肥尾效应：不出局，别旁观

文：姚斌

来源：在苍茫中传灯（ID：chuandeng169）

纳西姆·塔勒布在他的《黑天鹅》中已经告诉我们，必须仔细处理好未来，因为未来将带来相比于我们从过去的知识中收集到的更频繁 ( 或更具影响力 ) 的尾部事件。塔勒布也曾在《肥尾效应》中指出我们应该如何在一个不确定性结构过于复杂的现实世界中生活。然而，这部鸿篇巨制并不容易阅读，而徐鸿鹄先生的《统计信仰》则可以做为补充和解读。

正如徐鸿鹄先生指出的，在很多迥异的学科领域，如宏大的政治学、流行病学、行为经济学、量化金融学和历史研究中，肥尾分布常常显现出令人惊艳的强大解释力。并且，肥尾还能够解释为什么我们对未来的预测总是以失败告终。其原因在于，即使过去的数据显示出更多的确定性规律，未来的数据由于决策的分化也必然会以更肥的分布表现呈现。

■ 不被重视的幂律

自从经济学家维尔弗雷多·帕累托发现了个人收入的统计分布规律中的80/20法则、语言学家乔治·齐普夫发现了常用词汇只占词汇总量的很少一部分，我们知道他们的发现本质上可以归属为同一个分布族——幂律分布族。幂律分布与高度动态、复杂的系统有关。其后，美国《连线》杂志的总编辑克里斯·安德森将幂律分布表达为长尾理论。

统计物理学家习惯地把服从幂律分布的现象称为“无标度现象”。也就是，系统中个体的尺度相差悬殊，缺乏一个优选的规模。这就非常接近分形的几何直觉。分形几何学是由伯努瓦·曼德布罗特首创的。分形对象是由它们自身的很多缩小了的复制品组成的，所以它们在细节方面是自我重复的。分形对象可以是自然的产物，如树木、云彩和海岸线等。比如，一个树枝或一颗花菜看起来就如同一颗缩小了的树木或花菜。大自然“无处不分形”。这种无标度现象频繁地出现在有生命、有进化、有竞争的地方。

然而，由于历史的原因，幂律分布长期游离在统计学主流观点的视野之外，不被重视。问题在于幂律分布有点“先天残疾”。在幂律分布中，很难提取充分统计量来描述分布自身，因此也很难提出有价值的信息。在幂律分布的世界，抽样公布、区间估计、显著性检验、假设检验等一系列传统的统计推断理论都式微了。因为有尾部呈现的帕累托分布几乎永远都保持着“偏态”的特点，我们永远不能说“不可能”。或许只有当我们拥有永恒的生命时，才能看到真正的高斯分布图形，但我们可能终其一生都等不到。

不平等现象经常在经济学中被提及，如帕累托分布很早就被提出用来描述家庭收入分配。基尼系数是经济不平等性最著名的衡量之一。这一指标被广泛的使用，甚至滥用，被拿来描述世界各地财富分配和集中度。在收入的经验分布中，肥尾是普遍存在的，但奇怪的是，人们却很少在肥尾的观点下使用基尼系数。估计基尼系数的标准方法是非参数的，在肥尾条件下，非参数估计量容易向下偏。当数据具有无限方差的特征时，非参数基尼系数的极限分布缺失了正态性和对称性，变得倾斜并向更肥的尾部移动。

在法国巴黎一条街的墙上标记着1910年大洪水时的最高水位，这一历史记录也许会在将来的某一天被打破，也许不会。似乎只有傻瓜才相信，他亲眼见过的最长的河流和最高的山就是世界上最长的河流和最高的山，这种用过去的极值 ( 最大值或最小值 ) 预测未来的极值的做法，被称为“卢克莱修谬论”。海堤的设计者并不关心平均波高，他们关心的是百年一遇的风暴可能会有多强。对极端问题思考的痴迷，使得我们的视线继续收紧，更加专注极端行为。

■ 必须基于肥尾认知

极端的事件往往是偶发的，出现的概率很小。人的寿命是有限的，我们关心的是根据现有有限的经验是否可以做出有意义的决策。没有人喜欢无限的观察。因此，大多数社会科学家仅了解来自薄尾（正态分布）领域的统计知识，在缺少海量数据的前提下就贸然进行肥尾计算，所以很多关键计算的结果都被严重低估了。实际上，极端的数值贡献了最大的信息量，因此理论上仅凭一次对极端情况的有效观察，就可以大幅修正此前的结论。但要想证明“不存在极端的情况”很难，只能不断获得大量的数据并期望不会出现任何一次预期之外的极端情况。

在潜在的肥尾事件面前，不一定需要更多的证据。额外的 ( 通常是不精确的 ) 观察，尤其是大量来自中心区域的观察，通常不能保证获得重要的知识，因此等待是徒劳的。极端事件是罕见的，但当它出现时，干预往往为时已晚。然而，在系安全带之前等待事故发生，或者在购买保险之前寻找会发生火灾的证据，又都会使其被自然地淘汰。如果有一场龙卷风正在袭来，就会有这样的说法：我们还没有看到这场龙卷风，也许它不会像其他龙卷风一样具有破坏力。这显然是忽视了风险管理。在这种情况下，应该采取预防措施，而不应置之不理，期待奇迹或怨天尤人。

几乎每种证券产品的价格波动都是肥尾的。纳西姆·塔勒布通过对4万种证券对象的观察发现，没有任何一种证券产品的价格波动是薄尾的。因此，广泛采用的贝塔系数、夏普比率等概念都将失效。这是金融学乃至经济学研究失败的最大根源。期权定价公式的本意是指可以通过一种叫做动态对冲的方法将期权变成一种无风险工具。然而，事实上，费希尔·布莱克、迈伦·斯科尔斯和罗伯特·默顿三人所做的只是找到一种方法，使一个优美的公式更适合当时的经济学体系。为了打扮这个公式并使其堪用，他们不得不为模型引入一系列奇怪而牵强的假设，其中就包括需要薄尾分布或温和随机性的某种数学结构，它不是基于肥尾认知的。

在大多数情况下，动态对冲制造的风险比它们减少的风险更多，而遍历性和破产问题就变得突出了。如果你不知疲倦地玩俄罗斯轮盘，那么你不会随着经验和技巧的提升获得更高的预期收益，并成为俄罗斯轮盘赌世界冠军。事实恰恰相反，你将面对一件更加确定和可怕的事情：死亡。这就像人们常说的百年一遇的灾难，但百年一遇的灾难却年年都发生一样。也许这并非人们夸大其词，有可能百年一遇是针对一个一百个地点而定的，平均每年都有一个地方遭遇百年一遇的灾难；也有可能是你的运气太差，灾难在不同百年内的发生呈泊松分布 ( 泊松分布描述某段时间内事件具体的发生概率 ) ，而的确在某个百年连续发生；也有可能某个灾害，如洪水，由于气候变化发生得越来越频繁；也有可能每年你都遭遇不同的百年一遇的灾害，一百年有一百种。

■ 非遍历的人类系统

大多数系统是遍历的，然而几乎每一个人类系统都是非遍历的。在非遍历的环境下，意外惊喜总会出现，因此期望收益在客观上没有任何意义。遍历性是自然科学中的一个关键假设，它是指通过重复实验或长期观察相同的现象，我们可以了解自然规律，我们所需要的是足够的观察。经济是异常脆弱的，我们生活在一种过度优化的环境中。在这种环境中，销售额的轻微下降或消费者偏好的改变都可能导致经营者发生连锁性的崩溃。这种非线性类似于“大电影院在发生火灾时只有一个非常小的出口可用”，非线性是脆弱的源泉。

在非线性的世界中，了解有关遍历性的知识至关重要，保险公司对于遍历性的风险早已烂熟于心。保险公司懂得不能将幼稚的商学院成本效益分析应用在存在遍历性的俄罗斯轮盘赌局中，因为你死了就什么都做不了了。这个死亡事件被看作一个吸收壁。吸收壁意味着当你到达一个点时，就不能继续下去了，一切都结束了。但不幸的是，这种误用在科学决策文献中仍然比比皆是。如果你忽视了遍历性的影响，就会产生毁灭的风险。如果你不想死亡或破产，了解遍历性至关重要。

概率世界里最优的生存解恰恰是反概率的。生活是关于回报本身的，而不是有关概率和预测的。在肥尾的现实生活中，出于以下原因，概率非常难以理解：（a）我们不会直接观察到概率分布，观察到的是实例；（b）概率分布不能告诉我们某个实例是否属于这个分布；（c）需要用尾部极端的事例来排除不大可能的分布，去伪存真。在肥尾中充满了不对称性的风险和机会。更容易直接观察到的是凹凸性，即风险和回报的关系。如果你拥有有利的不对称性，即凸性，那么从长期来看，你会受益于此，在不确定性环境的表现将优于平均数。不确定性越强，选择的作用越大。肥尾不会使世界变得更复杂，也不会使人们产生无谓的担忧。发自内心真正理解肥尾观点，实际上会降低我们作出反应的成本。

墨菲定律告诉我们，如果事情有变坏的可能，不管这种可能性有多小，它总会发生。实际上，墨菲定律有两层含义：（a）很多突发状况都可以与它之前发生的任何事情没有任何因果之间的必然联系。那些独立的随机事件是无法被预测的，它们毫无规律可言。极端事件发生的概率大于零；（b）即便我们可能一次又一次地远离极端事件 ( 不论好坏 ) ，但随着时间的推移，不断重复地暴露这样的事件中，这个事件就一定会发生。只要时间足够长，该发生的事件就会发生，哪怕它是极端事件。

假设全世界的河流平均发生大洪水的间隔是一百年，即所谓的百年一遇，但你却发现同一条河流发生百年一遇的大洪水，三年内你就遇到了两次。这不是统计学算错了，而是与遍历性有关。同样的，如果你不知疲倦地玩俄罗斯轮盘，那么你不会随着经验和技巧的提升获得更高的预期收益，并成为俄罗斯轮盘赌世界冠军。事实恰恰相反，你将面对一件更加确定和可怕的事情：死亡。证明以前的原则不会导致破产，但你却无法确保以后一定不会破产。

■ 应该去做两件事

对毁灭性的问题而言，随着时间的推移，尾部事件会导致某种终极的毁灭。即便人们很可能在一次这样的事件中幸存下来，但随着时间的推移，不断重复地暴露在这样的事件中，幸存下来的概率最终为零。这就是一个非遍历的环境。在非遍历环境中，期望收益的概念没有任何意义。我们往往被教育并且认为，大多数系统是遍历性的。然而，几乎每个人类系统都是非遍历性的。如果你不想死亡或破产，那么了解遍历性至关重要。

由此，就可以正式地定义“遍历性”了。考察一个固定地点的时间轨迹，如一个赌徒30天的表现，这是一个“时间概率”；考察一个固定时间的空间轨迹，如30个赌徒的平均表现，这是一个“集合概念”。如果两个概率的值是一致的，时间和集合的不同视角并不影响最终的结论，我们就称为存在遍历性。

本质上，如果你在赌场里输光了所有的钱（ 时间概率 ），那么别人也在输钱（集合概率）并不能给你带来任何好处，但人们却常以此来安慰自己，并时常乐观地想象，当别人赢钱的时候自己也该赢钱。但是，这些虚妄的想法都是建立在非遍历性之上的。一个人在年富力强的时候开始赚钱并投资，当然花钱的地方不少，最后资不抵债，变得一穷二白最终破产，这就是时间的力量。然而，在集合 ( 空间 ) 的角度上，别人的破产并不会带来自己的破产。

这就是为什么在现实生活中谈论“如果你在1999年购买了亚马逊的股票并持有20年，你就是人生赢家”这种马后炮的例子是极度愚蠢的。尽管1999年亚马逊的股票价格暴跌了90%并处于低位，但在1999年买了许多亚马逊股票的人可能同一时间买了许多其他股票。或者，这个人在2001年觉得亚马逊没什么前途，早早地就卖掉了所有股票。这些在时间轴上的可能决策都被“马后炮学家”们忽视了。

假设一对夫妇他们在63岁（即1965年）时存下了300万美元的积蓄。为此他们制定了一个养老计划：每年从积蓄中拿出一定的钱，并使这些钱维持到95岁。他们预计财富投资年均回报率是8%，以此支持每年18万美元的消费，并计划每年增加3%的金额用于支付利息。按照这一计划，他们的总财富将在75岁（即1977年）达到峰值：350万美元。此后，他们的总财富将一直递减，直到95岁。然而，这个结果却是悲剧性的，他们在79岁（即1981年）的时候就破产了。即便他们能够预测未来，知道从1966年到1997年的这段时间里道琼斯指数的平均回报率为8%，他们也不一定能如愿以偿地安度晚年。如果把时间线展开，就会发现从1966年到1982年基本上没有回报，道琼斯指数基本没有变化；从1983年到1997年，道琼斯指数才以每年超过15%的速度增长，从1000点上升到8000点。市场回报的波动非常大，这里没有遍历性，于是稳定期望收益的梦想破灭了。

误解遍历性将会犯下严重的错误。美国长期资本管理公司成立于1994年。它最初的运营是极其成功的，前三年的回报率分别是21%、 43%、 41%。但在1998年，它在不到4个月的时间里就亏损了46亿美元。其问题之一就在于，他们只用了5年的财务数据来建立数学模型，从而大大低估了一场严重的经济危机的风险。虽然20年一遇的事件不太可能在5年的数据中出现，但谁能百分之百确信第6年不会发生呢？

这种逻辑普遍存在于大多数人对自己企业的看法中。如果策划了一个产品，开发成本为1000美元，这个产品有1%的机会得到100万美元的收益，那么这个产品的预期价值将会是10000美元，即10倍的投资回报。然而，当你一次又一次地不断追求这一策略时，等待你的最终结果只有一个：申请破产。遍历性灾难是如何普遍，以至于固定的策略总会招致毁灭。对此一个自然的想法是，将遍历的风险分散开。你可以把自己划分成一个部分能够独立承受失败而不拖累其他部分好的表现的集合，从而使自己更加遍历。坏事不会同时到来，但可以保证总有好事会发生。

鉴于此，我们必须观察我们面对的世界是否存在遍历性。世界的运行往往需要遵循一定的模式来产生极端事件。在极端事件发生之前，我们可以进行充分的准备，其中至关重要的一点就是寻找在减少能够快速传播的乘性效应方面有大量回报的廉价措施，如为了应对流感佩戴口罩，进行检测，并通过隔离措施控制人员的流动性。正如一代又一代的商人流传下来的箴言：如果你必须恐慌，那么早恐慌就是值得的。在极端风险面前，审慎原则的明智运用在于制定既有先见之明又有后见之明的决策。那么，我们应该去做两件事：（a）不出局。活着比什么都强，而且得活得长。（b）别旁观。必须参与其中，为未来下注。