这种无理数中的无理数，让数学家直呼「根本停不下来」

丰色 编译自 凹非寺
量子位 | 公众号 QbitAI

在数学史上，有一道著名的“化圆为方”难题。

它由公元前5世纪由一位在狱中的古希腊哲学家提出，讲的就是给定一个圆，只用圆规和一个无刻度的直尺画一个正方形，使其面积等于该圆的面积。

然而，谁也没想到，这道题一直困扰了数学家2000多年。

最终却被大家发现，根本画不出来。

究其原因，跟π是超越数有关——

是的，π除了小学生都知道的无理数身份，还是一个超越数。

而说起超越数，那可真是一个难以理解的概念，多少专业的教材也不能把它讲得通俗易懂。

只能说它是无理数的一类，但比无理数还“无理”。。

从18世纪至今，前前后后200多年，一大批来自各个国家的数学家都扑在了它身上，找证明它存在的证据、判定它的方法。

然而，这个“小东西”是如此捉摸不透，直到现在还有很多疑似数字没能被证明、还有一堆和它相关的开放难题没被搞定。

“可怕”的是，不少数学家表示：

其实我知道弄清哪个数字是不是超越数根本没有什么卵用，但我就是停不下来！

所以，今天这篇就是一期数学干货，它来自Quanta Magazine专栏（作者David S. Richeson），算是把超越数的来龙去脉讲得最清楚易懂又不枯燥的一篇，特此编译。

那么，喜欢数学的今天有福了——

再爱超越数一次，看看它究竟是怎么被数学家发现的，它又是如何跟那道千年难题扯上关系的。

解不出来的“化圆为方”难题

数学家利奥波德·克罗内克 (Leopold Kronecker) 有一句名言：

上帝亲自创造了自然数，余者皆出自凡人之力。

如今，尽管各类数字都有着迷人又复杂的历史，但基本大家都对它们的定义“门儿清”。

比如整数就是正整数、零加负整数。有理数是能够表示成两个整数之比的数，其中包括整数、有限小数和无限循环小数。

如果这个比的小数位永远除不尽且不重复，那它就是无理数。

接着有理数和无理数共同构成实数，实数和虚数又组成复数。

其中，对于有理数，今天我们一致认为是生活在公元前五世纪左右的希帕索斯发现的（他还因此而丧命）。

但事实上，他的发现是属于几何意义而非算术。

他证明，可以找到两条不能整分成若干个相等长度的线段，例如正方形的边和对角线。

今天我们管这个叫不可公度，也就是说它们的长度不是彼此的有理倍数。

因此，一个正方形的对角线的长度是边长的√2倍，这个√2就被叫做无理数。

毫无疑问，利用圆规和直尺，我们能画出具有任何正有理长度的线段。

然而，一些无理长度也可以。比如著名的黄金比例(1+√5)/2 ，画一个边长为1的正五边形，取其对角线就是了。

1637年，著名的数学家笛卡尔证明：

只要一个数能通过整数进行加减乘除和平方根的运算来表示，那么我们就能画出所对应的线段（比如所有正有理数，还有刚刚说的√2和黄金比例）。

由此，如果我们能用一个确切的算式来表示π，是不是就可以解决“化圆为方”的难题了！

问题是，找不到。

转眼时间就过了200年（两个世纪没了）。

一位名叫Pierre Wantzel的法国数学家才终于证明：

如果一个数字能用线段画出来，也就是可构造，那么它也必须是一个不能进一步因式分解或简化的多项式的根，并且这个多项式最高项的次数是2的幂（比如2、4、8、16等）。

举个例子：

√2就是多项式x²–2的根，黄金比例则是x²–x–1 的根，所以它们都能被画出来；

而像³√2是多项式x³–2的根，不符合2次幂的条件，所以这个长度的线段是不可能画出来的。

不过，就算知道了这个定律，大家还是没有找到π的确切表达，化圆为方难题仍然悬而未决。

最终被证明：根本画不出

事实上，解决化圆为方这个难题的关键，正是犹如之前数学家将实数分为有理数和无理数一样——需要将复数也分为两个集合。

对于复数来说，其中许多都等于整系数多项式的根，数学家就把这个称作代数数。

每个有理数都是代数数，一些无理数也是，例如³√2 ，还有即使是虚数i，它也算，因为它是x²+1的根。

并非所有复数都如此，那就把不属于这个范畴之内的值叫做超越数。

不过，超越数是否存在并非显而易见，并且证明一个给定数是不是超越数也极具挑战，因为需要反证一个数不是任何整系数多项式的根。

第一个攻破点诞生于1844年，一个叫做约瑟夫·刘维尔的法国数学家想到了这样一个间接办法：

既然无理数不能很好地用有理数来近似，那如果我找到一个可以用较小分母的分数无限逼近的数，那它一定是别的东西：超越数。

于是，刘维尔构造了这样一个数字：

L=0.1100010000000000000000010…

它只有0和1，其中1出现的位置依次由“n!”决定，也就是第一个1的位置等于“1!”，也就是1，第二个等于“2!”，出现在第2位，第三个等于“3!”，出现在第6位，以此类推。

这个巧妙的设计，让分数1/10、11/100和110001/1000000，都能跟L本身这个值非常相近。

由此证明超越数的存在（也就是他造的这个L）。

不过，π这个数字并不满足刘维尔的条件（不能用有理数无限逼近），因此π是不是超越数还是不清楚。

重要突破来自1873年，也就是近30年之后。

一个叫做Charles Hermite的法国数学家设计了一种巧妙的方法证明了自然对数的底数e是超越数。

这是第一个非人为设计的超越数，使得九年之后，德国数学家林德曼终于在他的理论之上，证明了π是超越数。

首先，他证明了只要d是非零代数数，e^d就是超越数。

换言之，也就是说如果e^d是代数数，但d要么是0，要么是超越数。

这下，基于数学界中被公认为最完美的公式：欧拉恒等式，e^πi=−1，就能推出π的类别了。

因为-1是代数数，基于刚刚的定理，πi一定是超越数，由于i又是代数数，所以π一定是超越的。

这样一来，就“大事不好”了——

π是超越数就意味着π不符合上一段说的“可以画出来”的线段的定义，因此古希腊哲学家几千年前提出来的化圆为方的难题原来根本就不可能实现。

故事还没结束

化圆为方的故事结束了，但关于超越数的探索才刚刚开始。

就在e被证明是超越数后不久，又一位数学家证明了无穷大的数其实有不同的大小，但有理数的无穷大与整数的无穷大相同。这样的集合被称为“可数无穷的（countably infinite）”。

然而，实数和无理数的集合更大，是不可数的无穷大；与此同时，虽然代数数集包含所有有理数和无穷多个无理数，但它仍然是无穷大较小、可数的无限集合。

因此，它的补集，也就是超越数，是不可数无限的。

换句话说，绝大多数实数和复数都是超越数。

——虽说超越数这么多，但到了20世纪之交，数学家也只能确定其中非常少数的几个。

1900年，当时有名的德国数学家戴维·希尔伯特列出了一份著名的23个最重要的未解决数学问题清单，其中第七个问题就是：

证明当a是代数数且不等于0或1，而b是代数无理数时，a^b是超越数。

1929年，年轻的俄罗斯数学家Aleksandr Gelfond证明了b=±i√r和r是正有理数的特例，意味着e^π 是超越数。

这项结果令人吃惊，因为根据定理要求，e和π都不是代数数。

然而，通过再次巧妙地操纵欧拉恒等式，就知道怎么回事了：

不久之后，又有数学家又发现2^√2是超越数。接着，前面戴维·希尔伯特列出的第七个问题也被两个数学家独立解决了。

再往后，数学家艾伦·贝克 (Alan Baker) 发表了一系列文章，将前面这些人的成果做了概括总结，使得我们对超越数有了更深刻的理解，因此还获得了1970年的菲尔兹奖。

当然，31岁的他获此殊荣的最大成就还是证明诸如下面这样两个值也是超越数：

直到如今，关于超越数的开放问题还比比皆是，并且有许多具体的、看起来“非常超越”的数字，一直无法被证明，像什么“eπ”、“e+π”、“e^e ”、“π^π”、 “π^e”…… 全都在列。

但如开头所讲，数学家说了：

知道谁是超越数可能没有什么实际用处，但如果我们有能力知道却选择不知道，这肯定是不能接受的。

狠狠respect了。

原文链接：
https://www.quantamagazine.org/recounting-the-history-of-maths-transcendental-numbers-20230627/

— 完 —

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