高考结束了,关于语文作文题、或者数学卷子的高难度压轴题目,都是每年的讨论的热点。而今天我们想反过来,跟大家聊聊,我们在今年高考中看到的,一道幼儿园小朋友都有可能回答出来的题目。
这当然不是说高考题目有多少容易,而是跟大家再加深入的聊一下我们之前说过多次的学习逻辑:数学是现实世界的最基础法则,所以不要把数学中想成各种抽象的、高不可攀的。而相反,越能将数学与实际相联系起来,就越能够在未来的数学学习中,走得更稳,走得更远。
将抽象的数和具象的形相结合,不但可以帮助小朋友更容易理解抽象的数学概念,也容易建立空间想象力。而这对即便在高中、甚至大学之后的数学学习都很有意义的。
在今年高考的文科数学卷中,就有一道题恰好和我们之前跟大家介绍的数学启蒙有关,不夸张的说,使用合适的方法,幼儿园的小朋友,也可以拿到高考中的这5分。我们在之前提到过空间投影能力,以及三视图对于小朋友学习数学的重要性。这是可以从幼儿园开始培养,一直到中学、大学甚至很多行业的日常工作中都会用到的能力。
而这道题对于小朋友来说也很好理解:一个物体从正面,上面和左面看,分别是这三个样子,那它相当于是由几个1*1*1的小正方体积木组成的呢?为了方便解说,我还是用投影的桌游玩具,来实现一下这个题目的实际操作:
这对于玩过空间投影桌游的小朋友来说,很容易想象出这个立体形状:一个直四棱柱,或者说是一个边长2的正方体和一个直三棱柱放在一起构成的。当然小朋友可能不明白正方体和直三棱柱、四棱柱的名字,但并不妨碍他们用积木拼出对应的立体图形,毕竟在空间投影桌游中,这只是最初级的关卡了。而当拼完之后,只要稍加变形,就可以简单数出,这里包含几个边长为1的小立方体 —— 12个。恭喜一下所有玩过空间投影桌游的小朋友,高考5分到手了。当然,可能会有人觉得这样的题目没什么难度,等到高三毕业,就算没有什么“数形结合”的思维方式,也能拿到分数。
那我们再换一个题目,同样是这次的高考试卷中的选择题第三题,还是5分。
一般来说,这需要用到复数计算公式,标准的解题方式是这样的:复数的运算是基本要到高二之后才接触的内容。但实际上,用我们之前文章中曾经和大家聊过的将运算转化为图像化的运动变化,小学低年级学生也可以轻松的做出这道题目。原理,就是把运算想象成一种运动。用图形化来思考一下这道题的内容。z=1+i,也就是在横坐标投影在1,纵坐标投影在i的这个点:那什么是|iz+3`z |呢?如何用图形变化的方式来思考计算呢?我们之前在讲小学应用题和四则运算图形化的时候说过:2,乘以i所代表的,是一个点,围绕原点0,逆时针旋转90度。
`z 这个是共轭复数,按照高中数学书的说明,是表示和z实部相等,虚部互为相反数的复数。如果用图形的了解,就是一个复数沿水平轴旋转后的镜像位置。最后一步,| |这个是求模,“数学中的复数的模。将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模。”用几何图形的语言表达,其实就是求这个点离原点的距离。
其实也就是一道小学生的应用题:“小明地图上走来走去,最后离家多远”。小明接到的第一个指令是要去地图上的东北方向的z点。但他走错了方向,逆时针旋转了90度,所以走到了西北方向的iz点。与此同时,小明还接到另外一个命令,那就是沿着z点在水平轴的轴对称方向,前进到东南方向的`z 点,再走3倍远,到达3`z 点。所以题目要问的,就是综合上面两步之后,小明向西北走到了点(-1,i),又掉头向东南走了3倍距离,那他最后距离原点有多远呢?用这样的方式,我们就将一道复数运算题目,转化为简单的图形应用题,对于一些在小学高年级接触过勾股定理和无理数概念的孩子来说,找到正确答案不难。在高考卷子中,其实还有很多可以用图形思考的方式来解答和优化的题目,我们只是选择了这两道有代表性的,更方便跟大家解读经常提到的“数形结合”的数学启蒙学习方法:一方面拓展自己的空间想象能力,一方面更容易理解那些抽象的数学运算,包括高中的复数、三角函数等比较难点的概念,同样可以利用这些方法来学习掌握。
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