用数学思维洞见生活，让你“心中有数”

我上大学时学的是自动控制专业。了解这个专业的人也许知道，自动控制专业的基础课程覆盖面很广，涉及很多学科，内容多而杂。一次和数学相关的基础课上的经历让我至今记忆犹新。上课铃声一响起，老师就认真地从头开始在黑板上推导一个公式。这个公式比较复杂，老师用了整整两节课的时间，推导过程写满了几个黑板；下课时，却发现最后的结论和书上的不一样。老师和我们说：“同学们别着急，下次上课我再给大家重新推导一遍。”

这一经历可能并不多见，但是一些大学生可能会有这种感受：拿到一本教科书，上面的每个公式都有密密麻麻、严谨的推导过程，一眼看上去令人生畏。为了看懂这个公式，你硬着头皮仔细研读每一步推导过程，然后自己拿笔试着推导好几遍，直到最终将公式推导出来才感到心安。你会想：“我已经把这个公式推导出来了，应该理解这个概念了。”

你的心里除了涌起受挫感，应该还会不时冒出一个个疑问：“这个公式到底有什么用？它能够帮助我解决生活中的什么问题？”最后你可能会冒出这样一个念头：“我真的理解这个概念吗？”

很可惜，在大多数的时候，我们都无法找到上面这些问题的答案。于是成功推导出公式除了能让我们通过考试，只给我们带来了“我应该理解了这个概念”的安慰。大部分人会一直带着这些未被解答的疑惑，在考完试之后迅速把这些数学公式忘得干干净净。

有的人认为，数学是数学，生活是生活。数学的概念只是那些书本上的公式，这些公式属于数学家们，和自己没有任何关系。就像朱自清在《荷塘月色》里写的那句话：“但热闹是它们的，我什么也没有。”

如果我告诉你，很多数学概念的背后都闪耀着智慧的光芒，这些智慧能帮我们更好地看清这个纷繁复杂的社会，并能够帮助我们在生活中做出更好的决策和行为，你相信吗？

也许你会质疑：“什么，数学公式还能帮我们解决生活问题？你不是在开玩笑吧。”

如果你有这种疑问，也许下面“最小二乘估计”“病态方程组”等案例，会让你改变对数学的看法。

通过最小二乘估计找到的解，不力求让少数方程完全成立，而是让所有方程左右两边的误差之和最小，它背后体现出来的思想，是做事情不追求绝对完美，而是在接受不完美的前提下权衡多方利益，找到最佳平衡点。这其实和孔子推崇的“中庸之道”，或者“执两用中”的智慧不谋而合。

又比如，在数学中，有“求导法”和“数值解法”这两种解法，它们实际上对应我们生活中解决问题的两种思路。用“求导法”来找到函数的极值，可以分为三步：（1）求导数，（2）令导数为零，（3）找到该方程的解。每一步都不能出错，最终才可以得到答案。这种模式对应一个成语：“步步为营”。它要求每一步都力求完美，把整个流程走完才能得到想要的结果。“数值解法”则对应另外一个成语：“精益求精”。它并不要求在每一步做到最优，而是迅速走完一轮，然后在本轮结果的基础上迭代，反复多轮，不断提高，最后也可以得到一个好结果。“精益求精”模式不仅与产品开发、项目管理中的“敏捷模型”相对应，也与互联网公司经常说的“小步快跑，快速迭代”相对应，意指“完成比完美更重要”。

又比如，在线性代数中，有一个概念叫作“病态方程组”，即一个线性方程组y=Ax中y和A的轻微变化会导致解x有极大变化。

但如果你仅仅知道病态方程组这个概念，就错过了这个概念背后的智慧：方程组中的每条直线，实际上代表一个视角，而直线的交点，就是从多个视角达成的共识。病态方程组这个例子告诉我们，如果多个人想通过交流的方式达成共识，了解某个事情背后的真相，那么这些人最好有不同的视角。一旦视角太接近，那么这些不同视角交叉得到的共识，会对噪声极为敏感。一点点噪声，都会对最后的结果产生极大的影响，这就是所谓的“失之毫厘，谬以千里”，也是“多样性红利”的数学解释。

在计算机科学中，有一个算法叫作“模拟退火算法”。模拟退火算法可以帮助我们通过逐步迭代，找到某一个函数的最优解。如果你只会简单地应用这个算法来解决函数的极值问题，就错过了这个算法背后闪耀的智慧。

在我看来，人生其实就是一个寻找最优解的过程，我们总是通过不断努力提升自己，在最后达到自己可能达到的最高位置。而模拟退火算法告诉我们，一个人在年轻的时候，应该让自己充分探索，接受暂时的不完美，从而避免陷入局部的最优值，并在将来攀上一个更高的山峰。而到了一定阶段，知道自己最适合什么以后，就应该在自己最适合的地方深耕，不要轻易切换赛道。所以，一个大学生毕业之后，应该去大城市闯一闯，多尝试一些行业，而不是老老实实在一个一眼能看到未来的岗位上待一辈子。

以上的几个例子，就是数学公式和算法背后的智慧。这些智慧能帮助我们更好地看清这个世界，并在你遇到问题的时候，给你提供更科学的视角，帮助你做出更好的决策和行为。

如果你是一名理工科的在校或已毕业的大学生，这本书一定适合你。尤其是计算机系、电子工程系和自动控制系的学生，看到你在书本上曾经学到、似曾相识的这些数学公式背后竟然包含那么深刻而智慧的道理，你就可以立刻理解它们。它们会成为烙印在你大脑里的思维方式，而不是只停留在书本上的数学公式。

如果你是一名从没接触过这些数学公式的文科生，这本书也同样适合你。通过这本书，你不再会被那些看似“劝退”的数学公式“吓倒”。你会透过这些公式和算法，直接理解它们背后闪耀的理性思维。作为一名文科生，如果你能掌握这些思维，它会立刻给你打开一扇新世界的窗户，在你困惑和迷惘时，从另外一个视角给你提供启发，让你看问题更加深刻，甚至可以改变你的人生观和做事态度。

例如，我们都被从小教育的世界观是“事在人为”。然而，有这种世界观的人虽然通常乐观而积极，却容易因现实中的挫折与打击而产生无力感。有的人的世界观则是另外一头的“宿命论”：一切都是确定的，一切都是最好的安排。然而，在我看来，正确的世界观，应该在这两者之间，叫作概率的世界观。概率的世界观的核心思想很简单：很多事情的最终结果是我们不能保证的，但是，这个结果发生的概率是我们可以靠努力改变的。 

最后，愿这本《心中有数》，能让你心中有数，帮你更好地看清这个世界。

刘雪峰

作者刘雪峰是北京航空航天大学计算机学院副教授、博士生导师，主要研究方向包括线性代数、信号处理、人工智能等。他不仅在学术上成果斐然，也是一位十分受欢迎的老师。

在本书中，他娓娓道来，用生活中的案例与数学公式/算法相结合，教读者们“如何用数学重新求证我们的人生”。

勤能补拙的大数定律、大道至简的稀疏概念、似是而非的条件独立、精益求精的数值解法、中庸之道的最小二乘法……数学公式和算法背后的智慧帮助我们更好地看清这个世界，并在你遇到问题时向你提供更科学的视角，帮助你作出更好的决策和行为。很多事情的最终结果是我们不能预见的，但是，这个结果发生的概率是我们可以靠努力达成的。

《心中有数》教你像电脑的处理器一样，快速、深层地剖析事物的“利与弊”，在接受不完美的前提下，通过数学思维权衡多方的利益，找到最佳的解题点。人生其实就是一个不断寻找最优解的过程，愿你“心中有数”，行之有方。

本书入选第十八届文津图书奖推荐图书（科普类），全书大小为32开，软壳平装，内页采用柔韧的本白轻型纸，排版优美、内容翔实，推荐给所有对数学思维这类主题感兴趣的读者。