来自宇宙深层的呐喊：数学为何能解释自然

撰文 | Peter Atkins

翻译 | 苏湛

很多自然律都可以用数学形式表达，包括那些内容原本和数学没什么关系的定律（例如被总结出来描述自然选择造成的演化的定律，不管这些定律最后会长成什么样），在用数学重新诠释后，都会获得更大的威力。最早考虑这个问题的科学家之一是颇具影响力的匈牙利数学家尤金·维格纳（Eugene Wigner, 1902-1995），他在1959年的一场题为“数学在自然科学中不可理喻的有效性”（点击蓝字阅读）的讲座中提出了这个问题。他以一种也许非常明智的谨小慎微的态度给出了如下结论：数学不可理喻的有效性是一个谜，这个谜过于深奥，是不可能通过人类的反思获得解决的。其他一些人进一步增强了这种普遍的绝望感，他们认为在目前的各种未解之谜中，这一个很可能会一直持续下去。

而另一种观点，相对于维格纳谨慎的悲观主义，另一种更加积极的看法认为，数学的有效性并非不可理喻，它不是在制造困惑，而是为探索宇宙的深层结构提供了一扇重要的窗户。数学可能是宇宙在努力使用我们共同的语言对我们说话。在本章的论述中，我会试着消除这种说法看似可能会——我但愿不会——染上的神秘主义色彩。自然律存在数学版本，这一事实也许指向一个关于组成现实世界的深层结构可能是什么的严肃问题，并让我们期待获得一个能带来丰厚回报的答案。也许它指向的是那个最深刻的问题，也是古往今来所有问题中最令人困惑和最引人入胜的问题：存在着的东西是怎样开始存在的。

不可否认，数学是一种格外有效和成功的与宇宙对话的语言。从最实用主义的层面说，我们可以用概括物理定律的方程预言出物理过程的数值结果，就像从摆长预言出单摆的周期那样。看看天文学家预言行星轨道、日食发生率，以及超级月亮出现的惊人能力吧。然后，从表述为数学形式的定律中还会突现出意想不到的推论，并被观测验证。这些例子中最著名的莫过于有人听完爱因斯坦广义相对论的内容，就预言了黑洞。还有一种说法，当然是讽刺性的，说的是如果一个实验观测无法被一个写成数学形式的理论所支持，它就不能被接受。世界经济在追求把自然律写成数学形式的风气影响下潮起潮落。各国工业产出中比例非常大的一部分现已归功于对量子力学及其数学形式的执行。

当然，在我们对宇宙的理解以及对它的物理化诠释中，有一些方面尚未被表示为数学形式。就在本书开始的部分以及刚刚顺带提到的几句话中，我把注意力投向了宇宙中影响最深远的理论之一，即用来解释演化现象的自然选择理论。从它并没有被表示成公式形式的意义上说，这一理论就其内在本质而言并不是数学性的，但它却仍然拥有巨大的效力，也许在宇宙中的不管什么地方，只要那里存在可以被认为是“生命”的东西，这项理论就能够适用。甚至不仅仅是新物种的突现，它还可以适用于整个新宇宙的突现。我们可以把这一理论表述为一种自然律，比如，赫伯特·斯宾塞的“适者生存”就是一种粗糙但不失犀利的近似。不过，一旦我们对这种理论做一点儿数学上的演绎，比如构建生物数量的动力学模型，就像我很快会再次提到的，这项理论的定性版本就会立刻获得深不可测的、定量化的丰富内涵——我这样说的意思是，它将能够做出定量化的预言。

生物学，就其整体而言，也许是数学博览会中一个不那么显眼的区域。直到1953年以前，这一人类知识分支在很大程度上还不过就是在大自然中走走看看而已，而就在1953年，沃森和克里克确定了DNA的结构，从而几乎一下把生物学变成了化学的一部分，也因此使它成为了物理科学的一员，并赋予了它这一身份所蕴含的全部威力。话虽如此，除了（回到DNA）包括编码定律在内的各种遗传定律以外，很难指出有什么具体的数学生物学定律。不过，要说明数学在生物学中的直接作用，倒是有好几个不同方面的候选案例。这些案例包括对有机会捕到猎物的捕食者数量的分析，以及在某种意义上与之相类似的设计捕鱼策略和采收策略的工作。还有各种各样的周期性现象，这也是生物体所典型具有的，回过头来审视一下我们自己，呼吸、心跳以及更慢一些的24小时生理周期，都会证实这一点，此类周期性振荡都可以用数学描述。同样地，各种数值差波动，比如一场流行病中感染者与未感染者人数差的波动，各种电位差波动——就像我们思考和行动时信号沿神经传递过程中出现的那种，还有鱼在横向袭来的波浪中为推动自己在水中前进而自动（甚至在头被砍掉以后）弯曲身体时产生的肌肉活动的波动，也是一种广泛存在于生物学各个方面，可以用数学来处理的研究对象。

超逸绝伦然而却悲剧性地倒在流言蜚语中的天才艾伦·图灵（Alan Turing, 1911-1954），也许是第一个给据传丑得难以置信的伊索（可能生活于公元前629-公元前565年，如果他真的存在过的话）讲述的美丽寓言拆台的人，他展示了如何用数学方法处理化学物质在各种形状的容器中扩散的扩散波，这一工作解释了动物毛皮上的图样是如何形成的，包括豹子的斑点、斑马的斑纹、长颈鹿的斑块以及蝴蝶翅膀上错综复杂的美丽纹理。就连大象的长鼻子也是通过化学物质按照各种方程及其解所表示的数学定律在整个大象早期胚胎中产生的扩散波而形成的。

社会学出现于18世纪晚期，是一种适用于人类群体研究的生物学的细化分支，尽管其时常用老鼠来建模。埃马纽埃尔-约瑟夫·西哀士（Emmanuel-Joseph Sieyès, 1748-1836）于1780年首创了这个词，不过直到19世纪晚期，这门学科才取得一些成果，并且直到20世纪，人们可以在计算机上用数值法来研究结构复杂的统计模型以后，才获得了其数学结构。尽管推动学科发展的早期动力是识别关于人类行为的定律，但这门学科所取得的最主要成就却是发展了用来分析——有时也用来预测——大量个体组成的群体的最可能行为或平均行为的统计方法。这种统计建模工作对于有效地运行和管理社会至关重要，但是除了统计学本身内在具有的定律（例如随机变量的钟形分布）以外，并没有任何基本定律从这些模型中突现出来，尽管人们非常渴望找到它们。

神学——研究在本性上就难以捉摸、不可理解的神灵的学问，搜寻柴郡猫神秘笑容工作的学术版本——倒是不需要数学。当然那些由高速运转的大脑创造的其他积极得多的东西，比如诗歌、艺术和文学，也不需要——尽管这些杰作引人入胜，有时是骇人听闻的幻想，为凡尘俗世增添了很多色彩。不过统计学是个例外，因为它能够帮助我们把马洛的作品从莎士比亚作品中区分出来。而音乐也许正好骑在边界线上，以它为切入点，我们或许可以进入一种美学科学，通过对和弦以及音符序列进行检验——有些观点认为它们与脑中可能存在的共振回路有关——或许能够证明，数学洞见在这种科学中的价值是不可估量的。

我现在得收缩一下这个解释的范围。尽管上面列举了这么多数学的各种不同应用，但就其本身而言，它们并不是定律。除了统计学追求的对数据的数值分析以外，以上每个案例（我想）的数学部分都包含有对某种模型的分析。这并不是自然界基本定律的内容，而是由一些隐藏在背后的基本物理定律以非常复杂的方式组合而成的表达式。它们甚至都算不上外在定律，而只是利用一大堆组织起来的外在定律去执行一项具体的工作。

从最简单和最明显的层面来看，数学之所以管用，是因为它提供了一种冷冰冰的、高度理性化的方法，来把一个方程的推论一一呈现出来，而这个方程实际上代表了一则用符号形式表达的定律。实际上，想从一个非数学陈述，如“适者生存”中，做出可信赖的预言，是不可能的，我们更不可能预言出若干元素最初的组合会导致在适当的时候演化出大象。相比之下，我们却可以从一个数学陈述中得到可信赖的预言，例如从如胡克定律，回复力正比于位移（方程F=-k_fx的文字表述）中：我们可以根据摆长准确预言出单摆的周期。

我听见你喊“混沌”。确实如此，某些系统的演化过程从表面上看是不可预测的，但在诠释这种不可预测性的时候却必须要谨慎。关于表现出混沌运动的系统，一个比较简单的例子是“双摆”，即在一个单摆的底部挂上另一个单摆，两个摆都按照胡克定律摆动。在这个例子中，这两个摆的运动方程都可以被解出来，并且只要确切知道两个摆被回拉时的初始角度，那么它们在未来任何时间的角度也就都能得到确切预言了。这里关键的一句话是“只要确切知道两个摆被回拉时的初始角度”，因为即使起始角度只存在一丁点儿无穷小的不精确，在后续运行中也会造成非常不一样的结果。混沌系统并不是一个在运行上无规则的系统：它是一个对起始条件高度敏感的系统，由此使得，对一切实践上的目的而言，它的后续运行状况是不可预测的。如果我们对初始位置有完全的了解（在不存在外部干扰作用，如摩擦和空气阻力的情况下），我们就能够得到完全可预测的运行方式。

这种固有的预言与观测无法在实践上匹配的特性，所造成的后果之一就是使科学中所谓实验可验证性的意义发生了转变。长期以来，人们一直认为，将预言与观测进行比较，并以失败为启发修正理论，这一程序是科学方法的柱石之一。但是现在我们看到，可靠的预言并不总是可能的，那么这块柱石是否已被侵蚀了呢？一点儿都没有。用模型模拟混沌现象的“全局”预测可以通过在不同起始条件下对系统进行测试而得到验证，而且说真的，“混沌”本身就具有某些可预测的特性，这些特性也都可以进行验证。我们不需要预言和验证双摆的精确轨迹就可以宣称，我们已经理解了这个系统，并验证了它的运行方式。自然律，就这个案例而言是一系列外部定律，即便在这个不可定量预测的系统中，也将得到验证。

人脑是由一系列比双摆这种力学上的琐碎问题复杂得多的过程串联起来的，因此几乎并不令人惊讶地，它的输出——一个动作或一个观点，甚至是一件艺术作品——无法并且很可能永远不会变成可以根据一个给定的输入——比如看一眼什么东西，或者听见一个从耳边飘过的短语——预测的。神学家将这种不可预测性称为“自由意志”。正如对双摆一样，只不过是在一个复杂得多的规模上，我们可以，就大脑中运行的各种过程的网络而言，宣称我们理解大脑是如何工作的——无论这个大脑是人工的还是天然的，即便我们从未能预言出它可能表达过的观点、写过的诗，或者发起过的大屠杀。因此从某种意义上说，“自由意志”的存在其实证实了我们理解大脑如何工作，正如混沌的存在证实了我们理解双摆如何工作。虽然这样希望可能有点儿过于贪心，但是就像对于简单系统而言，其混沌模式是可预测的一样，也许有一天，自由意志的模式也会被发现。也许，通过精神病学，它们已经被发现了，只是还没有以规范的形式被精确表述出来而已。

数学冰冷的理性特质可能就是它不可理喻的有效性的全部秘密。它的有效性也许并不那么不可理喻：这种有效性也许就在于它的推理过程，以及它作为理性典范的地位。数学之所以管用，其理由可能就是简单，因为它强调程序的系统性：以模型的提出为起点，设置几个关于它属性的方程，然后用久经考验的数学演绎工具使推论一一呈现。这可能就是全部。但有没有可能还有更多的呢？

有某些其他的迹象，暗示世界可能在更深层次的意义上是数学的。我此处的出发点是德国数学家利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker, 1823-1891）说过的一句话，他说：“上帝创造了整数，所有其余的数则是人创造的。”因此数学全部的美妙成就，就是施加在实体——整数——上的一些操作，这些操作把数字变成了人们最初并没有打算让它们成为的样子——一开始他们其实就是想平淡无奇、循规蹈矩地数个数而已。但整数又是从哪儿冒出来的呢？——如果我们不考虑“上帝的慷慨赐予”这个过于简单的答案的话。

整数可能是从绝对的一无所有中冒出来的。生成它们的程序属于数学中那个半死不活的、被称为“集合论”的领域，也就是那门处理事物的集合，但却不太注意，或者根本就不注意处理的事物是什么的理论。

如果你没有任何东西，那么你就拥有了叫作“空集”的东西，标记为{Ø}。我将把它规定为0。假设你有了一个包含空集合的集合，记为{{Ø}}。现在你手里就有点儿什么了，我把这点儿什么称为1。可能你能看出下面会发生什么。接着你还可以拥有一个不仅包括空集，还包括包括空集的集合的集合。把这个集合记作{{Ø}，{{Ø}}}，因为它有两个成员，所以我称它为2。现在你可能看得出来，3就是{{Ø}、{{Ø}}、{{Ø}、{{Ø}}}}，包含了空集、包含空集的集合，以及既包含空集又包含包含空集的集合的集合。我就不拿4来烦你了，更不用说那些更复杂的数，因为这个程序到现在为止应该已经很清楚了。它所实现的，当然，就是从绝对的一无所有（空集）中生出整数。一旦你有了整数，然后再逼着它们跳各种圈儿，就像克罗内克说的，你最后就会得到数学。

现在，这一过程很明显可以与宇宙从绝对的一无所有中突现出来的过程相类比，其中“无”在某种程度上就对应着空集，{Ø}。但这可能仅仅是一个引人入胜的类比，而与宇宙，无论它是不是数学的，从“无”中突现的过程没有丝毫关系。就算是这样吧，那么还是那句话，这个类比还是可能代表着一种深刻的洞见，关于这里看上去到底有多像是有点儿什么，以及数学作为一种用来描述和阐释这些什么的语言，为什么会如此成功的洞见。

我可以看到，伴随着这个类比会产生几个问题。这些问题包括我们缺乏相应的规则，来解释整数是如何被连接到那些我们称它们是“数学的”结构上的。还有，仅仅列出一张整数的清单，很难说值得使用“宇宙”这个名字来命名。此处的答案，可能就隐藏在那些被提出来作为算术学基础的公理中。其中就包括意大利数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano，1858-1932）提出的几条著名公理。一旦你拥有了算术，你就拥有了很多其他东西，因为有一条被归功于德国人利奥波德·勒文海姆（Leopold Löwenheim，1878-1957）和挪威人索尔夫·斯科伦（Thoralf Skolem，1887-1963）的著名定理，这条定理暗示，任何公理系统都与算术系统等价。

因此，比如你有一个建立在一组断言（公理）之上的包含全部自然律的理论，那么它在逻辑上等价于算术，并且任何关于算术的陈述对它也适用。因此一个过于大胆的推测可能是，一些与皮亚诺公理中提出的逻辑关系相类似的逻辑关系，偶然与那个从一无所有中突现出来的我们称之为宇宙的实体发生了关系，并给予了后者稳定性。很显然，我正盲人瞎马地试图在这里寻找意义，但是要想获得任何对上述视角的可信赖的诠释，如果有朝一日能够出现这样的诠释的话，还是必须等理解和阐释我们宇宙根源的工作取得深入进展以后才行。就目前而言，这些想法不过是异想天开。

当然，有一个大问题是，我们说宇宙是数学的，这是什么意思？如果一切仅仅是算术，那么我正触摸着的东西是什么？如果那仅仅是代数，那么我透过我的窗户看到的又是什么？我的意识仅仅是由一堆在公理音乐的伴奏下翩翩起舞的整数协作而成的吗？因果性难道类似于，或者实际就是写出定理证明的过程吗？

随便触碰个什么东西。我们是在某种意义上触碰√2或者甚至是圆周率π本身吗？也许我能帮你看到，你是在这么做。如果我们把触摸这个动作的神经生理学方面，也就是当我们与外部物体发生联系时在我们身体内部发生的过程先放在一边（我知道你可能会说：“但这就是触碰的全部意义，我们的头脑对它产生的响应！”且少安毋躁），那么触碰归根结蒂就是被触碰者相对于触碰者的不可入性。不可入性是一块空间区域产生的某种排斥作用，这下我们就能理解将“触碰”的感觉传递到大脑或传入神经反射回路的信号是从哪儿起源的了，正是这个信号让我们把手缩回来，以避免可能的危险或触碰的下一步结果——受伤。

一个物体对另一个物体的排斥作用是从一条非常重要的原理中生长出来的，这条原理由奥地利出生的理论物理学家沃尔夫冈·泡利（Wolfgang Pauli，1900-1958，又是一位英年早逝的天才）于1925年提出，并于1940年推广为普遍原则，从而为他赢得了1945年的诺贝尔物理学奖。这是一条量子力学的固有原理，它涉及电子（以及某些其他基本粒子）的数学描述，断言了当人们把两个电子的名称相互交换时，这种描述必须如何发生改变。这条原理的推论是，两个原子的电子云不能相混：一个原子会被排斥在另一个原子占据的区域之外。这样，触摸就从一条自然界的基本原理中突现出来了。虽然我承认，这种解释触碰的视角仍然没有完全触及“触碰在数学上意味着什么”这个问题的核心，但我希望你能同意，这是向那个目标迈出的一步。

听觉是触觉的一种形式。在本案例中，关键受体位于耳朵内部，与它发生接触的是凝聚为压力波的空气分子以及它们对鼓膜产生的冲击。这台探测器会把对上述接触的探测结果传递到大脑中一个不同的区域，这也就是为什么我们会把听觉当成是与触觉截然不同的另一种感觉；但从根本上说，它不是。视觉也是一种触觉，只不过它是一种更微妙、更隐蔽的触觉。在这个案例中，接触发生在视网膜视杆细胞和视锥细胞中的光学受体分子间。这些受体分子被嵌在一个像杯子一样的蛋白质基座中，一旦光线中的光子刺激到它，它就会变成另一种不同的形状。此时——又是因为接触——蛋白质基座无法继续容纳这些受体分子，受体分子就会跳出来，从而使蛋白质微微变形，触发一个传向大脑中又一处不同区域的脉冲信号，这个脉冲信号会在大脑的这个区域中被诠释为视觉图像的一部分。嗅觉和味觉同样是触觉的不同方面——这一次（目前人们是这样想的，尽管机制尚存争议），接触受体的是被吸入鼻子的或落在舌头上的分子，它们触发的信号被送往的是大脑的又一个不同的部分。所有的感觉最终都是触觉，而所有的触觉都是描述世界数学本性的泡利原理的表现。

我必须承认，正如我已经承认了一半的，这种说感觉是数学中的一个小结论的表现的解释不大可能令人信服，我也并不敢追问输送给黑暗神秘的大脑的触发信号以及大脑将感觉转化为意识的途径具体都是些什么。在我们真正了解物质的深层本性之前，这类说法怎么能令人信服呢？尽管如此，我希望，它至少是一种暗示，说明我们最终会与整数以及由它们叠床架屋地组织成的现实建立起紧密的联系。

还有最后一件重要的事，可能事关生死。哥德尔定理站在哪一边？哥德尔定理是生于奥地利的同名数学家库尔特·哥德尔（Kurt Gödel, 1908-1978）1931年在一篇非同凡响的杰作中证明的。从本质上说，这条定理断言了一组公理的自洽性不能在这组公理内得到证明。如果自然律是数学的，那么这难道意味着它们可能不自洽吗？我对它们的解释注定是要系统性失败的吗？如果宇宙是一个巨大的数学模型，会不会它同样不是自洽的？它有没有可能在自身不一致性的重压下崩溃？

有几条逃生通道可以让我们逃离这一境遇。哥德尔的证明建立在一个特定的算术形式体系上，就是我在注释4中具体介绍过的那种版本的算术形式体系。假使你扔掉这些陈述中的某一条，比如关于乘法是什么意思的那条，那么这就从下面敲掉了哥德尔证明的一条腿，它就不成立了。没有“×”的算术看起来似乎有点儿怪，但也许可以像我在第八章提到的那种版本的算术那样，让2×3的得数与3×2的得数不一样，而它仍然被证明是理解物理世界的关键。从算术中拿掉乘法，哥德尔就被困在沉舟里，只能坐看身边千帆竞过了，而算术也就变成了完备的。谁知道呢，如果更进一步，让2+3不取和3+2一样的值，又会导致何种景象。反正最重要的是，尽管有哥德尔定理在，但哥德尔建立他证明的条件是否可以适用于物理世界（唯一的世界）还远远没有被搞清楚，因此悲观主义是没有依据的，自然律可能自洽得很好，这是有办法验证的——可以证明是这样的，宇宙中并没有隐藏着什么可以——在一瞬之间——灾难性地扩散，并把我们和世界上的一切都完全抹杀，化为一缕遗忘，回归于我们当初从中冒出来的绝对的“无”的逻辑断层线。而且，很有可能，只有全局一致的自然律才是可行的，宇宙很可能是一个逻辑上非常紧密的结构，不允许任何的不一致或不连贯以及与之相匹配的算术类型。

还有一些与此有关的议题。有些人怀有一种悲观的看法，认为如果未来有一天我们真的发现了一种关于每件事的理论，一种宇宙性的、包罗万象的母理论——不仅仅是所有内在定律之母，而是所有定律之母，那么其后果也不会太美妙，因为这将暗示着，人类到了应该挂起他的计算尺，怀着对每件事的内在定律和外在定律的完全理解，躺在前人已经做过的工作上睡大觉的时候了——尽管如此，也许总还是会留下点儿什么可以让我们做的。例如，我们可能会发现，每件事都存在两种或两种以上同样成功的描述，我们无法在它们之间做出选择。我们已经遇到了一点儿这样的可能性，因为正像我在第八章中解释过的，单独按照位置术语，或单独按照动量术语，都可以写出一个关于世界的描述。这二者中不存在一种“更好”的描述。也许还有无数看似不可调和，然而同样有效的对世界的描述等着我们去发现，无数组相互自洽却又看上去风马牛不相及的自然律的组合。

当我们发现了所有自然律的时候，我们会知道我们已经把它们都发现了吗？对于一套特定的自然理论，即便对它进行实验验证，无论从技术上还是从原则上，都超过了我们的能力，我们也还是能够知道它是有效的吗？

对于所有假定会被发现的定律，我们是应该谨慎地放开我们对严格的实验验证标准的坚持呢，还是应该时刻保持警惕，去等待出现违背我们定律的现象，即便我们确信这样的现象根本不会发生？在这些知识的前沿领域，我们将会需要永远不眠不休、不知疲倦、时刻保持警醒的机器人来充当大自然的检验员。我们是否应该接受这样一种观点（就像某些当代基础理论所暗示的；我脑子里面想的是弦论）：我们对我们的理论有信心到即便无法测试它们，也还是应该把它们当作真理来接受的程度吗？我们对自然律的渐进式探索，会不会正是使我们迈向过度自信的致命一步呢？

无论未来会怎样，知道这样一个事实总是好的，即就我们所能看到的来说，宇宙是个讲理的地方，甚至它所遵从的定律的起源，也在人类理解力范围之内。尽管如此，我是多么渴望用那令人为之气结的景象代替创世时“没什么太多”的事发生的论断呀，不是“没什么太多”，而是压根儿就没有。

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