Redian新闻
>
深入浅出详解张量自动求导机制

深入浅出详解张量自动求导机制

公众号新闻

©作者 | 清川

单位 | 上海交通大学博士生

研究方向 | 联邦学习、端云协同推断




写在前面

深入浅出,在计算机教材界被用滥的词,总是继承着领域小白的初心和梦想。顾名思义,它既意味着理解得透彻,又要求复述得通俗。如果说复述是大名鼎鼎的费曼学习法的精髓,那么复刻便是其在程序世界最恰当的对应概念。君不见深度学习水涨船高,计算框架层出不穷。想要深入浅出这些框架,何不亲自动手复刻个轮子?

自动求导机制是神经网络计算框架必备的组件,被赋予了多种称呼:Autograd、Autodiff、自动求导、自动梯度、自动微分。万变不离其宗,在神经网络的训练过程中,它被用来计算权重的最速下降方向,以指导优化器下一步迭代时对权重的更新。有了自动求导(比如 JAX 框架的 grad),再辅之以矩阵运算(比如 Numpy),就可以实现神经网络的基本功能了。

最近和 @王桂波 博主交流,受益良多。本文的框架使用 Python3 编写,主要参考了他的教程 Automatic Differentiation Tutorial [1],并补充了一些网上未曾讨论但很重要的细节。本文会持续更新,分析一些常见的算子设计,之后还会给出使用本文的框架做线性回归和神经网络训练的例子,敬请关注!



反向传播


这里以最简单的前馈神经网络为例(没有反馈链路的多层感知机。正向传播过程即是输入数据逐层推断,最后得到预测值的过程,是机器对已学知识的演练;反向传播则是比较预测值和真实值,根据定义的损失函数反向逐层归谬的过程,是自我批评、寻找不足之处的改进。

具体地,反向传播会求出损失值对于各权重的负梯度,来寻找改进的最佳方向。各层在推断时只是接收上层的信息、做决策、传递结果给下一层,所以在归谬时只需要各层自我反思即可。那么距离输出最远的输入层则归谬最为复杂。直觉上讲,它的决策经过了多层修改,想要判断好不好已经很模糊了。



链式法则


复合函数的链式法则实际上是以上反向逐层计算梯度的理论支持。以最简单的一元(标量)复合函数为例,链式法则如下:


类比神经网络,如果上式右侧连乘的每一项代表各层的局部梯度,则网络的输出对于各层的全局梯度就等于,从这一层开始到输出层的各层局部梯度的连乘。正因为输出层求梯度连乘只有一项,而输入层需要连乘所有项,求梯度的过程是反向逐层进行的。为什么可以这么类比呢?

一个两层的多层感知机可以定义如下,其中 是输入, 是各层输出, 是权重矩阵, 是各层偏置, 是非线性激活函数:


根据上式, 显然可以看做 的一个复合函数:


只不过要注意,神经网络的复合函数是矩阵函数,而矩阵函数的链式法则有自己的规律,并不是简单的点积!!!尽管没有统一的规律,要实现也并不困难,因为神经网络中能够用到的运算很有限,我们只需要按照矩阵粒度,将所有用到的运算的链式法则穷举定义即可。

以矩阵作为梯度的最小单位而不是神经网络的一层,是为了更灵活的表达能力:任何运算过程都可以按照计算顺序看做复合函数:


实现了广义的链式法则,就可以适配各种类型的网络定义了。



总体框架

4.1 封装张量类型

我们将具备自动求导功能的矩阵封装成一个叫做张量的类:


# import numpy as np
class Tensor:

    def __init__(self, values, requires_grad=False, dependency=None):
        self._values = np.array(values)
        self.shape = self.values.shape

        self.grad = None
        if requires_grad: self.zero_grad()
        self.requires_grad = requires_grad

        if dependency is None: dependency = []
        self.dependency = dependency

    @property
    def values(self):
        return self._values

    @values.setter
    def values(self, new_values):
        self._values = np.array(new_values)
        self.grad = None


类的成员变量的作用如下:

values:通过初始化函数传入初值。被 property 装饰器定义为可读写的属性,主要为了在类外部对其进行赋值修改时控制其值始终为 Numpy 的 ndarray 类型。关于这部分 Python 语法可以参考 python 中的 property 装饰器 [2],是工程中常用的 Getter/Setter 设计模式 [3]

grad:存储该矩阵最终的全局梯度值。

requires_grad:表明该矩阵是否参与梯度计算。如果参与则给 grad 分配空间并初始化为与值形状相同的全零矩阵;如果不参与梯度计算,则不分配空间以优化内存效率。这里梯度清零操作定义如下:


class Tensor:
    # ...
    def zero_grad(self):
        self.grad = np.zeros(self.shape)


dependency:当前矩阵可能储存的是某个运算的结果,我们需要记录其梯度如何向操作数矩阵传播。由于操作数可能不唯一,这个属性是列表类型。其中每一项将会是一个字典,字典的 tensor 字段指代操作数的张量,grad_fn 字段指代传播到该张量需要执行的函数。


4.2 实现反向传播


我们先来看一下反向传播的定义,稍后再讨论梯度清零功能的必要性:


class Tensor:
    # ...
    def backward(self, grad=None):
        assert self.requires_grad, "Call backward() on a non-requires-grad tensor."
        assert not (grad is None and self.values.size > 1), "grad can be implicitly created only for scalar outputs"
        grad = 1.0 if grad is None else grad
        grad = np.array(grad)

        self.grad += grad

        for dep in self.dependency:
            grad_for_dep = dep["grad_fn"](grad)
            dep["tensor"].backward(grad_for_dep)


在我们的程序逻辑里,当前张量最终的梯度是在上级函数处计算完毕后传进来的。仍以上面的算数运算复合函数为例:


张量 的梯度 就是由张量 的反向传播函数计算好后传给 的。这只是为了编程方便,没什么道理。如果当前张量就是计算图的最后一个节点(即反向传播开始的节点,比如 ),那么就不需要传入 grad,下面在判断到这种情况时会将 grad 初始化为 1.0。

函数中首先两个断言,第一个判断要求当前张量参与梯度计算,第二个判断要求当前张量为输出节点时必须是标量才能反向传播。在 Pytorch 中就不支持非标量对向量反向传播求梯度,否则会报以下错误:


RentimeError: grad can be implicitly created only for scalar outputs


这个很好理解:假如输出节点是向量,向量对向量求梯度会得到一个矩阵,而对矩阵求梯度就会得到更高维的矩阵,如此传播下去程序将会不可控;而标量对向量求梯度得到向量,对矩阵求梯度得到矩阵,程序可以链式传播。因此,我们必须在设计损失函数的时候就想办法压缩维度,让最后得到一个标量。

接下来将现有的梯度上加上传入的梯度,这是一个有意思的 Trick。在这些矩阵第一次参与反向传播,或被我们手动调用 zero_grad() 清零后,就相当于将张量的梯度直接赋值为传入的梯度。然而如果我们不进行梯度清零,这里的梯度就会累加。下面插播一下实现这种梯度累加的好处,同样也是梯度清零的意义。


BEGIN TIP

在神经网络训练中,我们使用的小批量梯度下降一般都是将一批样本的损失函数求和,然后进行反向传播。我们在定义网络的时候往往需要特别指定输入的形状,并且可以多留出一个维度用于设置弹性的 batchsize。现代计算框架一般都会提供使用 GPU 并行处理梯度计算图的能力,我猜想框架会隐式地为一批样本建立同样数量的计算图,同时加载到显存中。在计算好每个计算图节点的梯度后再进行累加合并。

这种猜想不无根据,之前在 Jetson TX2 上跑实验时发现 batchsize 超过 8 就会炸显存。TX2 是 CPU/GPU 共用 8G 内存的,而当时模型大小大概 260MB,使用的是 Adam 优化器。

我不知道有没有专门做模型训练内存/显存占用预测的论文,但这篇博客深度学习中 GPU 和显存分析 [4] 对显存占用讲得很透彻。据分析,Adam 优化器需要额外的 3 倍模型大小来存储梯度和动量等信息。那么假设模型的参数和梯度分别需要一份整体的备份在内存里,Adam 占用 3 倍模型大小,每次训练同时加载 8 份 Adam,则需要的总大小为:


再加上样本数据占用的内存以及操作系统占用的内存,确实跑起来很吃力。另一个例子来自论坛的问题 mxnet 有在有限显存的情况下增大 batchsize 的方法吗?[5],题主使用 resnet152-v2 模型(根据 Keras documentation: Keras Applications [6]、精度为单精度浮点数计算,模型大小约 230MB。)在显存大小为 6GB 的 GTX1060 上也只能把 batchsize 设成 16。

参考 PyTorch 中在反向传播前为什么要手动将梯度清零?[7],其实我们可以逐个样本进行梯度计算,只要不在每轮都进行梯度清零,梯度就会一直累加,和批处理的效果是近似的。比如每隔 8 个样本进行一次梯度清零和优化器的 step,就相当于 batchsize 设成了 8。这样我们可以在有限的显存条件下尽可能加大 batchsize。当然这么做也是有代价的,本身并行的梯度计算变成了串行的,更额外引入了多次访存的开销,程序会变得很慢。


END TIP

继续分析反向传播的代码,下面这部分可谓是反向传播的精髓:


# ...
for dep in self.dependency:
    grad_for_dep = dep["grad_fn"](grad)
    dep["tensor"].backward(grad_for_dep)


循环遍历当前张量(操作结果)对应的操作数,调用 grad_fn 指向的梯度传播函数,将下一个节点梯度计算出来,递归调用该节点的反向传播函数,同时传入计算好的梯度。总体上看,这是一个对计算树深度优先遍历的过程。之前我们一直说的是计算图,但是想一想常见运算一般都是单/多输入单输出,多个输出的情况很少(比如 divmod,从输出节点倒推就是树形结构。


4.3 框架设计小结

整理一下,自动求导的整体框架如下图所示,这里使用的例子是:

▲ Autograd 总体框架:绘图不易,转载请注明出处

可以看到连接线密集的部分就是 mul 这个算子,这是反向传播实现的核心部分,接下来我们具体展开,看看算子如何定义,其梯度传播的 grad_fn 究竟长什么样子。



算子设计

我们把张量支持的运算函数叫做算子。为了更符合用户的使用习惯,以及表达式定义更自然,算子往往通过张量的运算符重载实现。算子函数内部既要实现正向传播时正常的运算功能,又要提供反向传播时梯度计算和传递的规则。下面我以三种最常见类型的运算为例,介绍一下算子的设计方法。


5.1 矩阵乘法算子

我们以矩阵乘法为例。在 Python 的 Numpy 库中使用 @ 运算符表示矩阵乘法,对应的运算符重载函数为 __matmul__。


def as_tensor(obj):
    if not isinstance(obj, Tensor):
        obj = Tensor(obj)
    return obj

class Tensor:
    # ...
    def __matmul__(self, other):
        # 0. make sure other is Tensor
        other = as_tensor(other)

        # 1. calculate forward values
        values = self.values @ other.values

        # 2. if output tensor requires_grad
        requires_grad = self.requires_grad or other.requires_grad

        # 3. build dependency list
        dependency = []
        if self.requires_grad:
            def grad_fn1(grad):
                pass  # TODO HERE
            dependency.append(dict(tensor=self, grad_fn=grad_fn1))
        if other.requires_grad:
            def grad_fn2(grad):
                pass  # TODO HERE
            dependency.append(dict(tensor=other, grad_fn=grad_fn2))
        return Tensor(values, requires_grad, dependency)


首先要保证另一个操作数是张量,在矩阵乘法中一般不会出现问题,但在数乘中,other 可能就只是一个数字。然后 values 直接计算矩阵乘法结果,作为返回的张量的值。之后,两个操作数只要有一个需要计算张量,结果就需要计算张量,否则计算树就截断了。最后构造依赖项,我们需要分别定义操作结果对两个操作数的梯度求解和传递过程。如果是标量乘法,这里毫无疑问会很简单:


的乘法运算符重载函数被调用时,只需要将 的梯度计算和传递分别定义如下:


在从 开始反向传播,传播到 的时候只需要把 传入 grad_fn 函数即可。但如前文提到的,矩阵的链式法则有自己的规律,我们需要推导一下。这里的推导过程参考了一篇我十分佩服的文章:长躯鬼侠:矩阵求导术 [8]。我们先从多元标量函数入手分析,根据标量的全微分公式、微分与梯度的关系,有:


那么类比标量,多元矩阵函数也应有如下关系:


其中 tr 代表矩阵的迹,即对角线元素之和。上式很好验证,我们假设 ,将上式右侧展开,很明显只有对角线元素的梯度和微分是对应的。


接下来,我们假设如下情形:


其中 的矩阵, 的矩阵, 的矩阵, 是标量。可以理解为 个输入样本,每个样本有 维特征,经过线性变换矩阵 变换成高维特征图 ,然后通过 (非线性变换以及损失函数等)计算得到最终的 。下面计算 对于 的梯度,首先求 的全微分:


考虑对 求梯度时, 可被看做常数,那么:


代入到全微分公式中,得到:


所以我们推导出 求梯度的链式法则:


同理,我们也能推导出 求梯度的链式法则:


于是,我们可以将上述代码中的 grad_fn 补全:


def grad_fn_1(grad):
    return np_matmul(grad, other.values.T)

def grad_fn_2(grad):
    return np_matmul(self.values.T, grad)


为了编程方便,我们将算子设计的代码中通用的部分封装起来:


def build_binary_ops(this, that, values, grad_fn_1, grad_fn_2):
    requires_grad = this.requires_grad or that.requires_grad
    dependency = []
    if this.requires_grad:
        dependency.append(dict(tensor=this, grad_fn=grad_fn_1))
    if that.requires_grad:
        dependency.append(dict(tensor=that, grad_fn=grad_fn_2))
    return this.__class__(values, requires_grad, dependency)


5.2 求平均值算子


在上述矩阵乘法的例子中 f 将最终的输出从矩阵映射成为标量,这个过程中往往先使用损失函数将矩阵变为向量,例如交叉熵损失函数:


之后我们需要再对一批样本的损失值向量做维度压缩,比如使用求平均值算子:


由于上文提到输出节点必须为标量,所以这一类函数也会非常常用。


class Tensor:
    # ...
    def reduce_mean(self, axis=None):
        values = self.values.mean(axis=axis)
        def grad_fn(grad):
            grad = grad / self.values.size * np.ones_like(self.values)
            return grad
        return build_unary_ops(self, values, grad_fn)


首先也是实现正向传播的功能,直接调用 Numpy 数组自带的平均值函数 mean,得到输出。由于输出是一个标量,意味着上一层传来的 grad 也是个标量,那么这里反向传播的梯度计算和传递很简单,求和后的输出对于原始向量的每个元素的偏导数都为 1/n,所以只需要新建一个与 grad 相同维度的数组,然后再通过数乘进行 broadcast 即可。

但是问题不是这么简单,像求和、求均值这类运算往往提供了一个额外的参数:运算的轴。当操作的张量高于一维,我们就需要沿着轴去分配偏导的值。直接讲分配不好理解,举个例子:


其中,矩阵 沿着 axis=1 求均值的操作可以写作:


而输出 对于 求导是 。显然 对矩阵 求梯度最终的结果应为:


其实均值算子这里的梯度求解和传递就是:将上层传来的梯度 ,先沿着均值的轴扩展一个维度,然后再沿着这个轴进行重复,最终除以该轴的元素数量。在求均值时,比如一个 2×3×4 的矩阵,沿着 1 轴求均值,结果的形状就变成 2×4,也就是沿哪轴求值,哪轴就被压缩掉。

所以在反向传播时反其道,先使用 Numpy 的 expand_dims 将这个轴扩充。扩充后这个轴的长度只有 1,那么要扩充为原来的形状,就需要重复,重复多少次呢,当然重复原来这个轴上的元素数量那么多次。

有人可能疑惑,这里不也是向量对矩阵求梯度吗,为什么没出现高维矩阵?那是因为沿轴操作很特殊,是介于逐元素操作和矩阵操作之间的,不能按照传统矩阵乘法那类操作来类比。最后我们补全代码:


class Tensor:
    # ...
    def reduce_mean(self, axis=None):
        values = self.values.mean(axis=axis)

        if axis is not None:
            repeat = self.values.shape[axis]

        def grad_fn(grad):
            if axis is None:
                grad = grad / self.values.size * np.ones_like(self.values)
            else:
                grad = np.expand_dims(grad / repeat, axis)
                grad = np.repeat(grad, repeat, axis)
            return grad

        return build_unary_ops(self, values, grad_fn)

5.3 broadcast算子

举一个最常见的例子,就是神经网络线性层中的偏置值。我们假设输入为 ,维度为 ,即 个样本,每个样本 维特征。设权重矩阵为 ,为 维,表示每个特征的重要性。设偏置值为 ,激活函数为 。那么线性层的前向传播过程应为:


这里 的结果为 维,如果不支持算子广播,那么就要求 也必须是 维。然而 在神经网络训练时往往等同于 batchsize,其大小是用户设置的,况且对于偏置值,创建 倍的空间存储相同的值也是低效的。出于对空间效率和开发便捷性的考虑,我们就引入了广播机制。仅创建形状为 (1,) 的偏置张量,在相加时让这种加法操作广播到 结果的每一个元素上。

上例中引入的支持广播的加法就是典型的 broadcast 算子(此外还包括数乘),概括地定义一下,就是把算子间形状相合的部分进行计算,形状不足的部分进行广播,从而降低对操作数形状上的要求,使用起来更加便捷。直接定义很难想象,现在的矩阵运算库基本都支持了算子的广播机制,我们以 Numpy 数组的加法为例:


x = np.zeros((234))
--------------------------------
array([[[0., 0., 0., 0.],  # 3x4
        [0., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0., 0.]]
,

       [[0., 0., 0., 0.],  # 3x4
        [0., 0., 0., 0.],
        [0., 0., 0., 0.]]
])


先初始化一个三维全零数组,为了展示运算作用的维度,我们在各个维度选择不同的元素数量。我们分别用形状为 (1,)、(4,)、(3, 1)、(3, 4)、(2, 3, 4)、(1, 3, 1)、(2,) 的随机数向量与 x 相加,为了控制结果的可复现性,我们使用固定随机数种子的 RandomState 产生向量。


# (1,)向量或者标量与x相加,将加在每一个元素上
>>> x +  np.random.RandomState(0).rand(1,)
array([[[0.55, 0.55, 0.55, 0.55],
        [0.55, 0.55, 0.55, 0.55],
        [0.55, 0.55, 0.55, 0.55]]
,

       [[0.55, 0.55, 0.55, 0.55],
        [0.55, 0.55, 0.55, 0.55],
        [0.55, 0.55, 0.55, 0.55]]
])

# (4,)向量x相加,将x的2x3个形状为(4,)的子数组与该向量对应位置元素相加
>>> x +  np.random.RandomState(0).rand(4,)
array([[[0.55, 0.72, 0.6 , 0.54],
        [0.55, 0.72, 0.6 , 0.54],
        [0.55, 0.72, 0.6 , 0.54]]
,

       [[0.55, 0.72, 0.6 , 0.54],
        [0.55, 0.72, 0.6 , 0.54],
        [0.55, 0.72, 0.6 , 0.54]]
])

# (31)向量与x相加,沿着1轴对应位置元素相加,沿其他轴重复
>>> x +  np.random.RandomState(0).rand(31)
array([[[0.55, 0.55, 0.55, 0.55],
        [0.72, 0.72, 0.72, 0.72],
        [0.6 , 0.6 , 0.6 , 0.6 ]]
,

       [[0.55, 0.55, 0.55, 0.55],
        [0.72, 0.72, 0.72, 0.72],
        [0.6 , 0.6 , 0.6 , 0.6 ]]
])

# (34)向量与x相加,将x的每一组3x4的子数组与该向量对应元素相加
>>> x +  np.random.RandomState(0).rand(34)
array([[[0.55, 0.72, 0.6 , 0.54],
        [0.42, 0.65, 0.44, 0.89],
        [0.96, 0.38, 0.79, 0.53]]
,

       [[0.55, 0.72, 0.6 , 0.54],
        [0.42, 0.65, 0.44, 0.89],
        [0.96, 0.38, 0.79, 0.53]]
])

# (234)向量与x相加,对应位置元素相加
>>> x +  np.random.RandomState(0).rand(234)
array([[[0.55, 0.72, 0.6 , 0.54],
        [0.42, 0.65, 0.44, 0.89],
        [0.96, 0.38, 0.79, 0.53]]
,

       [[0.57, 0.93, 0.07, 0.09],
        [0.02, 0.83, 0.78, 0.87],
        [0.98, 0.8 , 0.46, 0.78]]
])

# (2,)向量与x相加,将报维度不匹配的错误
>>> x +  np.random.RandomState(0).rand(2,)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1in <module>
ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (2,3,4) (2,)


由此我们可以总结,对于加法这类 broadcast 算子,并不像矩阵乘法要求乘数的形状完全一致,只要求至少有一个轴上的形状一致,其他轴为空或者为 1,即可进行运算。

以 x 与形状为(2, 3, 1)的向量 y 的加法为例,由于 x 的形状为(2, 3, 4),两个操作数 0 轴和 1 轴形状一致,而 y 缺少 2 轴(2 轴形状为 1,常常被认为是冗余的,可以 squeeze 掉的维度),那么操作的结果就是 0 轴和 1 轴形成的子矩阵的元素对应位置相加。

你可以把这个子矩阵的每个元素看成是一个向量,x、y 的子矩阵的元素分别是长度为 4 和 1 的向量,那么在对应位置元素相加时,又递归地发生了形状分别为 (1,) 和 (4,) 的向量的加法 broadcast。当然,你也可以只取 2 轴的第一个切片,认为加法操作是作用在 0 轴和 1 轴形成的子矩阵上(这时每个元素就是一个数值),但这种操作沿着 2 轴进行重复,总共重复了 4 次(2 轴的长度)。

接下来我们看看加法算子的逻辑具体怎么编写。前向传播直接使用加号就可以,因为我们张量使用的内部存储类型是 Numpy 的 ndarray,天然支持广播。


def __add__(ts1, ts2):
    ts2 = as_tensor(ts2)
    values = ts1.values + ts2.values
    # ...


重点是反向传播的逻辑,即 grad_fn 函数如何编写。在编写之前,我们要确定这种加法广播的结果如何对操作数进行求导。首先,将操作数全部转换为传统加法所要求的形状一致的情形。

假如加数 x、y 的形状分别为(2, 3, 4)和(3, 4),则将 y 的形状先扩充为(2, 3, 4),扩充的方法即按照形状不匹配的轴(0轴)重复 2 次(0 轴的长度),那么在相加时就相当于 y 广播到了其他的子矩阵上。这里「重复」的定义与 Numpy 的 expand_dims、repeat 函数的作用相同,前文在介绍平均值算子的时候提到过:


>>> y
array([[0.55, 0.72, 0.6 , 0.54],
       [0.42, 0.65, 0.44, 0.89],
       [0.96, 0.38, 0.79, 0.53]]
)
>>> y = np.expand_dims(y, 0)
>>> y
array([[[0.55, 0.72, 0.6 , 0.54],
        [0.42, 0.65, 0.44, 0.89],
        [0.96, 0.38, 0.79, 0.53]]
])
>>> y = np.repeat(y, 2, axis=0)
>>> y
array([[[0.55, 0.72, 0.6 , 0.54],
        [0.42, 0.65, 0.44, 0.89],
        [0.96, 0.38, 0.79, 0.53]]
,

       [[0.55, 0.72, 0.6 , 0.54],
        [0.42, 0.65, 0.44, 0.89],
        [0.96, 0.38, 0.79, 0.53]]
])


其实这种相似性很微妙,即加法的正向传播是维度填充,和 sum() 的反向传播相似;那么 sum() 的正向传播是维度缩减,就应该和加法的反向传播相似。可以想象,在求导后对应加数的局部导数必为形状与加数相同的全 1 矩阵,而加数扩充为(2, 3, 4)是我们假设的,其真实形状为(3, 4),那么每个元素的权重就应该变为 2 倍。

实际上我们反向传播时操作的是上一节点传来的全局导数,它在各个轴上的元素可能都不相等,这里就不是简单的乘法了,而是沿形状不匹配的轴(0轴)进行 sum reduce。

那么我们总结,grad_fn 中就是对缺轴的操作数求导时,要将上层传来的全局导数沿着形状不匹配的轴进行求和。


def grad_fn_ts1(grad):
    # handle broadcasting (5, 3) + (3,) -> (5, 3)
    for _ in range(grad.ndim - ts1.values.ndim):
        grad = grad.sum(axis=0)
    # handle broadcasting (5, 3) + (1, 3) -> (5, 3)
    for i, dim in enumerate(ts1.shape):
        if dim == 1:
            grad = grad.sum(axis=i, keepdims=True)
    return grad


注意,对于轴的长度为 1 的情况,我们要做 sum,但不要 reduce,使用 keepdims=True 来保持该轴不被 squeeze 掉。对右加数 ts2 的反向传播完全类似,数乘与加法完全类似,大家可以举一反三,也可以参考文末给出的代码。


5.4 用户自定义算子


为了良好的扩展性,很多神经网络计算框架,例如 TensorFlow,都支持用户自定义算子。我们的框架想要扩展也很简单,只需要实现以下函数原型即可:


# 一元运算
def unary_operation(operand, *args, **kwargs):

    # forward
    values = unary_operation_forward(operand)

    # backward
    def grad_fn(grad):
        # grad = ...
        return grad

    return build_unary_ops(operand, values, grad_fn)

# 二元运算(多元运算以此类推)
def binary_operation(operand_1, operand_2, *args, **kwargs):

    # forward
    values = binary_operation_forward(operand_1, operand_2)

    # backward
    def grad_fn_1(grad):
        # grad = ...
        return grad
    def grad_fn_2(grad):
        # grad = ...
        return grad

    return build_binary_ops(
        operand_1, operand_2, values, grad_fn_1, grad_fn_2)


注意事项


在 Numpy 中有个很讨厌的机制:一维数组无法转置。我们的框架内部一直使用的是数组来存放 values 和 grad,如果在梯度传递时出现了列向量与行向量做矩阵乘法的情况,本应得到矩阵,最终只会得到一个内积的标量。如果我们全部使用 matrix 来存储呢?则在很多情况下会出现多余的维度,需要不停的 squeeze。最终我只好对 @ 操作做了一层包装:


def np_matmul(arr1, arr2):
    if arr1.ndim == 1 and arr2.ndim == 1:
        arr1 = np.mat(arr1).T
        arr2 = np.mat(arr2)
    return arr1 @ arr2


这个问题是从 Automatic Differentiation Tutorial [9这篇文章给出的代码中发现的,大家有兴趣想复现的可以尝试一下。




总结

本文首先介绍了深度学习中常用的自动求导机制的原理和实现方法:将矩阵封装成张量并重载运算符,在正向传播表达式定义的同时,将反向传播的梯度计算和传递函数注册在操作结果的 dependency 表中,然后从输出节点反向深度优先遍历计算树,最后将计算好的全局梯度存储在张量的 grad 中。本文虽长,但仍无法做到面面俱到。希望大家能有所收获,反正我在写这篇文章的时候收获颇多。欢迎来讨论~ 

附录:完整代码


参见我fork的GitHub仓库:
https://github.com/ThomasAtlantis/toys/blob/thomas/ml-autograd/TensorLab.py


参考文献

[1] https://borgwang.github.io/dl/2019/09/15/autograd.html

[2] https://www.cnblogs.com/yangzhen-ahujhc/p/12300189.html

[3] https://www.runoob.com/design-pattern/design-pattern-intro.html

[4] https://blog.csdn.net/lien0906/article/details/78863118

[5] https://discuss.gluon.ai/t/topic/5831

[6] https://keras.io/api/applications/

[7] https://www.zhihu.com/question/303070254/answer/573037166

[8] https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748

[9] https://borgwang.github.io/dl/2019/09/15/autograd.html



更多阅读



#投 稿 通 道#

 让你的文字被更多人看到 



如何才能让更多的优质内容以更短路径到达读者群体,缩短读者寻找优质内容的成本呢?答案就是:你不认识的人。


总有一些你不认识的人,知道你想知道的东西。PaperWeekly 或许可以成为一座桥梁,促使不同背景、不同方向的学者和学术灵感相互碰撞,迸发出更多的可能性。 


PaperWeekly 鼓励高校实验室或个人,在我们的平台上分享各类优质内容,可以是最新论文解读,也可以是学术热点剖析科研心得竞赛经验讲解等。我们的目的只有一个,让知识真正流动起来。


📝 稿件基本要求:

• 文章确系个人原创作品,未曾在公开渠道发表,如为其他平台已发表或待发表的文章,请明确标注 

• 稿件建议以 markdown 格式撰写,文中配图以附件形式发送,要求图片清晰,无版权问题

• PaperWeekly 尊重原作者署名权,并将为每篇被采纳的原创首发稿件,提供业内具有竞争力稿酬,具体依据文章阅读量和文章质量阶梯制结算


📬 投稿通道:

• 投稿邮箱:[email protected] 

• 来稿请备注即时联系方式(微信),以便我们在稿件选用的第一时间联系作者

• 您也可以直接添加小编微信(pwbot02)快速投稿,备注:姓名-投稿


△长按添加PaperWeekly小编



🔍


现在,在「知乎」也能找到我们了

进入知乎首页搜索「PaperWeekly」

点击「关注」订阅我们的专栏吧


·


微信扫码关注该文公众号作者

戳这里提交新闻线索和高质量文章给我们。
相关阅读
深入学习贯彻党的二十大精神 建设忠诚干净担当的高素质专业化干部队伍——工业和信息化部召开部机关年轻干部座谈会CVPR 2022 | 量化网络的反向求导拟合方法加息对金融系统的影响机制——兼论中美货币政策机制的异同Potato salad加拿大制造业劳工短缺新泽西某高中致癌率居高不下 学生母亲深入调查后有了新结论……最深入人心的,是结构化表达二十大代表在基层 | 王文力深入七台河市勃利县农村宣讲党的二十大精神为高质量发展提供有力科技支撑——三论深入学习贯彻党的二十大精神深入生产线核心,解析智能制造新打法【附直播回放】深入浅出,解析ChatGPT背后的工作原理未来十年,我们需要什么样的自动驾驶芯片? |中国自动驾驶十人专访二十大代表在基层 | 王文力深入江河园区项目现场宣讲党的二十大精神南科大超导机理实验室诚招副研究员、助理研究员、研究助理教授、博士后及博士生若干名国务院联防联控机制:不再判定次密接,取消入境航班熔断机制习家军的形成那个讨账的承包商,摘下口罩、主动求「阳」丨氪金把代码贴进去自动找bug,这个debug神器自动修复仅需几秒,还有GPT-3在线解惑离谱!南开一本科生论文抄袭直博北大,本人回应:是论文辅导机构干的,已经报警……小马智行彭军:自动驾驶是一场长跑,要有耐力,也要有瞬时爆发力|中国自动驾驶十人专访从自动饮水机到自动猫砂盆,宠物智能产品是个好生意吗?【活动报名倒计时】芯片验证与电子测量自动化技术论坛(上海站)即将开启新州政府被指应对Delta疫情不足,保密要求导致决策延误!悉尼遭高传染性变种入侵,社区未及时得到支持!深入浅出: 如何做好系统性能评估?深入剖析 Spring Boot 的 SPI 机制【A-level课程详解】如何根据理想专业选择alevel课程!(内附心理学问题详解)轻舟智航创始人兼CEO于骞 :在自动驾驶寒冬中出生,在马拉松长跑中追赶|中国自动驾驶十人专访秋游河溪-16里溪,狮子头公园清华AIR张亚勤院士:自动驾驶决赛在2030|中国自动驾驶十人专访深入学习贯彻党的二十大精神 奋力谱写首都经济和信息化高质量发展新篇章三姓家奴,一脸阴沉, 到时候下手最狠的恐怕就是他深入中国泳队,这位美籍教练说了句大实话​坚持党对科技事业的全面领导——一论深入学习贯彻党的二十大精神售价3300美元的自动驾驶婴儿车:自动前行、智能制动,还带哄睡明选|评测标准详解、评测结果详解、草莓检测报告完整版
logo
联系我们隐私协议©2024 redian.news
Redian新闻
Redian.news刊载任何文章,不代表同意其说法或描述,仅为提供更多信息,也不构成任何建议。文章信息的合法性及真实性由其作者负责,与Redian.news及其运营公司无关。欢迎投稿,如发现稿件侵权,或作者不愿在本网发表文章,请版权拥有者通知本网处理。