■ 导言
2023年6月29日，中国脉冲星测时阵列研究团队发布了最新成果。他们利用“中国天眼”望远镜FAST，探测到了纳赫兹引力波背景存在的证据，同时国际上其它脉冲星测时阵列也公布了相似的观测结果。
2023年6月29日，中国脉冲星测时阵列（Chinese Pulsar Timing Array，简称CPTA）研究团队发布了最新成果。他们利用“中国天眼”望远镜FAST，探测到了纳赫兹引力波背景存在的证据，同时国际上其它脉冲星测时阵列也公布了相似的观测结果。其实中国是这场国际合作中资历最浅的一个，别国的脉冲星测时阵列观测时间最长的接近30年，而中国只有三年多。奇妙的是，中国虽然观测时间最短，得到的结论却最强，对引力波相关性的确定程度是全世界所有脉冲星测时阵列中最高的一个。为什么会出现这样后来居上的结果？这些发现是什么意思？下面，我们来详细解读什么是引力波，纳赫兹引力波及其探测，以及中国脉冲星测时阵列的观测结果。
作为类比，我们先从电磁波谈起。根据麦克斯韦的电磁理论，加速的电荷产生电磁波，电磁波是一种物质，一旦产生，它带着能量、动量和角动量在真空中以光速传播。电磁波传播到哪儿，哪儿就有振荡的电磁场。我们可以通过电磁波的电磁效应，测量电磁波。类似的，根据爱因斯坦的广义相对论，加速的有质量（即引力荷）的物体也会产生引力波。比如两个黑洞，它们相互绕转，不断产生引力波。引力波一旦产生，也会带着能量、动量和角动量以光速在真空中传播。精确的说法是，一个孤立的引力波源，只要它质量分布的四极矩的二阶时间导数不为零，它就会辐射引力波。引力波的效应是什么？广义相对论认为，引力本质上是时空弯曲效应，因此引力波传播到哪儿，哪儿的时空就变弯曲，而且时空的弯曲程度是振荡的。所以我们经常说引力波是时空的涟漪，其实把它称为时空波也许会更容易理解。
图1. 引力波的偏振模式。引力波是横波，它有两种偏振模式：+模式和x模式。图中黑色点代表自由的质点。图片取自:https://www.johnstonsarchive.net/relativity/pictures.html。 引力波是横波，也就是说它的振动方向与波的传播方向垂直。跟横波相对的是纵波，即振动方向与波的传播方向平行。往水里扔一块石子，产生的水波就是横波，因为波在一圈一圈向外传，而水分子的振动却是在垂直于水面的方向。压缩一段弹簧后放手产生的是纵波，因为弹簧振动的方向就是波传播的方向。我们平常听到的在空气中传播的声波，也是纵波。
引力波作为横波，有两种偏振模式：+模式和x模式，如图1所示。这两个模式都会引起相互垂直的两个方向上的距离一个增加，另一个同时减少。例如图中+模式的相位为π/2时，就是在垂直方向拉长，在水平方向压缩，而相位为3π/2时就反过来，在水平方向拉长，在垂直方向压缩。好比你在两面哈哈镜之间穿梭，一面哈哈镜把你变成一个拉长的瘦子，另一面哈哈镜把你变成一个压缩的胖子。这两种变形就是引力波的效果，而你在这两种变形之间循环往复的速度就是引力波的频率。如果我们在垂直于引力波的传播方向布置一些自由的、不受外力的质点，把这些质点称为检验质点，当引力波到达的时候，这些检验质点之间的距离就会发生振荡。用专业语言说，这样的振动并不会改变检验质点的偶极矩，即不改变它们的质心，但会改变它们的四极矩，即会改变质量的分布。我们就是利用这种效应来探测引力波的，所以简单来说，引力波探测器就是高精度的距离测量仪器。与电磁波类似，引力波的频谱很宽，几乎任何频率都可以出现。而机械波例如声波就不是这样，声波只会出现在一个比较窄的频谱，太高频不行，太低频也不行。最低频的引力波会有多低呢？其实这里的关键是，引力波的频率乘以波长等于光速，所以频率越低，波长就越长。最长的波长能有多长？与整个宇宙的尺度相当，这就是最低频的引力波。它们产生于宇宙极早期时空的量子涨落，经过宇宙暴胀，将量子时空扰动迅速放大到宇宙尺度，留下宇宙残留引力波。理论计算表明，宇宙残留引力波在各个波段都有，引力波的振幅随着频率基本上是幂律下降。人类首次直接探测到的引力波属于高频引力波，是由美国的激光干涉引力波天文台（The Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory，简称LIGO）在2015年探测到的。LIGO探测灵敏度范围为1-100Hz的引力波，这个频段的引力波主要是由超新星爆炸、伽马暴、双中子星、双恒星级黑洞以及中子星-恒星级黑洞系统的并合产生的。目前还在努力推进中的空间引力波探测器的灵敏度范围约为0.001-0.1Hz，这个频段的引力波源主要有双白矮星系统以及双中等质量黑洞系统，其中黑洞的特征质量约为百万太阳质量。根据星系的等级结构形成理论，星系不断合并，形成更大质量的星系。伴随着星系的合并，星系中心的超大质量黑洞（质量约为10亿倍太阳质量）也会形成双星系统，产生纳赫兹的引力波。纳赫兹就是10的-9次方赫兹，所以它的周期为10的9次方秒即10亿秒，约等于32年。用光速除以频率，得到纳赫兹引力波的波长在10的17次方米的量级，大约为光年至几十光年。一光年就是光走一年经过的距离，约为9.4607 × 1015米，这是一个巨大的长度。作为比较，太阳到最近的恒星比邻星（《三体》的原型）的距离大约是4光年，而太阳到地球的距离（即一个天文单位）大约是1.5亿公里，只有6千万分之一光年。如果要直接探测纳赫兹引力波，就需要建造一个长度达到光年量级的探测器，这显然远远超过了人类当前的能力，——我们现在连太阳系都出不了呢！然而奇妙的是，我们仍然有办法去探测纳赫兹引力波，而且目前只有一种办法。这唯一的一种探测纳赫兹引力波的手段，就是这次新闻的主角，脉冲星测时阵列，后面我们来详细介绍。而对于更低频的宇宙残留引力波，我们可以通过宇宙尺度的时空扰动导致的宇宙微波背景辐射温度分布的各向异性来探测。图2. 典型的引力波源的频率、振幅和相应的探测方法及其灵敏度曲线。纳赫兹引力波的主要波源是超大质量双黑洞，目前唯一的探测方法是脉冲星测时阵列（PTA）。图片取自：Lee, K. J., Xu, R. X., & Qiao, G.J. 2011, arXiv:1109.0812，Pulsars and Gravitational Waves, in: Gravitation and Astrophysics (Proceedings of the IX Asia-Pacific International Conference, 29 June - 2 July, 2009, Wuhan), eds. J. Luo, Z. B. Zhou, H. C. Yeh, and J. P. Hsu, World Scientific, p.162-172
前面是大图景式的背景介绍，下面我们来讲技术性内容。对于双星系统，根据广义相对论的计算，它们辐射引力波的频率为双星系统公转周期的两倍。因此，对典型质量(M)为10亿倍太阳质量的超大质量双黑洞，如果轨道半径为100-1000倍引力半径（GM/c2），则该系统辐射引力波的频率为纳赫兹附近。宇宙中大量这样的超大质量双黑洞系统相互绕转，产生了纳赫兹引力波的背景辐射。前面提到的宇宙极早期时空的量子涨落，也会产生纳赫兹引力波的背景辐射。一般认为早期宇宙产生的纳赫兹引力波远小于双黑洞系统的贡献，但是考虑到一些特殊的模型框架，两者对纳赫兹引力波的背景辐射到底谁占主导，目前还无法给出明确的答案。假设纳赫兹引力波的背景由超大质量双黑洞主导，根据理论估测，引力波的特征幅度谱为如下的幂律谱：
,其中f为引力波的频率，A(f)为引力波振幅，yr是年（year），Ac为频率f=1/yr即周期为一年时对应的特征振幅，α为谱指数，约为-2/3。
图3：脉冲星测时阵列（PTA）测量纳赫兹引力波的基本原理。通过对大量分布在各个方向的毫秒脉冲星脉冲到达时间的长期监测，可以测量脉冲星信号受引力波导致的时空拉伸和压缩的调制效应，从而探测到纳赫兹引力波。图片取自：https://nanograv.org/。
前面我们提到引力波有两种偏振模式，这两种模式的引力波会引起垂直于引力波方向的毫秒脉冲星的脉冲到达时间发生改变：相互垂直的两个方向上检验质点之间的距离一个增加，另一个同时减少，即导致脉冲星阵列在天球面上分布的四极矩发生改变。1983年，美国加州理工大学的R. W. Hellings与G. S. Downs据此提出了通过脉冲星测时阵列(Pulsar Timing Array，简称 PTA)测量纳赫兹引力波的原理，即利用地球-脉冲星作为探测引力波的基线。假设纳赫兹的引力波是随机的，各个方向都有，两种偏振模式的叠加也是随机的，经过统计平均，得到一对脉冲星的信号到达时间的相关性与它们在天球面上的夹角的函数关系如图4所示。这叫做Hellings-Downs曲线，简称为HD曲线。通过PTA的观测，如果结果与HD曲线吻合，就说明我们测量到了引力波导致的四极相关性。我们再来具体讨论一下，为什么PTA适合测量纳赫兹引力波。以10 nHz的引力波为例，引力波的周期约为3.2年，而PTA对
附近的引力波灵敏，因此，我们需要观测3.2年的时间才能测量到10 nHz的引力波。在地球上连续观测3.2年还是可以接受的。另外，如图2所示，超大质量双黑洞产生的引力波的振幅（即两点间距离的变化比例）约为10-16，假设脉冲星的距离为100光年（约为1018米），则10 nHz引力波导致的脉冲星距离改变值为100米。这个长度除以光速，得到需要的测时精度是300纳秒，这是FAST能够达到的。 
图4：HD曲线。横坐标是一对脉冲星在天球面上的夹角
，纵坐标是两个脉冲星到达时间的相关系数。如果引力的确存在+和x两种偏振模式，则PTA测量到的脉冲到达时间的相关系数随着它们之间夹角的变化就是HD曲线。取自：Jenet, F.A. & Romano, J.D. 2015, Am. J. Phys. 83, 635。
CPTA于2019年4月开始观测，是天眼望远镜即500米口径球面射电望远镜（FAST）最初设置的几个重点项目之一。CPTA长期监测了57颗毫秒脉冲星，其中17个是孤立脉冲星，40颗脉冲星处于双星系统之中。这些毫秒脉冲星在天球面上的分布很广，适合做纳赫兹引力波背景的观测。这种做法类似于卫星导航系统测距，脉冲星就是宇宙钟。每一个脉冲星与地球之间构成一个臂长，57个脉冲星就与地球构成了57个臂，而相比之下，LIGO只有两条相互垂直的臂。这次分析的数据（CPTA Data Release 1）是2019年4月到2022年9月期间的观测数据，时间跨度超过了3年。FAST观测频率为1.0-1.5GHz。大多数脉冲星每两周观测一次，一次20-30分钟。得益于FAST的高灵敏度，FAST的脉冲星测时精度非常高，其中55颗脉冲星的测时精度达到了200纳秒，其中的35颗脉冲星的测时精度更是小于100纳秒。与目前其他国家最好的观测结果相比，CPTA的测时精度提高到了4-50倍之多！
图5：基于CPTA DR1数据对纳赫兹引力波背景参数估计。子图(a)：背景引力波谱指数α后验分布的直方图。子图(b)：引力波特征振幅后验分布的直方图。通过脉冲星测时模型和脉冲星到达时间噪声分析，CPTA得到的引力波背景特征谱参数如图5所示。纳赫兹引力波背景谱的参数主要有两个：引力波的特征振幅(Ac)和特征谱指数(α)。从图5(a)可以看出，CPTA对特征谱参数(α)的限制并不强，其取值范围在[-1.8,1.5]之间。从图5(b)得到的引力波的特征振幅为：
。由于CPTA项目的观测时间还很短，不能很好地测量特征谱参数，因此不容易区分超大质量双黑洞的形成和演化模型。随着数据的积累，有望很快测到特征谱参数，开展相关天体物理研究。同时，CPTA未来有望测量到单个超大质量双黑洞辐射的纳赫兹引力波，甚至探测到超大质量双黑洞的并合事件。
那么，CPTA测量到的信号是否真的来源于纳赫兹引力波呢？判据就是，各个脉冲星对测量到的相关系数与它们之间在天球面上的夹角
是否符合HD曲线。CPTA的结果如图6所示，其中红色曲线为理论的HD曲线，红点是 CPTA观测到的每对星之间的相关系数，蓝色带有误差棒的曲线是红色点平均后的结果。统计分析表明，相关曲线观测结果与理论符合的置信水平是
，也就是说这种结果来自随机涨落的概率只有50万分之一。
因此，我们比较确信CPTA测到的信号来源于引力波背景，确信的程度在各个国际合作组中后来居上达到了最高。用发展的眼光看，目前CPTA的数据还比较少，但由于FAST的观测灵敏度最高、测时精度最高、观测的脉冲星数量最多，随着数据的积累，CPTA在国际合作中的贡献会迅速提高，为人类做出主导性的贡献。
图6：测量到的相关系数随着两个脉冲星之间角度的函数关系。红色点表示测量到的所有脉冲星对之间的相关系数。蓝色曲线代表分区红色点的平均值，红色曲线为理论的HD曲线。从左到右每一幅子图代表引力波的频率分别为
,
以及
的结果，其中T为观测时长。
主要参考文献：
Heng Xu et al 2023 Res. Astron. Astrophys. 23 075024,“Searching for the Nano-Hertz Stochastic Gravitational Wave Background with the Chinese Pulsar Timing Array Data Release I”
