一个三角形内角和是180度，所以所有三角形内角和都是180度，这对吗？

老师让你证明三角形的内角和是180度，于是你找了几个三角形，发现它们的内角和都是180度，于是证明完毕，这种做法对吗？

我问了许多人，都认为这种方法不对。因为三角形有无数个，你怎么能通过几个例子，就证明所有三角形的性质呢？简直让人笑掉大牙。前两天我发微博说这件事，有许多人对此嗤之以鼻，甚至还做视频批判我。

但实际上，这么做是有道理的，它是正确而且严格的，这就是由中国数学家洪加威、张景中等人提出的“例证法“，它是演绎和归纳法的统一，只是上学时候老师从没教过我们。如果你认真了解了这种方法，一定会慨叹数学的神奇。

张景中院士

我们首先来看一个简单的例子：

求证：(x+1)(x-1)=x²-1

这是平方差公式，显然是成立的。但是我们也可以通过例证法进行证明：

证明：当x=0,1,2时上式都成立，所以上式恒成立。

为什么只通过三个例子就能说明等式恒成立呢？我们可以通过反证法说明：

假设等式(x+1)(x-1)=x²-1不是恒成立的，那么它将可以转化为一个含有x的多项式方程：ax²+bx+c=0，且a,b,c不全为零。

这个多项式方程最高只能是2次的，因此最多只能有两个根——其依据是代数基本定理：n次多项式方程必定有n个复数根。

这个定理是数学王子高斯在22岁时的博士论文中提出的。不要以为22岁写博士论文有什么大不了的，毕竟他9岁就能算从1加到100，19岁的时候就解决了千古难题“正17边形的尺规作图”，21岁就完成了巨著《算术研究》。

高斯

现在，我们举出了0，1，2三个数字都满足等式，说明等式至少有3个根，这与代数基本定理所证明的不超过2次的多项式方程最多有2个根矛盾，因此原等式只能是恒等式，证明完毕。

多么漂亮的证明啊！我们可以把上面的内容总结成一个定理：

定理：若函数f(x)是一个关于x的不超过n次的多项式，那么证明函数f(x)≡0,只需要n+1个例证。

如果想证明多元多项式，又该怎么办呢？我们再来看一个例子：

证明：(x+y)(x-y)=x²-y²

这个等式有x和y两个未知数，如果它不是恒等式的话，当x是定值时，它将是一个关于y不超过2次的多项式方程，最多只有两个根；如果y是定值，它将是一个关于x的不超过2次的多项式方程，最多也只有两个根。

所以，如果我们能举出3个x值和3个y值，形成3x3=9个元素的矩阵，这个矩阵中的每个(x,y)都满足等式，那么等式必定是一个恒等式。比如只需要代入以下结果：

(x,y)=(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)

验证即可。

我们把这个结果总结成定理：

定理：若函数f(x₁,x₂,x₃,…,x_k)是一个关于x₁,x₂,x₃,…,x_k的，最高次不超过n₁,n₂,n₃,…n_k次的多项式，那么证明函数f(x₁,x₂,x₃,…,x_k)≡0，只需要(n₁+1)(n₂+1)(n₃+1)…(n_k+1)个元素的矩阵例证。

举个例子：你要证明x+y=1恒成立，只需要找到2x2=4个例子就可以，但是这四个例子必须是x取两个值，y取两个值构成的一个矩阵。你会发现，无论如何找不到这四个例子，于是例证法无法证明这是恒等式。

这种方法只能证明代数问题吗？显然不是，它还可以用于大量的几何问题证明。我们用一个最简单的例子：证明三角形内角和等于180度来说明。

首先，我们要将几何问题代数化，方法是使用笛卡尔创立的解析几何。笛卡尔就是那个传说和瑞典公主谈恋爱的老年人。实际上笛卡尔并没有和瑞典公主谈恋爱，而是给瑞典女王当私人教师。女王要求笛卡尔每天早上五点就赶去她的王宫，在瑞典寒冷的冬天，一个老年人每天早上起的这么早，最终感染了肺炎，不幸去世。

笛卡尔

无论是什么样的三角形，都可以把它的一个顶点A放在坐标原点A(0,0)，让它的一条边和x轴重合，并且把这条边的长度规定为单位1,这样顶点B的坐标就是B(1,0)，另一个顶点可以在平面中任意选取，定为C(x,y)。

我们要证明三角形内角和是180度，就要把三个内角拼起来，证明三个内角可以构成一个平角。我们可以采用这样的方法：

在BC上取中点M，连接AM并延长到D，让MD=AM。这样根据角边角公理，三角形ABM和三角形DCM全等。

ΔABM≌ΔDCM

同理，我们可以做出E点，并且

ΔBAN≌ΔECN

于是，三角形的两个底角就都可以转移到C点上了，剩下的工作就是证明D((x₁,y₁)、C(x,y)、E(x₂,y₂)三点共线了。

根据解析几何，证明三点共线，就是证明它们的坐标满足以下关系：

(x-x₂)(y₁-y)-(x₁-x)(y-y₂)=0

这个方程中，只有x，y两个变量是自由的，而x₁，y₁，x₂，y₂都可以通过x，y推导出来。你会发现，其实x₁，x₂都是x的一次函数，而y₁，y₂都是y的一次函数，上面的表达式的x和y的最高次都是1次。这样，我们只需要2x2=4个例证，就能证明等式恒成立了。

具体可见下面的推导过程：

取哪些例证更好呢？我们可以取(x,y)=(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)四个例子，取(0,0),(1,0)时，C点分别和A、B重合，表达式成立。而(0,1),(1,1)时，是两个对称图形。所以我们其实只需要验证C(0,1)时三角形内角和是180度，就能证明所有三角形内角和都是180度了。

所以，验证了一个三角形的内角和是180度，就断言所有三角形内角和都是180度，看上去很荒唐，但是的确是有道理的。其实许多平面几何定理都可以用这样的方法证明，只不过例子的多少不一样，有些定理可能需要成千上万个例子才能证明。

从几个例子得到一般性的结论，这叫做归纳法，在物理化学生物上，都是使用归纳法研究问题得出理论的，无论是牛顿三大定律还是元素周期表都是如此，只有在归纳法发现了反例，人们才会去想着如何修改理论。英国著名哲学家，古典经验论的始祖弗朗西斯培根就认为：归纳法是切实可靠的获取知识的方法，科学工作应该像蜜蜂采蜜一样，通过搜集资料、有计划观察、实验和比较，来揭示自然界的奥秘。

知识就是力量，法国就是培根

可是，从古希腊时代开始，数学家们就一直认为只有用演绎法获得的数学结论才是可靠的，用归纳法证明数学定理，例子再多也没用，只能被人耻笑，比如你验证了三个偶数都能满足哥德巴赫猜想，就能证明哥德巴赫猜想了吗？

那么问题来了，为什么有时候举例子可以证明一个问题，有时候却不能呢？

其实，归纳法和演绎法其实是相互支持和补充的，并不是水火不容，用例证法来证明数学定理，虽然是归纳法，但是背后也有代数基本定理、反证法等演绎法做支持。归纳和演绎这两种逻辑方法，在更高的层次是统一的。

换句话说，如果我们能用演绎法去获得一个确凿的逻辑关系，那么举一个例子，就能严格论证一个命题，这就是古人所说的一叶知秋。

反过来说，如果没有弄清楚逻辑关系，举多少例子，都不能说明问题，这就是以偏概全。生活中这样的情况还真不少。

一叶知秋

我想，现在你一定对举例子的证明方法，有了更深刻的认识了吧！