相对论观测效应的视觉形象 | 韩锋

著名物理学家家伽莫夫（G.Gamov,也译作盖莫夫）在他的《物理世界奇遇记》中，设想了一座极限速度（光速）很低的城市，所以这个城市中的相对论效应就非常显著。伽莫夫在书中写道：汤普斯金先生（书中的主人公）在这座城市中，看到一个年轻人骑着一辆自行车从远方缓慢地驶来，当它来到近前的时候，他看到自行车和车上的年轻人在运动方向上都难以置信的缩扁了，就像通过一个柱形透镜看到的那样。当年轻人速度增大后，他变得更扁了，好像是用硬纸剪成的扁人那样向前驶去。为了证明他自己所看到的现象，汤普斯金先生也骑着另一辆自行车拼命朝年轻人赶去，他猜想他自己马上就会缩扁。但相反地，他周围的景象完全改变了，街道缩扁了，商店的橱窗变得像一条条狭缝。他认为这就是爱因斯坦演说稿中讲到的尺缩效应，这些现象就是由于运动物体的收缩以及运动的相对性产生的[1]。

那么，自行车在以接近光速的速度行驶时，自行车真的会变扁吗？不然。伽莫夫在这里犯了一个错误。实际上，我们看到的这个物体的视觉形象并没有发生畸变，而看起来似乎只是转过了一个角度。下面我们就来分析这个问题。

在狭义相对论中，高速运动物体的“观测”结果与“视觉”效应是不同的。相对论中对“观测”的含义有着特殊的约定，而“观看”到的则是一种光学效应，与从物体上的不同点发出的光子到达人眼的时间有关。对静止的物体来说，测得和看到的物体形象并没有区别；而对高速运动的物体，其视觉效果就会有多种可能的情况。1959年戴勒尔（James Terrell）发表文章[2]指出：当一个物体相对于观察者以接近光的速度运动时，由于洛伦兹收缩，它的测量形象似乎将变扁，但事实上由于物体上各点到观察者的距离不同，产生视觉形象的光并不是同时自物体发出的，因此实际的视觉形象不是变扁的物体，实际看到的物体将是它在垂直于视线的平面上的投影等效于转过某一角度的物体，这种变化有时就称为“Terrell转动”。次年V.F.韦斯科夫也发表文章[3]，指出：在狭义相对论中，高速运动的物体由于洛伦兹收缩，本该产生“畸变”的视觉形象。但是经过分析发现，这种“畸变”具有令人惊异的结果，它抵消了洛伦兹收缩，以致物体看起来并没有畸变，而只是转过了一个角度。韦斯科夫同时强调：这个结论只有对所张视角很小的物体才是严格正确的。但这绝不能理解为洛伦兹收缩不存在了，洛伦兹收缩当然是存在的，不过它恰好抵消了因光的有限传播而引起的图象的伸长。

通常我们测量一个物体的长度，总是要把物体与量尺放在一起，测量时量尺与被测量物体之间的位置保持固定，这样物体首尾两端所对应量尺上的刻度之差即为物体的长度。如果在测量物体时，物体与量尺之间的位置移动了，那么测得的结果就不准确了。这就要求在测量运动物体的首尾两端时要同时进行。那么怎样测量才算是同时的呢?这里又涉及到时间的同时性概念[4]，如果在被测物体首尾两端的观察者所用的时钟是同步的，并且在读取量尺上的读数时，两个时钟所指示的时间是一样的话，我们就说这个测量是同时进行的。这样测量所得的结果与物体运动的速度无关。我们通常所指的测量是由一个观察者对物体首尾两端进行的同时测量。

如果所研究的对象空间尺度较大，以致运动物体与我们视线的张角较大，同时又是高速运动时，被认为是同时测量的两个端点就可能不是同时的了。我们知道，光速是有限的，光在空间的运动是需要时间的。在测量物体的长度时，只有当物体两端发出的光信号同时到达观察者所在的位置时，测量才能进行。被测物体的远近两端，当观察者静止时，由于远离观察者一端（远端）的光信号要晚于近端的光信号，所以测量开始的时间应以晚到的光信号为准，也就是说以我们接受到物体远端所发出的光信号时，我们才可以进行测量。

如果不考虑这种测量的同时性，就会得出长度有时缩短有时伸长的错误结果。我们来对以下两种情况稍作分析：

第一种情况（图1），设被观测物体远离观察者。观察者静止，在视线方向上，当被观测的物体背离观察者运动时，物体远端所发出的光到达物体近端时，物体已经向远离观察者的方向移动了一段距离。

设物体在静止时的长度为L，物体运动的速度为V。为运动物体在时间内所走的距离，等于物体远端发出的光经过的时间到达运动物体近端所走的距离，根据已知条件我们可以得出：

         (1)              

  (2)

(3)

将(1)(2)(3)式化简最后得到：

(4)

从(4)式可以看出，由于，所以，，这就是说，当物体背离观察者运动时，在静止的观察者来看，物体长度缩短了。当然，当时，。

第一种情况测量的结果是：物体长度缩短了。

另一种情况，见图 2，被测物体向着观测者运动的情况。观察者静止，在视线方向上，当物体朝着观察者运动时，物体远端的光到达近端时，物体已向观察者靠近了一段距离。我们可以用同样的方法得出下面的关系：

(5)

(6)

(7)

将(5)(6)(7)式化简最后得到：

（8）

从(8)式可以看出，由于，所以，这就是说，当物体向着观察者运动时，在静止的观察者来看，物体的长度伸长了。当时，。

第二种情况的测量结果是：物体长度伸长了。

通过上面两种情况的分析，我们可以看出，如果不考虑同时测量，被观测物体的长度是伸长了还是缩短了，竟然取决于观察者与被观测的物体之间的距离是增加了还是减少了，物体长度变化的速率取决于被测物体运动的速度。如果在物体两端分别设有两个观察者用相互校准好的时钟在同一时刻进行测量的话，就不会出现这种情况。因此，我们所说的长度收缩是一种相对运动的测量效应，是静止观察者同时测量运动物体两端测得长度缩短的观测效应。

在狭义相对论中，高速运动物体的“观测”结果与“视觉”效应是不同的。相对论中对“观测”的含义有着特殊的约定，而“看到”则是一种光学效应，与从物体不同点发出的光线到达人眼的时间有关。对静止的物体，测得和看到的物体形象没有区别；而对高速运动的物体，其视觉效果就会有多种可能的情况。所以，我们要分清狭义相对论中的“观测”与“观看”的不同。

如图3所示，系与系为两个约定的静止和运动惯性系，静止放置在系中的尺AB长度为(尺的固有长度)，。

在系中观测尺，它是运动的，测量直尺两端A、B的坐标必须同时，即测量两端的时刻相同，设A、B两端坐标分别为、，则为直尺在系中的测量长度（动长）。

即得

（9）

观测结果是：在物体的运动方向上，运动物体的长度小于在静系中的固有长度，而固有长度是最大的。

如图4所示，设为系中的一固定点，从点来看运动尺，在时刻看到

、的图像应是点在时刻和点在时刻发出的光引起的。对视觉而言，、的位置并不是同一时刻、的坐标的位置。为简单起见，假设P点几乎就在物体的运动方向上，则可大致分析如下：

把代入式（9），则有

（1）若在尺的左侧，，则，即在系中看到的要比测得的还要短。

（2）若在尺右侧（见图5），，则，即看到的要比测得的长，且有可能大于。

（3）若，则，即看到的与测得的等长。

视觉效应（观看）结果：在不同点观察高速运动的尺子，它的视觉形象就会有多种情况出现。

按照狭义相对论长度收缩原理，一个运动着的物体看起来将沿运动方向缩短为原来的倍。按这种看法，乘坐在高速飞船中的一个旅客向窗外望出去时，将看见球形物体缩成一个椭球形。1959年戴勒尔（James Terrell）发表文章指出，这种观念是错误的。

据戴勒尔分析，当一个物体相对于观察者以接近光的速度运动时，由于洛伦兹收缩，它的测量形象将变扁，如图6 (a)、(b)所示。由于物体上各点到观察者的距离不同，产生视觉形象的光并不是同时自物体发出的，因此实际的视觉形象不是变扁的物体，而是如图6(c)所示的形象，它在垂直于视线的平面上的投影等效于转过角的球体，如图6(d)所示。，其中为光速，类似于在低速问题中物体与视线垂直方向的分速度，这种变化称为“Terrell转动”[6]。因此，我们观看到的高速运动物体的视觉形象正是经“转动”后“朝向”观察者的部分。

当人们看一个物体或者对它进行拍照时，所记录下的物体发出的光线是同时到达视网膜或照相底片的，而这就意味着这些光线并不是从物体的一切点上同时发出来的，离观察者较远的点发出光线的时间要比离观察者较近的部分发出的早。如果物体处于运动状态，人的眼睛或者照相底片上所得到的物体图象将是“畸变”的。这是由于物体曾处于不同的位置上。韦斯科夫指出，在狭义相对论里，这种畸变(光学效应)却恰好惊人地抵消了洛伦兹收缩，以致物体看起来并没有发生“畸变”，而只是转过了一个角度，这一结论只有在所张视角很小的情况下才是严格正确的[7]。

为进行比较，我们先在非相对论情况下，看看运动物体的图象是怎样畸变的。

我们首先考虑，一个边长为L的立方体，见图7，它沿着BC边的方向向右运动，而我们在垂直于运动方向上去观察它。观察的位置离它很远（保持立方体的观察张角很小），并用一只眼去观察，这样可避免两眼之间角度的差异使观察者看到“畸变”。

面向观察者的正方形ABCD看起来并不畸变，因为ABCD面上所有的点离观察者的距离都相等。背向运动方向的那一面的正方形ABEF，当正方形不运动时并不可见，当它运动时就成为可见的了。假设要使边AB 和边EF 同时可见（同时到达视网膜），那么，边EF 发出的光就要比边AB发出的光要早。边EF的光子要到达边AB，需要经过L长度，而光的速度为光速c，所需要的时间就为L/c 秒。这就要求从边EF 发出的光就要比边AB早L/c秒。那时E和F的位置就应该是在和位置，比E和F落后一段距离。因此，ABEF面看起来将是一个高为L、宽为的矩形。由此可见，观察者看见的立方体的图象是畸变了。在一个旋转了的立方体的无畸变图像中，所有的面都按透视法缩短，如果ABEF这一个面的缩短因子是，那么另一面ABCD的缩短因子应为，然而现在这里ABCD却显现为一个长方形，所以立方体的图象显示出似乎是沿着运动的方向膨胀了。

现在我们来证明，相对论使情况简化了。它消除了图象的畸变，只留下一个不畸变的然而是转过一个角度的物体的侧面象。仍然从图7中的立方体例子考虑，当立方体高速运动时，当我们垂直于它运动方向上看去时，AD、BC两边产生尺缩效应，洛伦兹收缩使得AB和CD这两条边之间的距离减小了一个因子（洛伦兹收缩因子），同时保持AB和EF之间的距离不变。根据上一节我们知道，在一个旋转了的立方体的无畸变图像中，所有的面都按透视法缩短，如果ABEF这一个面的缩短因子是，那么另一面ABCD的缩短因子应为。这就是说光学效应使边AB、CD之间的距离在运动方向上膨胀（伸长）了一个因子，这恰好是洛伦兹收缩使得边AB、CD之间的距离减小了的一个因子。所以，在狭义相对论里，这种畸变(光学效应)正好抵消了洛伦兹收缩，因此ABCD面的图象在透视上恰好缩短到使我们看到的是一个不畸变的立方体形像，只不过这个形像转过了一个角度，这个角度的正弦等于，即。那么，正好为“Terrell转动”所给出的式子。

根据3.2.2中所得出的结论，我们看到的高速运动物体的视觉形象是一个不畸变的然而是转过一个角度的物体的侧面像。洛伦兹收缩恰好抵消了因光的有限传播速度而引起的图像的伸长。因此，我们看到一个运动物体的图象并没有畸变，只是图象看起来转过了一个角度。并且这一结论对任何运动物体都是普遍成立的。

现在考虑从一个物体上多个点发出的许多光脉冲的集合，它们均沿同一方向(用矢量表示)传播，并且这些光脉冲均落在与同一平面成角度的平面上，见图8，于是这些光脉冲将同时到达观察者的眼中并产生了一个被看见的像，则称这样一种光脉冲的集合为物体的一个“图像”。在非相对论情况下，一个“图像”当观察者从运动参考系去看它时，由于在运动参考系内，光脉冲的平面就不再是垂直于传播方向了，所以也就不能再保持为一个“图像”了。但是在相对论情况下，在任何参考系内的一个“图像”都仍然保持为一个“图像”，因为在任何一个参考系内，那些光脉冲总是同时到达照相机或视网膜中的。

这一事实可用以下方法直接地证明，光脉冲形成一个波前（光波的连续性的同相表面），或者可以这样想象，在运动着的电磁波中，那些光脉冲恰好嵌在波腹（在驻波系统中振幅最大的点所在的地方）。众所周知，电磁波在任何参考系中去看都是横波，这就意味着，一个波前或波腹所连成的平面在任何参考系中都垂直于传播方向，并且光脉冲之间的距离是一个不变量。为此我们只需引进一个坐标系，它的x轴平行于光传播方向，则对于构成图像的两个光脉冲来说，根据相对论中的间隔不变性原理[8]，就等于两个脉冲间距离的平方，这是由于当，（此二式表示两个脉冲在垂直于传播方向的平面上），因而。

唯一非相对论不变的东西是光传播的方向，也就是矢量方向的变换关系由光行差公式给出。在参考系中，一束光其方向与x轴之夹角为，则在一沿x轴以速度运动的参考系中看来，它与x 轴之夹角将变为[9]：

（10）

从“图像”的不变性可得出下述结论：从一运动物体在角度方向所看到的图像与观察者在相对于物体为静止的参考系中偏转一个角度所看到的图像是一样的。因此，我们看到一个运动物体的图像没有畸变，只是图像看起来转过了一个角度。