量子论与古老的力学

戴榕菁

提到量子论，人们马上会想到波粒二相性，会想到爱因斯坦的光量子理论和德布罗意的粒子波理论。如果回顾历史，我们又可以看到通向波粒二相性的两条不同的脉络：一是始于牛顿时代的关于光是粒子还是波动的争论，另一是普朗克的辐射能的量子化理论。这两条脉络综合最终将人类带入了波粒二相的自然哲学领域。

但是，在建立了波粒二相概念之后的数学的处理上，对于量子化的波动性的处理则主要表现在薛定谔方程的运用上，而对于具有波动的粒子的处理主要表现在后来的粒子物理（其理论框架即量子场论）的研究上。薛定谔方程主要的来源是哈密尔顿力学，而粒子物理的数学核心则是属于拉格朗日力学的欧拉-拉格朗日方程。或许这就是为什么量子论一直被称作量子力学的原因------从数学的处理上它实际上属于古老的哈密尔顿力学与拉格朗日力学的范畴。至于说让量子力学听起来极其玄幻且被很多人捧为量子论的根本核心的群论则不过是数学工具而已，离开了薛定谔方程和欧拉-拉格朗日方程所诠释的量子化的波动及粒子运动的物理意义，那些诸如SU(3)，SU(2)，U(1)等群论理论则无异于数学游戏而已。

而哈密尔顿力学与拉嘎朗日力学基本是一样的，只不过方程的表达方式不同。它们都基于一个更为基本的概念：作用（action），以及一个相关的原理：最小作用原理或。所谓的作用是将系统的动能与势能之差对时间进行积分，而最小作用原理是说作用的变分为零。

现在问题来了：作为量子论理论基本框架的最基本的概念的作用是一个目前没有被解释清楚的概念，因而与之相关的最小作用原理也就成为了一个目前没有被很好理解其根本依据的原理。我之所以强调“目前”二字，是因为我不敢说是从来就没有人理解这背后的机理，只不过从费马，到拉格朗日，欧拉，哈密尔顿都没有给出一个相关的书面的严格解释，后来的诺伊德，爱因斯坦，薛定谔等等也就直接运用了。

当然，人们会说牛顿力学的作用力与加速度的关系为什么成立也没有一个严格的解释呀。不过这两点还不完全一样。牛顿力学与时间空间和作用力这些可以直接观测的数据连在一起，使得其物理意义明确，因而被称为经验公式是合适的。

但是，“作用”这个概念与直接观察相比绕了很大一个圈子，先是要找出系统的动能和势能，然后在乘以时间间隔，再求和，再取极限。这就使得它的物理意义不那么明确，然后在这么一个至今找不到文字上严格阐明其所以然的概念的基础上再搞个变分为零，多少让人心中隐隐然有些不踏实的感觉。

这里暂且把哈密尔顿力学放一放，因为薛定谔其实并不是严格地从哈密尔顿力学推出他的方程的。他其实并没有给出一个严格的推导，他在文章中通过于哈密尔顿力学和经典波动力学进行类比而直接给出了他自己的方程，而且他最初得到的方程的表达也与今天不完全相同【[1]】，尽管实际上是一样的，而且他也给出了今天人们常用他的方程来求得的解。

不过，量子场论中则是严格地运用欧拉-拉格朗日方程。

有人会说我们可以从牛顿力学推导出拉格朗日力学，也可以从拉格朗日推出牛顿力学。这种等价性使得牛顿力学的物理意义就等同于拉格朗日力学的物理意义了。不过，这种说法不是很严格。虽然可以从牛顿力学推出拉格朗日力学，反过来推则是有条件限制的。一般要求是保守系统，即不存在能量耗散的系统。

对于包括量子力学在内的拉格朗日力学来说，更要命的恐怕是即便是在完全保守的系统中，用拉格朗日力学计算出来的解也可能不对。

举例来说，让一个轮子滚下平滑的斜坡，如果忽略摩擦，那么由拉格朗日力学算出的解就是符合能量守恒的正确解；如果考虑摩擦，那么就无法简单地用拉格朗日力学来计算了。但是，如我之前在很多文章中讨论过的，从2021年开始，我已找出了几组打破能量守恒的运动形式。这几种运动形式中，即便完全不考虑摩擦等耗散也无法运用欧拉-拉个朗日方程求解。比如，在一个DDWFTTW运动中，如果完全忽略摩擦，我们可以很容易找出系统的拉格朗日函数，但是当我们把这个函数代入欧拉-拉个朗日方程后，所得出的一定不是该系统的运动方程；同样，对于一个ETDPMS系统运用欧拉-拉格朗日方程也不会得出正确解。

由于我们其实并不知道为什么最小作用原理是合理的，因此也就无法知道在什么条件下一个不具有耗散的系统会不满足欧拉-拉格朗日方程。这就给人们运用拉格朗日力学来求解看不见摸不着，完全建立在理论假设和数学模型基础之上的量子世界的运动又增添了一层不确定性。。。。。。