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圆形水池里有4只鸭子,它们在同一个半圆里的概率有多大?初中数学题让4个硕士差点打起来!

圆形水池里有4只鸭子,它们在同一个半圆里的概率有多大?初中数学题让4个硕士差点打起来!

教育

有一个很古老的数学问题,不知为何最近又突然火了:

四只鸭子在一个圆形的水池里,每只鸭子的位置都是随机的。请问这四只鸭子在同一个半圆里的概率有多大?

我看了网上不少人的做法,都太复杂了。其实,这个问题难度并不大,我们可以用下面的方法:

首先,把每只鸭子和圆心连线,你会发现:连线的长度并不重要,我们关心的是连线的角度——只要夹角最大的两条线夹角小于180度,就能满足要求。既然如此,我们可以让鸭子分布在一个圆环上。这样我们就把问题从一个二维平面问题,变成了一个一维圆环问题了。

然后,我们假设所有的鸭子心中都有一个正方向,比如顺时针为正。如果鸭子的分布满足要求,那么一定能找到一只“鸭王”,鸭王的条件是:

  • 鸭王处于所有鸭子的最前头。

  • 鸭王身后跟了3只鸭子,并且3只鸭子与鸭王的夹角都小于180度。

如果能找到鸭王,四只鸭子就一定在一个半圆里。反之,如果鸭子不在同一个半圆里,那么你不可能找到一只鸭王,让其余的三只鸭子都在它身后,并且与它的夹角小于180度。这样,“鸭子在同一个半圆里”的问题,就等价于“存在鸭王”的问题。

我们继续思考:存在鸭王的概率有多大?如果这四只鸭子分别是ABCD,那么每只鸭子都可以当“鸭王”,而且鸭王最多只有1只!所以“存在鸭王“的概率等于ABCD分别称王的概率之和。

P(鸭王存在)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)

那么,A当鸭王的概率有多大呢?如果A当鸭王,就以A为界限,前后各有180度的范围。BCD三只鸭子都需要分布在A后方的180度范围里。由于每只鸭子都随机分布,BCD都在A身后180度的范围里的概率是(1/2)3, 这就是A当鸭王的概率。同理,BCD当鸭王,概率也是这么大。

所以,四只鸭子在同一个半圆里,概率为

50%

我们不妨再做一点引申:假如有n只鸭子,在同一个圆形水池中,分布在同一个半圆里的概率有多大?

显然,这n只鸭子都可以当鸭王,每只鸭王身后要跟着n-1个鸭子,每只鸭子在鸭王身后的概率都是1/2,所以鸭王存在的概率是:

还能再给力一点吗?

如果你觉得上面的问题太简单,不妨思考下面的问题:假如有n只鸭子,随机分布在一个圆形水池中,所有鸭子都在一个角度小于θ的扇形里的概率有多大?

对这个问题,许多朋友给出了答案:只需要用θ/360o替代1/2即可,也就是:

但是,只有在θ<180o的时候,上面的结果才是成立的。如果θ>180o,很容易验证上面结果是不正确的。其原因在于:θ>180o,满足条件的鸭王不止1只!

此时问题将会变得非常复杂。目前我还没有计算出来,如果有朋友能计算出来,欢迎留言指教。

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