E等于二分之一mc2的一个直接的量子力学结果

戴榕菁

量子力学中直接受到把著名的爱因斯坦质量能量关系E=mc²改为E=mc²/2影响的非作为量子力学的核心内容的德布罗意波假设莫属了。这是因为德布罗意波的波长由下式给出：

λ= h/p                                                  （1）

其中λ是波长，h是普朗克常数，p是动量。（1）是将量子力学关于光子的波长与动量关系直接引申到有质量的粒子而得到的。与光子不同的是，（1）中的动量p由所谓的相对论动量表达式给出（参见【[1]】的讨论）：

p = γmv                                               （2）

v是粒子运动速度，γ是所谓的洛伦兹因子，由下式给出：

γ = 1/√(1-v²/c²)                                    （3）

而在所谓的相对论力学中，能量E的表达式为：

E = γmc²                                              （4）

所以，对于一般的粒子由（2）和（4）得出：

p = Ev/c2                                             （5）              

对于光子来说，v = c, 所以

pc = E                                                  （6）

同时由普朗克-爱因斯坦公式得：

E = hf = hc/ λ                                       （7）

由（6）和（7）得出 （1）。

因为在量子力学中不承认光子有质量，将有（2）和（4）得出的（5）用于光子并令v = c来得到（6）式实际是一种延拓，一种新的定义。然后，1924年德布罗意又将由（6）和（7）得出的（1）直接用回到有质量的粒子，那就是第二次延拓，又一个新定义。20世纪的物理学充满了这样的延拓来延拓去的操作，有时他们明确将这些延拓称之为“假设”，德布罗意的波理论就是被明确称为假设的一个例子，但有时他们连假设都不提，著名的狄拉克方程及狄拉克所模仿的克雷恩高登方程就是一例。

我们之所以能用E = mc²/2来取代E = mc²【[2],[3],[4],[5],[6]】的前提就是否定所谓的洛伦兹因子的意义，因此似乎应该与德布罗意波没有直接关系。但如我之前多次指出的，20世纪物理学的一大特点就是具体（数学关系）上的错误可以通过符号脚手架（semiotic scaffolding）来得到哲学上的正确结论（尽管否定哲学的价值很不幸地是20世纪物理学的一个重要特征）。因此，上面的推导和延拓中涉及到洛伦兹因子这一点本身并不构成对德布罗意波假设的哲学定性的否定。其实如果我们在（2）和（4）中令洛伦兹因子为1，便可得到：

p = mv                                     （2a）

E = mc²                                                （4a）

由（2a）和（4a）我们仍可得到（6）式样，将（6）与（7）结合仍可得到（1）式。

但显然，当我们将（4a）换成E = mc²/2后，（1）便要相应地改为：

λ= 2h/p                                                （8）

（8）式就是将E = mc²换成E = mc²/2后的德布罗意波的波长公式。

两点讨论

1. 德布罗意波被认为是一个得到实验证明的假说，虽然从维基百科等科普材料上我只找到如何计算德布罗意波长或频率而没有找到如何实测德布罗意波长或频率，我在具体的专业文献看到人们声称可以高精度地测德布罗意波的频率并计算波长。另外，如今红遍世界的芯片光刻技术也表明人们确实在具体实践中实际处理了德布罗意波。

对于这一点，我的评论是：首先，还是那句老话，我相信逻辑的一致性，不可能在某个领域已被证明明显错误的逻辑到了另一个领域突然又成立了。

第二，与光波不同，准确测量频率未必等于就能准确测量波长。

第三，工业上直接应用的主要是波长而不是频率这点没错，但工业上估算波长所考虑的因素很多，诸如所谓的原子间距，光波频率等等，而不是简单地象丈量土地那样地直接测量德布罗意波长。根据我们对于20世纪物理学界的种种闹剧的了解，我们应该知道只要涉及的参数多了，就可能会出现各种偶然的因素，甚至会出现不同的错误相互抵消的现象。

如果所有的参数都可以按照教科书给出公式计算，今天的光刻技术就不会被认为那么高端了。今天的光刻机那么抢手本身说明先进的光刻机制作公司掌握了别人不知道的实验参数。说不定将波长放大一倍就是他们的秘密，而我相信他们之所以能够准确地进行光刻，他们所真正内部遵循的最后公式一定是（8）而不是（1）；即便他们的起点公式是（1），也一定会在某些具体的处理上起到了将波长放大一倍的效果而实际成为了（8）----我这么说还是因为我相信自然逻辑总是自洽的。

2. 在前文“醉拳师傅的理论之三大重要意义”中我提到“当然，因为他讨论的是光子而不是一般的物质，所以他的文章对于作为一般物质的质量能量关系的E=mc²/2的印证是非常有限的。不过他的结果的正确性至少在一个极端的状态下验证了我的理论。”

但实际上，从量子力学中对于光子动量公式（6）的推导以及德布罗意将（1）延拓为物质波长的过程我们可以看到他们实际上是明确用到了E = mc²  的（E = γmc²是对E = mc²的延拓），所以，Henri的模型的结果之出奇的漂亮对于E=mc²/2的印证虽说比不上直接由非光粒子的实验能够得到的印证，但也还是超出了我在那里说的“在一个极端的状态下验证”，是非常值得高兴的一件事。