海盗分金币问题：你能拿到多少钱？博弈论与纳什均衡（四）
各位同学大家好！我是李永乐老师。之前我们讲了三期关于博弈论的话题，分别是：
今天我们继续讲博弈论与纳什均衡。
之前我们说的一直是双方博弈的例子。纳什定理告诉我们，即使是多人博弈，也一定存在纳什均衡，这里最典型的例子是海盗分金币问题。
5个海盗抢得100金币，他们按照抽签的顺序依次提方案：首先由1号提出分配方案，然后5人表决，投票要超过半数（不包括半数）同意方案才能被通过，否则他将被扔入大海喂鲨鱼。那么，最终金币会如何分配呢？
前几年有一部动画片《天行九歌》，里面有一集《三姬分金》，就是海盗分金币问题的简化版。在这个桥段中，韩非子去找大将军姬无夜筹措军饷。发现大帐之中除了将军外还有三名美女在玩抢金币的游戏。
韩非子对三位美女说，咱们不妨玩的更有趣一些。规则是：
抽签决定三个人的顺序，按照顺序进行分金币的提议。如果提议未能获得全体人员半数以上（不包括半数）通过，提议人被处死。
在这个游戏规则下，抽到第一名提议的美女非常恐慌，因为她觉得后面两个人为了拿更多的金币，必然会否定自己的提议，然后杀死自己。但是结果真的是这样吗？
为了使用博弈论分析这个问题，首先我们必须做出几点假设：
第一，美女都是聪明的，知道自己的决策会导致什么结果。
第二，美女都是理性的，以自己的利益最大化为目标。
第三，美女都是邪恶的，在利益最大化的前提下，尽量多杀人。
在这样的假定下，我们就可以讨论这个问题了。假设抽签之后，按照顺序，三个美女分别是A、B、C。
我们假设A的提议没有被通过，那么A就会被杀，只剩下BC两个人，此时无论B提出什么建议，C都可以反对，这样提案没有获得半数以上支持，B将会被杀死。C不光可以拿到全部金币，还杀掉了两个人，C获得利益最大。
美女B知道以上结果，所以B的策略是绝对不能让A死掉，转而会支持A的一切建议。
美女A当然会预判出B的预判，有B的支持，再加上A自己，A的任何提议都会被通过，所以，美女A可以肆无忌惮的提出分配方案：自己拿100枚金币，B和C什么都没有。
虽然看起来，这个分配方案对B很不友好，但是B为了活命，还是会支持A，此时C反对已经没有任何意义了。最终A拿到了全部的金币，B和C什么都拿不到。
我们不妨设想，如果四个人玩这个游戏，结果又是如何呢？如果大将军姬无夜也要玩这个游戏，并且将军第一个提议，他会预判出三个美女的预判，他知道：如果自己的提议未被通过，那么美女A会分走全部的金币，而美女B和美女C什么都拿不到。
他还知道：要想让自己的提案通过，除了自己之外，还需要拉拢两个人。显然，拉拢B和C更好。因为如果自己死掉，B和C什么都拿不到，只要自己提议给B和C每人一个金币，B和C就一定支持自己。
所以大将军的提议会是自己拿98枚金币，美女B和C各1枚，而美女A什么都没有。大将军的提议一定会获得B和C的支持，A反对已经没有任何意义了。
有人可能会想：三个美女为什么不联合起来，否定大将军的提案，相约处死大将军后，每人拿33个金币呢？
的确，按照规则，他们可以这样做，但是当大将军的提案被否定，大将军被处死之后，就轮到美女A提案了，这时就面临一个问题：美女A会不会反悔呢？
假如将军死了，美女A反悔了，提议自己拿100个，B和C还是什么也拿不到。
当然，美女B和美女C此时也可以联合起来把反悔的美女A干掉，然后约定每人拿50个金币。但是如果A死掉了，C又会不会反悔呢？如果C反悔了，B一定会死。
因为每个人都是理性的，又是邪恶的，他们不会相信其他人的承诺，不敢冒这个风险，所以大将军最初提议的分配关系才会通过，这就是纳什均衡。
现在，你应该知道5个海盗的分金币问题，应该会有什么样的结果了吧？我们把这个问题留给同学们自己思考。
在现实生活中，这样的例子比比皆是。大将军就像是一个大公司的老板，他具有先手优势，因此可以为自己谋取最大的利益。美女B和美女C属于底层员工，他们比较安全，但是收益很少。不过，大将军特别喜欢拉拢美女B和美女C，就好像很多公司老板都对底层员工特别照顾，总是施以小恩小惠一样，因为他们是最好拉拢的。
但是美女A的位置很尴尬，她既没有先手优势，也不属于大老板拉拢的对象。他要获得最大利益，就必须干掉大将军，自己成为先手。所以历史上臣弑君，君杀臣的现象屡见不鲜。例如汉朝初期，刘邦封了8个异姓王，后来他和吕后杀了7个。朱元璋靠兄弟打天下，开国之后大肆杀戮权臣，包括胡惟庸、李善长、蓝玉等人，总共诛杀的高官达数万人。
刘邦
朱元璋
国家之间的关系也是一样。美国二战后全力扶持日本对抗苏联，现在又全力支持乌克兰对抗俄罗斯，都是这个道理。美国人忘了二战时日本偷袭珍珠港了吗？北约忘了华沙公约组织给自己造成的阴影了吗？其实，这些都不重要，国际关系，本质上就是利益博弈而已。俄罗斯明知道自己实力不行，还是非要对乌克兰动武和北约撕破脸，其实也是他所处的地位决定的。
国际关系太复杂，再说下去恐怕节目就不能播出了。我们还是说回到数学吧。通过海盗分金币问题，我们能看出：无论博弈的有多少人，只要规则是固定的，策略是有限的，那么大家最终会走向一种平衡解，结局是可以预料的。只要每个人都足够聪明和理性，就没有人会破坏这种平衡，否则就会让自己的利益受损，这就是多人博弈的纳什均衡。
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