《科学理解的方法论 05》

我们可以就太阳系的发现历为例对人类认识过程进行梳理。演绎法依然是重要的手段。如果仅限于亚里士多德的三段论逻辑推理，从大前提和小前提到结论，不会产生新的结果，培根说的不假。结论已经包含在大前提里。但是演绎法不只是逻辑，它还包括数学的整个体系。按康德的说法，逻辑和数学是在人类认识理性层面上先验的认知。它们独立于也高于人类的经验认知。事实上，逻辑学可以用数学的集合论来表述。自然界不存在数学里抽象的点，线，面， 和体。自然数也许有经验上的联系，但是自然界没有分数，无理数，虚数，四元数，和矩阵。这些都是人类理性中抽象出来的逻辑单元。数学和逻辑实为一体。数学不仅仅规范了科学的逻辑演绎过程，而且将很多的科学概念转换成变量。然后科学在变量的测量和变量之间量的关系的研究过程中获得更多的知识。比如阿利斯塔克对日月地三体系统的观测。又比如在牛顿力学体系里，我们能够得到以下知识。在均匀引力场里的物体运动是抛物线。在点引力场里，物体运动轨迹可以是开普勒描述的封闭式的椭圆，也可以是开放式的抛物线和双曲线。甚至纯粹数学里的整数论里对质数的研究所提供的知识和结果在现代密码技术里找到重要应用。

数学在现代人的观念里是由一套公理所演绎推理出来的一个知识体系。欧几里得几何就是建立在五大公设基础上的数学系统。三角的内角和一定是180度。数学在很多情况下是独立的发展的。毕达哥拉斯学派发现了勾股定理，又从中导出了当时无法理解的无理数。这成为数学史上的第一次危机，也是数学发展的突破点。当高斯等人放弃欧几里得的第五公设，一个更普遍意义的非欧几何出现了。三角的内角和可以大于或小于180度。由传统的算术体系可以推广到更普遍的有关群，环，和域的代数体系。数学的发展对科学非常关键。数学是科学抽象描述和演绎的工具。很多情况下，我们看看数学的发展超前于科学。比如，太阳系行星轨道用上古希腊人就知道的圆锥曲线。当闵可夫斯基了解到爱因斯坦的狭义相对论原理时笑着说，这不是我们早就知道的四维空间吗？爱因斯坦的广义相对论基于黎曼几何。海森堡发现他量子理论里位移和动量矢量操作不可交换后求助于矩阵。另一种情况，也是唯一的情况，就像牛顿同时提出力学运动力律和微积分。没有后者，牛顿的伟大理论无法建立起来。也有这种情况，麦克斯韦先建立了电磁理论，然后吉布斯和赫维赛德发明了矢量分析，重新表述麦克斯韦方程。人们对电磁理论本质的理解从而更加清晰和深刻。或许，现代的科学发展正在等待数学上的突破。我们不得而知。

我不知道为什么数学，作为先验的知识，不是人类一开始就所知的，而是随人类的进步而发展。也许是因为数学由人类的整体认知所局限，从而由小到大，由低级到高级发展。数学家希尔伯特曾想像出一番愿景，期望有一个终极的公理化数学体系。所有的数学论述都可以从公理出发，通过演绎推论，最后被证明真伪。但是，哥德尔通过数学论证证明这样的数学体系不存在。既然我们的数学认识不能够完备，基于数学和逻辑的科学认识同样也不可能完备。我们不可能对世界有最后终极的理解。

--写于2022年6月28日（图片来自网络）