一不小心破解连续性假说（CH）？

2022-07-18 09:07

戴榕菁

所谓连续性假说（Continuum Hypothesis，缩写CH）是有著名集合论大师康托在1878年提出来，又被希尔伯特在1900年列为23个数学问题的第一个，而且据说至今也没有明确答案的一个问题。其基本论点为：不存在这样一个集合，它的基数大于自然数集合的基数而小于实数集合的基数。

昨天在academia被邀请去参加某人证明CH的文章的讨论（https://www.academia.edu/s/a6ed99ac3f?source=link）。我之前从未关心过这个问题（不敢说没听说过，因为这些年读过的文章数不清，未必都留下印象。只能说没什么印象），不过昨天我直觉感到这个假说本身就是错的。我给出了一个简单的反例，但因为没有用到无穷的概念，被那里的人认为不能接受。今天我上网查了一下，发现康托本人的工作似乎并非要证明这个假说，而是要否定这个假说，只不过一直未成功。后来的哥德尔等人用复杂的数学也是为了证明这个假说不对，只不过未能成功而已。

上面这些信息对一上来就要否认该假说的我来说是很大的鼓舞，于是我便将昨天给出的简单的反例扩展到无穷大集合来否定CH的合理性。我个人至少目前感觉我的证明是严格的。下面是我的证明：

先证明有理数序列的基数大于自然数序列。

我们可以将自然数序列表达为：

1, 2, ….m, m+1,…..

其中m 是任意一个自然数，则我们可以构建下面有理数的无穷大序列：

1/2, 1, 1, 2, -1/2, -2, -1,-2, …..m/(m+1), (m+1)/m, m, m+1, -m/(m+1), -(m+1)/m, -m, -(m+1), …….

很显然，不论你如何延展这个有理数序列，它的基数都是自然数的4倍；即便我们要除去重复的数（除去所有被1除的数，及其它的整数倍的分数），它的基数也一定是大于自然数。

再来证明实数的基数大于自然数的基数。

对于任何一个大于1的有理数m/n，我们可以构造下面这个序列：

(m/n)^(1/2), (m/n)^(1/3), (m/n)^(1/4)…..(m/n)^(1/k)…..

该序列中的至少绝大多数都是无理数。所以，实数的基数一定大于有理数。

至此希尔伯特的23问题之第一问题的连续性假说（Continuum Hypothesis，CH）被否定。