法，已经是令人叹为观止了。但是，依然只占中国餐饮市场的1.5%。在互联网行业，1.5%的市场份额，你都不好意思和人家打招呼。百胜中国，已经是一家上市公司，有“资本”的加持。百胜中国在互联网（会员、外卖）上也做了大量创新，所以也有“科技”的赋能。但是，到最后的最后，肯德基的每一块炸鸡，都需要被具体的人炸出来，每一盒汉堡，都需要被具体的人包起来。虽然有资本和科技的加持，但是年收入600亿的百胜中国，更重要的依然是“劳动力”。你想象一下，你管理40个员工的时候，是不是已经觉得很难了？管理400就更难了。管理4000，4万呢？百胜中国管理了44万员工。如果要做到6000亿，占中国餐饮15%的份额，可能就需要440万员工，甚至更多。科技公司华为，2021年营收6300多亿。但是你猜华为有多少员工？科技公司用13万员工做到6000多亿收入。而餐饮业要做到同样的收入，可能要至少400多万员工。到目前为止，地球上还没有一家公司，能管理400万员工。目前最大的是沃尔玛，大约230万。也就是说，在餐饮业，一个以劳动力为主要生产要素的行业，几乎是不可能出现超过10%市场份额的巨头的。换句话说，在餐饮业，创业公司的收入，可能就不遵循幂律分布。餐饮业的创业公司的收入，可能会遵循正态分布。
所以，如果让你选，你要进入哪个行业，选择哪个赛道？餐饮业，还是互联网？这是一个非常重要的战略选择。在数学规律的作用下，餐饮业，符合正态分布，而互联网，符合幂律分布。理解了数学里的指数和幂之后，你才会明白，打打杀杀，都是小事。
方差与标准差
方差和标准差，不是那么显而易见的概念。但是，他对你从更底层逻辑理解和指导经营管理，又特别重要。所以，请允许我花一点时间，先从数学上稍微解释一下这两个概念。假设，X、Y两家公司，各有5名员工。两家公司的员工平均收入，都是72万。但是，每位员工的收入，并不一定是准确的72万。这时，你能一眼看出，X公司的员工收入，和平均收入的“差距”，要比Y公司大不少。但是，这还是直观的感受。能不能从这组“个体差异性”数字，算出一个“群体差异性”指标呢？先平方，再均差，这就是我们用来衡量一组数据“差异性”的方法，叫“方差”。有了方差这个指标，现在就算在你面前摆1万家公司，你也能先给他们先打分，再排序，然后准确地说出任何两家公司，谁的收入更分散，谁的收入更集中了。X组数据的标准差，就是√536=23.15。Y组数据的标准差，就是√3.6=1.90。有了标准差，我们就可以说X公司的平均工资是72万，有23.15万左右的波动。Y公司的平均工资也是72万，有1.90万左右的波动。假设，你是一家手机品牌商，新开发了一款前置摄像头手机，所以需要在表面玻璃上打孔。这个孔的直径，是7.2毫米。这款手机对你来说，非常重要，所以你找了X、Y两家代工厂试样。很快，两家工厂各自给你交回来5块打好孔的样品，并告诉你，孔直径正好是平均7.2毫米。可是，你测量了每一块玻璃，发现数据居然各不相同。X工厂就是个坑啊。5毫米，10毫米，10毫米，6毫米，5毫米，没有一个在7.2毫米附近。你一算，发现标准差是2.32毫米。你的手机，其实经过一定的容错设计。7.2毫米±0.3毫米其实都可安装。但是X工厂的产品标准差实在是太大，2.32毫米，以至于没有一个样品在容错范围内，最后没有一款产品可以使用。而Y工厂，最小的孔是7毫米，最大的孔是7.5毫米，都在7.2毫米±0.3毫米的容错范围内。一看，果然标准差很小，只有0.19毫米。所以，Y工厂的打孔玻璃，都可以用。当然是Y工厂。因为X工厂标准差太高，以至于最后的良品率是0；而Y工厂的标准差控制得很好，良品率是100%。同样是生产打孔玻璃，我们说Y工厂生产的打孔玻璃：质量更高。标准差更小的产品，质量更高。因为标准差越小，性能越稳定；性能越稳定，质量越高。因为只有量化了的差异性，才是可以比较的差异性，才是可以改进的差异性，才是可以作为健康指标的差异性。
概率与统计
概率，是用于个体的概念，用来“衡量”一件事情，将要发生的“可能”的大小。对于“好的事情”，衡量“运气”的好坏；对于“坏的事情”，衡量“风险”的大小。统计，是用于群体的概念，用来“计量”一群样本，满足条件的“比率”的大小。对于“多的事情”，计量“普遍”的幅度；对于“少的事情”，计量“稀缺”的程度。关于概率与统计还有很多相关的数学概念，我仅举一例：大数定律。在做咨询之前，我在科技行业工作了很多年，所以很幸运，共事、或者结识了大量科技行业的同事、朋友、老师。开始做咨询之后，他们其中有些人离开原来的公司创业，也会来找我聊聊。我会给些自己的建议。甚至，会参与一些投资。有一次，我和五源资本（原来晨兴资本）创始合伙人刘芹聊起这件事。五源资本是中国最著名的VC之一。他们投过的项目，像小米、快手等等，都获得了相当好的回报。刘芹，给我分享了他的投资经历。哇，这个创始人太厉害了，这个项目太好了。每个人身上都有闪闪发光的点，每个项目都有独到之处。当然，有些项目成功了。但是没想到的是，更多项目失败了。这个团队有问题，这个产品有问题，这个股权结构有问题，这个市场定位有问题。如果你想找问题，你一定能找出问题。面对数不清的问题，刘芹说他总是不敢出手。但是，不出手虽然没有风险，但也因此没有收益。第三个阶段，他开始逐渐形成了一套自己的投资原则。符合这个原则的，再有问题，都是可以投资的；不符合这个原则的，再闪亮的创业者都不碰。这套原则，让他避开了很多坑。当然，也漏掉了不少好项目。但如果把所有用这套原则投过的项目收益拉平了来看，是成功的。用数学的语言表述，刘芹的“投资原则”，就是一个自己打磨出来的、极其宝贵的“数学期望”公式。每见到一个创业者，他就把创业者的情况代入进去算一下。如果算出来的数学期望为正，就投。数学期望为负，就不投。那么，会不会数学期望为正的创业者，最后创业失败；而数学期望为负的创业者，反而成功了呢？但是，如果你投10个，100个，甚至1000个项目后，就会发现这些“个体的不确定”就会被逐渐磨平，慢慢浮现出“群体的确定性”。最后1000个项目的平均收益，无限接近“数学期望”。用最简单的例子来表述就是，如果掷硬币得到正面的概率是50%，那么掷的次数越多，就会有越接近一半的硬币是正面。因为大数定律，个体的不确定性，被转化为了群体的确定性。一个专业投资人赚的，其实从来都不是1个项目的巨额收益。那有“个体不确定性”。投资人赚的，是10000个项目的平均收益。那有“群体的确定”。而一个“顶尖的”专业投资人之所以顶尖，是因为他独有的投资原则的“数学期望”比别人高，同时他对“大数定律”的信仰比别人强。我问刘芹，那你用了多少年，才走到第三阶段，找到自己的“投资原则”的呢？听完后我决定，除非特殊情况，我再也不直接投项目了。我投的这个项目，纯粹是上天赏饭吃，靠运气。
博弈论你可能在经济学的书里看过博弈论，在社会学的课里听过博弈论。是的，博弈论的应用很广。但是谈博弈论，首先是个数学问题。发明博弈论，以及对博弈论起到巨大贡献的冯·诺依曼，约翰·纳什，都是数学家。关于博弈论的重要概念也有很多，我仅举一例：收益矩阵。收益矩阵，又叫支付矩阵，又叫报酬矩阵，又叫赢得矩阵，又叫得益矩阵。很多名字，但都有“矩阵”这两个字。因为一旦决策者从单人，变为至少双人，决策的结果，就从一维的“得失”，变为二维的“利害关系”问题了。A和B石头剪刀布。对A来说，出剪刀，石头，还是布的“得失”最大呢？显然，这要取决于B出什么。B的选择，和A的选择，共同决定了彼此的“利害关系”。A和B都关心自己的“得失”，但是他们的“得失”交织在一起，构成了这张“利害关系”图。当A出石头时，如果B出剪刀，则收益为（1,-1）。但是如果B预判了A的石头，出了“布”，那收益就变为了（-1,1），情况完全逆转，变为了A减1分，B加1分。但是如果A预判了B的预判，知道B预判自己出石头，所以出布，于是就出了剪刀（有点拗口啊），情况就再次逆转，收益变为（1,-1），A加1分，B减1分。他们拳不动，心在动。两人在心里不断博弈，他们各自的得失，就在这张“收益矩阵”里不断游走。6轮之后，又回到原点。每个用“语文”来描述的游戏规则（Game Rule），翻译成“数学”，就是一张收益矩阵的表。决策双方，在这个收益矩阵里，研究如何扩大自己的赢面。最好稳赢。那么，在石头剪刀布的游戏规则下，这张收益矩阵表里，有谁可以“稳赢”吗？一个“稳赢”的游戏，是一个没有生命力的游戏。围棋，象棋，国际象棋，五子棋，这些流传了几百上千年的游戏，都没有稳赢的策略。因为如果有人能稳赢，那必然会输掉的一方就不参与了。所以这个游戏，就流传不下来。博弈论的很多重要概念，比如收益矩阵、占优策略、纳什均衡，都能帮助你更好地理解商业世界的，诸如投广、进货等问题。因为博弈论，能帮你研究如何在复数主体下，做战略决策。
这就是我今天想和你分享的底层逻辑，和6个相关的数学知识。在《底层逻辑2》中，还有更多其他的知识，帮助你建立底层逻辑，解决商业世界的各种问题。但是，借用罗曼·罗兰的一句话：真正的英雄主义，是看清生活的真相后，依然热爱生活。最后，我也要感谢机械工业出版社华章公司，和好友们的支持，让《底层逻辑2》最终成书。最后的最后，我也斗胆邀请你，和我一起通过底层逻辑，看清世界的底牌。*个人观点，仅供参考。
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