怎么让泰勒·斯威夫特跑赢博尔特？睡一觉就可以（不是做梦）

2023-05-14 13:05

图片来源：Unsplash

实验中没有任何泰勒·斯威夫特或博尔特受到伤害。

撰文 | 玛侬·比肖夫（Manon Bischoff）

翻译 | 安君

编辑 | 二七

一般情况下，数学问题都有确定的答案——特别是不太复杂的问题。但对于2000年的一个热门问题——被称为睡美人问题（Sleeping Beauty problem），数学家仍未给出一致的答案。哲学和数学领域的学者分成了两大阵营，不断为自己支持的观点增加十分可信的论据。甚至相关论文都已经发表了一百多篇，而几乎每个听说过睡美人思想实验的人也都有自己非常肯定的答案——虽然他们的答案可能不一样。

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让我们来看看困扰专家的到底是什么样的问题：睡美人同意参加一项实验，实验流程为：周日时她服下一片安眠药并进入梦乡，然后实验人员抛一次硬币；如果硬币是正面朝上，睡美人会在周一被唤醒，然后吃药睡着；如果硬币反面朝上，睡美人会在周一被唤醒、吃药睡着、周二再醒过来、再吃药睡着。无论是哪种情况，睡美人都会在周三醒过来，实验结束。

关键的一点是，由于服用了安眠药，睡美人不会记得之前自己是否被叫醒过。所以，当她醒过来时，她无法判断当天是周一还是周二。实验人员也不会告诉她抛硬币的结果，或当时是哪一天。

他们只会在睡美人醒后问她一个问题：硬币正面朝上的概率是多少？

根据抛硬币的结果，研究人员会唤醒睡美人一次（硬币正面朝上，则在周一叫醒）或两次（硬币反面朝上，则会在周一和周二叫醒）。

假设你自己是睡美人：你醒了，你不知道今天是周几，你也不知道之前有没有醒过，只知道这个实验的理论流程。那么你的答案会是什么呢？

我的第一直觉是睡美人应该答1/2。无视实验的其他部分，硬币某一面朝上的概率总是50%。美国哲学家戴维•刘易斯（David Lewis）也支持这一答案。毕竟，即便研究人员在睡美人睡着之前就抛硬币，也不应该影响任何结果或答案。按照实验设计，睡美人无法得知任何额外的线索，所以从逻辑上说她应该回答硬币正面朝上的概率是1/2。

但是还有一种有力观点认为答案应该是1/3。想一下整个实验的过程，睡美人醒过来可能有三种情况：

在周一醒过来，硬币正面朝上；

在周一醒过来，硬币反面朝上；

在周二醒过来，硬币反面朝上。

那么每种情况发生的概率是多少呢？从数学角度和实验角度都可以得到答案。假设你抛硬币100次，其中48次正面朝上，52次反面朝上。换句话说，周一醒来/正面朝上的情况会发生48次，周一醒来/背面朝上和周二醒来/背面朝上分别发生52次。

由于周二醒来/背面朝上总会发生在周一醒来/背面朝上之后，所以三种情况发生的概率相等，因此只能等于1/3。根据上述理由，当睡美人醒来后被问及硬币正面朝上的概率时，她应该回答1/3。

假设你抛了100次硬币，有48次正面朝上、52次反面朝上。你可以把这个结果应用到睡美人在周一或周二醒来的场景里，然后发现这三种情况发生的可能性基本是相等的。

美国普林斯顿大学的科学哲学家亚当·埃尔加于2000年普及了睡美人问题，上述的1/3则是他给出的答案。他采用合理的数学证明阐述了他的论点：如果睡美人醒来时得知今天是周一（M），那么此时正面朝上（H）和背面朝上（Z）的概率（P）则是相等的，即P(H|M) = P(Z|M) = 1/2；如果睡美人醒来得知抛硬币的结果是反面朝上，那么当天是周一或周二的概率（T）也是相等的，即P(M|Z) = P(T|Z) = 1/2。

根据条件概率的计算公式（P(A|B) = P(AB)/P(B)，即在已知B发生的条件下A发生的概率等于A和B同时发生的概率除以B发生的概率），在睡美人没有得到任何额外信息的一般情况下，三种情况发生的概率是相等的：P(HM) = P(ZM) = P(TZ)。因为这一事件有且只有这三种可能情况，所以他们的概率之和只能为1，那么每种情况发生的概率就是1/3。也就是说，从埃尔加的角度来看，因为睡美人在反面朝上的情况下被唤醒的次数是正面朝上时的两倍，所以她的回答应该是1/3。

极端情况下的睡美人问题

在看了前面两种主流观点后，你将如何回答这个问题呢？为了更好地理解睡美人问题，我们可以思考一个更极端的情况。

假设硬币反面朝上时，睡美人不是只会被多唤醒一次，而是会被唤醒一百万次。（可以假设这发生在在一个较短的时间段内——因为即使是对童话人物来说这样的时间安排也过于残酷了。）如果你叫醒她，问硬币正面朝上的概率，那这种情况下回答1/2就不太合逻辑了：因为在硬币反面朝上时，睡美人会被连续提问一百万次，而正面朝上时则只会被提问一次。

但另一方面，有些极端情况也能为1/2的答案提供支持。如果把抛硬币替换为体育竞猜，比如退役短跑运动员尤塞恩·博尔特（Usain Bolt）和歌手泰勒·斯威夫特（Taylor Swift）的田径比赛。在这一情境中，如果多个跑步项目的世界纪录保持者博尔特赢了流行歌手（这也是大部人预期的情况），睡美人只会在周一被唤醒一次。但如果和大家的预期相反，流行歌手赢得比赛，睡美人在之后一个月的每天都要被唤醒，也就是连续30次。我们知道博尔特输给泰勒的可能性很小，但是如果我们把计算出1/3的逻辑用在这里，就需要赋予所有这些情况同样的权重。睡美人醒过来可能仍然要猜泰勒获胜，因为在这一情境下（虽然不太可能发生），她会被叫醒30次。刘易斯证明了这种逻辑得出的结果非常荒谬，因此他主张睡美人思想实验的结果是1/2。

现在你是不是完全迷糊啦？你绝不是一个人。你还坚信原来的观点吗？至少我动摇了，我不再完全确信1/2的答案，也能够更深刻地理解1/3的合理之处了。

睡美人谜题还有许多有趣的应用，哲学家和数学家可以据此拓宽对决策过程和概率的思考。比如，这一思想实验展示了人的不同看法（在本例中是睡美人的看法）是如何导向不同的合理结论的。它还强调了实验可能性的数量（比如抛硬币的正面和反面）与身处实验中的某人可能经历的差异。

封面来源：Unsplash

原文链接：

https://www.scientificamerican.com/article/why-the-sleeping-beauty-problem-is-keeping-mathematicians-awake/

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来源: qq

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