1840年左右在三一学院举行的“三足凳”考试现场。图片转引自（Warwick 2003，p.124）
在涉及18-19世纪英国科学与教育的读物中，经常会看到Tripos和Wrangler这两个单词。前者源自tripod，指具有三个支撑点的桌、凳、鼎等物，后者则指争辩者；而在一两百年前的英国大学，特别是19世纪的剑桥大学，它们专指一种特别的数学荣誉考试及其“优胜者”。有人认为，19世纪下半叶英国在数学物理方面的突飞猛进，在一定程度上与这种考试制度有关（Andrew Warwick, Masters of Theory: Cambridge and the Rise of Mathematical Physics, Chicago: University of Chicago Press, 2003）。其实何止数学物理，同时期英国在数理逻辑、代数、几何以及数学分析领域的伟大成就，很多都出自这一考试的“优胜者”。
Tripos Exam起源于18世纪初年，本来是英国某些大学考核人文教育成绩的一种手段，监考的教师（Moderator）会安排特定的一至数名对手（Opponents）提出刁钻的问题，考生（Respondent）则要用拉丁语应答。据说早期考生要坐在特制的三足凳上，故以“三足凳”名之（还有一个说法：在17世纪的毕业典礼上，由一位早年的优等毕业生[senior BA]坐在三足凳上朗读诙谐的诗句，这些诗句就被称为Tripos verses，而印在诗句背面的毕业生名单就被说成是Tripos list）。但是不久“三足凳”考试就扩充到数学与自然科学学科，特别是在剑桥大学，考核的重点不再是学子们引经据典展开口头辩论的能力，而代之以书面形式的数学答卷。本文涉及的“三足凳”考试，一般指19世纪在剑桥大学风行的数学荣誉考试。
导致剑桥本科生数学荣誉考试发生转变的人为因素有三个：一是巴贝奇（Charles Babbage,1792-1871）、皮考克（George Peacock,1791-1858）、赫歇耳（John F.W.Herschel,1792-1871）等人倡导的剑桥分析学派的兴起，二是惠威尔（William Whewell,1794-1866）推动的大学教育改革，三是阿尔伯特（Prince Albert,1819-1861）亲王出任大学校长期间的一些举措。三个因素之间亦不无关联。
英国是微积分的发源地之一，然而整个18世纪英国人都沉浸在牛顿的耀眼光环之中，而对欧洲大陆的数学进展表现出一种充耳不闻的倨傲态度；与此同时，数学中的伟大创造已经由欧陆国家的众多天才们完成了。1812年，剑桥大学几位年轻的大学生发起成立了分析学会，向固步自封的传统提出挑战，呼吁人们正视欧陆特别是德、法、瑞（士）等国数学家在分析领域取得的巨大成就（斯特洛伊克著、关娴译，《数学简史》，北京：科学出版社，1956年，148页）。学会成员在1813年出版的论文集，标榜以“纯d-主义原理对抗•（点）时代”（pure d-ism against dot-age），从符号到方法都沿用莱布尼兹体系。在追述历史的一篇文章中，他们宣称微积分“最先是由费马发现，而牛顿使其完美并给予解析表述，莱布尼兹则以强有力的普适符号极大地丰富了这门科学”。当时正逢“拿破仑战争”（1803—1815）时期，一般英国人视法国为仇敌，巴贝奇却以高价购得一本法国数学家拉克鲁阿（Sylvestre François Lacroix,1765-1843）的标准微积分教科书，皮考克与赫歇尔很快将它翻译成英文，并于1816年出版（李文林,“剑桥分析学派”，《科学、技术与辩证法》，1985年，第1期，34-46页）。
圣约翰学院的赫歇耳与三一学院的皮考克是同一届本科生，他们参加了1813年的“三足凳”考试并分获第一、第二名。那时候，“三足凳”考试的“优胜者”若干年后可能成为新一届考试的主考官，多年后皮考克已成为剑桥大学讲师，1817年由他负责“三足凳”考试的命题，利用这个机会推广莱布尼兹的符号，引起守旧派人士的激烈反弹。1819年皮考克再度主持“三足凳”考试，在微积分试题中仍旧采用更便捷的欧陆符号。惠威尔（William Whewell,1794-1866)是皮考克在三一学院的后辈，参加1816年“三足凳”考试同样获得第二名的优异成绩。1820年惠威尔继任主考官，在命题中沿袭皮考克使用莱布尼兹符号的做法，从此以后牛顿的流数记法不再出现在“三足凳”考试中。
惠威尔在数学上的贡献不算突出，但他是一个兴趣广泛的学者与高产作家，又有极好的人脉和社会活动能力，1841年被选为三一学院院长，任上支持剑桥大学的教学改革，使数学成为衡量本科生智力水平的最高标准，是强化“三足凳”考试的有力推手。有一段时间，三一学院在数学“三足凳”考试中不及格的本科生，即使其他考试通过了也不能获得学位。
阿尔伯特亲王是维多利亚女王的夫君，婚前是德国萨克森－科堡－哥达公国的王子，受过良好的教育，被人誉为“行走的百科全书”。由于“外国人”的身份，他不能在外交、军事等重大国务方面发展，因而一心一意辅佐女王，热心赞助支持科学、艺术、文化与教育事业。1847年，阿尔伯特在一场激烈竞争后当选为剑桥大学校长。利用这一职位，他成功地推动了剑桥大学课程的改革，特别是加强了数学与自然科学在本科教育中的比重，在其主持通过的改革方案中，将电学、磁学、热学、流体力学等内容增加到“三足凳”考试范围之内。阿尔伯特亲王42岁英年早逝，然而他对英国科学与教育的贡献至今为人乐道。“三足凳”考试最为高光的日子，几乎就是维多利亚时代女王治下的时代（1837-1901）。1910年以后这一活动逐渐式微，今日剑桥大学数学研究中心仍有“三足凳”考试（参看Guide to the Mathematical Tripos, Faculty of Mathematics, University of Cambridge, 链接：http://www.maths.cam.ac.uk/undergrad/documentation/triposguide/text.pdf），但性质与重要性已不复当年光景。考试的内容与方式早期的“三足凳”考试是在大学评议厅（Senate House）举行的，从1824年开始，交由考试委员会决定，考试成绩居列前茅的几个老大学院相继承担有关业务并提供考场。考试通常在5月份举行，那是剑桥最好的季节，阳光明媚，遍地花香，学子们却要穿上笨重的学袍（gown）进入考场。图1是1840年左右在三一学院大厅内进行考试的场景：考场气氛紧张肃穆，身穿学袍的考生们坐在隔开的长桌两边，几个监考官在通道上来回巡视，回廊上有一些获得允许进入的观看者，似乎还残留了一点早年旁观考生口头辩论的遗风。
图1. 1840年左右在三一学院举行的“三足凳”考试现场图片转引自（Warwick 2003，p.124）“三足凳”考试的特点是难度大、题目多、时间长。以麦克斯韦（James Clerk Maxwell,1831-1879）参加过的1854年为例，试卷多达16张纸，共有211道题，前后要考8天，总计44.5小时。笔者无法找到麦克斯韦当年的试题，不过19世纪中后期的考试内容与形式大同小异，特别是基础数学方面，只是随着自然科学的进展一些新的科学内容不断被增加进来。
图2是1874年剑桥大学《学生指南》中有关“三足凳”考试内容的说明，整个考试历时9天，分为I、II两个阶段：前者为所有学位申请者必须；后者则针对那些特别对数学和物理有兴趣的学生。前三天为第一阶段（Stage I），考试内容包括欧几里得（几何学）、算术与初等代数、三角与圆锥曲线、基础静力学、基础动力学、牛顿《原理》卷1前三章、基础流体静力学、基础光学、基础天文学。第四天是第二阶段（Stage II）中相对容易的一些问题，余下的五天则分别考试不同的专业科目，具体来说：II.1包括代数、微分方程、三角学（含球面三角）、静力学、流体静力学、方程论、质点动力学、解析几何（含立体）、刚体动力学、有限差分、光学、微分与积分运算、球面天文学；II.2包括高等代数与方程理论、高等微分方程、高等有限差分、变分法、椭圆积分、概率论（包括观测值的组合）、高等解析几何；II.3包括牛顿《原理》卷1第4和第6章、拉普拉斯系数法、引力、月球与行星运动理论、地球形状、高等动力学、岁差与章动；II.4包括流体力学、弦与杆的震动、声学、弹性体连续运动理论、波与潮汐；II.5包括傅里叶级数与傅里叶积分、热学、电学、磁学。
后来两个阶段开始分开进行，学生可以仅选Stage I或两者都考。一般是在本科第四年的春夏季学期（Easter term）（剑桥大学每个学年分成三个学期：10月初-12月初为第一学期Michaelmas term，1月上旬-3月中为第二学期Lent term，4月下旬-6月中为第三学期Easter term）进行，少数成绩优异的学生有资格在第二年就申请参加Stage I的考试，但是很少有人敢冒这个险。原因是许多内容远远超出一般低年级本科生的程度。以1890年左右Part I的考试内容为例，考生要在5月中旬的连续4天里做完7份卷子，包括纯几何，牛顿 I（欧几里得，圆锥曲线，《原理》卷1第1章）、代数和三角、解析几何、微积分运算、泰勒级数、极大值与极小值、曲线、曲面、静力学、动力学、牛顿 II-III(《原理》卷1第2-3章)、光学与天文学（不含球面三角）、流体力学、电学、热学。经过11天休息后，通过了Stage I的学生有资格参加6月初的Stage II考试，也是连续4天，试卷的名称很古怪，通常是“自然哲学”、“纯粹数学”或“问题”之类，内容则包括方程论、傅里叶级数、变分法、一阶偏微分方程、椭圆函数、流体静力学、流体动力学、质点动力学、球面天文学。
今日看来，这种繁重的考试对青年学子是一种巨大的精神折磨，即使天纵英才也不会从中感到乐趣。麦克斯韦在参加“三足凳”考试的前两年（1852年11月）写过一首诙谐的小诗，虽然未必是指准备考试也不一定是讲他自己，从中可以看出当时学生们的压力。青年麦克斯韦的小诗侈译如下：
(原文是：Late to bed and early rising/Ever luxury despising/Ever training/never‘sizing’/I have sufferred with the rest/Yellow cheek and forehead ruddy/Memory are of effects ofstudy/Of a subject of unblest. 转引自L.Campbell and W.Garnett, The Life of James Clerk Maxwell, Lodon: Macmillan and Co.,1882,p.613. ‘sizings’是19世纪剑桥学子的行话，特指学院餐厅中额外的加菜，这里译作“犒赏”。 感谢傅晓青博士代为润饰译诗）
除了智力上的准备之外，考生们还需要有充沛的体力与饱满的精神应付挑战，为此剑桥的大多数本科生都从事长跑、登山、划船、板球、游泳或其他竞技类运动。
考试的结果按照得分多少分成四个等级：通过第一等级的考生称为Wranglers，也就是“优胜者”，其中头名称为Senior Wrangler，第二名称为Second Wrangler，第三名称为Third Wrangler，是为三甲，借用中国古代科举考试的功名本文译作状元（SW）、榜眼（2W）和探花（3W）；后面的“优胜者”依次排列，每一届考试中的“优胜者”大约在15名左右。第二等级称为Senior Optimes，相当于“优等合格”。第三等级称为Junior Optimes，相当于“合格”，这一等级的最后一名有个诙谐的称号Wooden Spoon，直译为“木勺”，实际上带有幸运儿的意思。以上都算通过了“三足凳”数学荣誉考试。成绩在“木勺”以下的考生为第四等，称为Pollmen，带有“陪跑”的意思，也就说未能获得荣誉。“优胜者”的名单与事迹会出现在《泰晤士报》等大报上，特别是荣登榜首的数学状元一两天内就成为家喻户晓的英雄。Wrangler称号也意味着很多机会，一般会被自己的学院或其他学院接受为研究员（fellow），免费食宿之外还有一定的酬金，其中的许多人日后成为数学或物理学教授，也有些人当了法官、律师、牧师或医生。Senior Wrangler更是“学术至尊”（academic supremacy）的同义词，如同大神一样受人崇拜。历届考试具体得分的分布情况从未公开，但是参考19世纪60年代的一次考试，有人披露如下的数据：所有卷面加起来的总分约为17000，当年状元的分数是7634，榜眼的分数是4123，最后一名Wrangler的分数约为1500，最低的通过者即“木勺”的分数为237。总共400多名考试者中，约有100人获得荣誉（即通过了考试），未能通过考试的“陪跑”者有300多人（这一数据来自高尔顿《遗传的天赋》[Francis Galton, Hereditary Genius: An Enquiry into its Laws and Consequences, 1869]，书中援引了1860年代的三组数据但没有指示具体年份。以上是第一组；第二组是：状元5500-6000分，榜眼5000-5500分，“木勺”309分；第三组是：状元9422分，榜眼5642分。转引自D.O.Forfar, What became of the Senior Wrangler? Mathematical Spectrum,Vol.29, No.1, 1996.）。一年一度公布“三足凳”考试成绩是剑桥大学的一桩盛典，考生们（以及他们的亲朋或导师）早早来到位于市中心的大学评议厅，身穿学袍头戴学帽的主考官站在二层回廊上，按照得分高低依次宣读荣誉获得者的名字及分数，每念一个人的名字及其得分都会引起一片欢呼。那些获得前几名的“优胜者”被当作英雄一般被朋友们抬着游行，穿过剑桥古老的街巷返回学院。图3是一幅描绘1905年在评议厅宣布考试结果的速写，主考官站在回廊的中央，由两位考试委员会的教师陪同，身边簇拥的妇女很可能是考生们的母亲和女友，也可能是看热闹的女学生。场景定格在主考官唱名结束后向下面的考生抛撒印有名次传单的瞬间。
图3 1905年在评议厅宣布考试结果的场景。转引自（Warwick 2003，p.204）
有时候，大学领导也会亲莅发榜仪式，并在唱名结束后接见位列前茅的“优胜者”。图4是一幅表现1842年大学副校长（剑桥大学校长通常由王室成员或高级贵族担任，副校长[Vice Chanceler]是实际负责的最高行政领导）接见“三足凳”考试“优胜者”的场景。当年的状元是三一学院的凯莱（Arthur Cayley,1821-1895），后来成为维多利亚时代英国首屈一指的数学家，画面中的他正屈身向前，将要行单膝下跪礼接受副校长的祝福，站在左侧脱帽致敬的是将他引见给副校长的三一学院院长，最右端那个手握纸卷的人是凯莱的辅导教师霍普金斯（William Hopkins,1793-1866），此公后文还要专门介绍。
图4. 凯莱接受副校长的祝福
转引自（Warwick 2003，p.207）
每年的考试也成为那些老牌学院较力的战场，按照1748年至1909年间获得状元和榜眼的人数，成绩最好的是牛顿的母校（院）三一学院，共有56个状元和62个榜眼；其次是它的邻居圣约翰学院，出了54个状元和38个榜眼；排第三的冈维尔-凯斯学院有14名状元和13名榜眼（这是一个粗略的估计，加上第三名以后“优胜者”的结果应该不会有大的变化；此外有些年份存在并列第一或第二名的的情况，还有个别考生具有两个学院的身份，凡此全都计入每个相关学院名下。数据来源 http://en.wikipedia.org/wiki/Senio_Wrangler）。
下面是19世纪一些著名的状元、参加考试的年份、所属学院，以及他们的主要贡献。
约翰·赫歇尔（1813 SW/St John's）（括号中斜杠隔开的是参加考试的年份、名次与所属学院，“优胜者”人名首见时则在其英文姓氏及生卒年后，以下同）：出生于一个著名的天文学家庭，本身也是天文学家，精通天文摄影，对数学、化学、植物学也有研究。他的《天文学概要》（Outlines of Astronomy, 1851 ed.）在清末被李善兰（1810-1882）、伟烈亚力（Alexander Wylie,1815-1887）译成中文，名为《谈天》（1859年刊刻），作者名则译为“侯矢勒”。他为《大英百科全书》第8卷所写的“气象”条目也被译成中文，中文书名为《测候丛谈》（1877年刊刻）。
艾里（George Biddell Airy,1801-1892/1823 SW/Trinity）：天文学家，主要工作包括改进金星和月球运动理论，利用深井测量地球平均密度，解决固体力学中的二维问题。曾担任皇家天文台台长，经过他坚持不懈的努力，国际上确立将经过格林尼治的经线定为本初子午线。
斯托克斯（George Gabriel Stokes,1819-1903/1841 SW/Pembroke）：研究领域涵盖光学、弹性力学、流体动力学、化学分析和工程力学，提出微积分中的“斯托克斯定理”，体现了向量场在环上线积分与其封闭区域內面积分的联系。 
图5.（左） J.赫歇耳 图6.（右）斯托克斯
凯莱（1842 SW/Trinity）：19世纪英国纯粹数学的代表，一生发表900余篇论文，涉及领域包括线性代数和矩阵理论、矢量和张量分析、椭圆函数、群论、非欧几何和高维几何；又与西尔维斯特一道创立代数型的理论，奠定了关于代数不变量理论的基础，被人并称为“不变量的孪生子”。亚当斯（John Couch Adams,1819-1892/1843 SW/St John's)：与法国天文学家勒维耶（Joseph Le Verrier, 1811-1877）共享发现海王星的荣誉，研究月球轨道，对1866年11月狮子座流星雨作了准确预言。托德亨特（Isaac Todhunter, 1820-1884/1848 SW/St John's）：写有大量数学教科书与数学史专著，包括《变分运算史》（History of the Calculus of Variations,1861)、《数学概率论的历史：从帕斯卡到拉普拉斯》（A History of the Mathematical Theory of Probability from the Time of Pascal to that of Laplace,1865）、《地球引力及形状的研究史：从牛顿到拉普拉斯》（History of the Mathematical Theories of Attraction and Figure of the Earth from Newton to Laplace,1873）等。泰特（Peter Guthrie Tait,1831-1901/1852 SW/Peterhouse）：推广四元数，研究热力学和气体动力学，提出拓扑学中有关结（knots）理论的泰特猜想，与威廉·汤姆森合作撰写《自然哲学论》（Treatise on Natural Philosophy），突出“几何本身就是运动科学的一部分”，力图以能量为中心阐述物理学的所有分支。这是一个雄心勃勃的计划，曾被人称作19世纪的《自然哲学的数学原理》（因为两位作者姓的首母都是T，被麦克斯韦称为T&T1纲领）。不过该计划从未完成，只在1867年出版了第一卷。斯特拉特（John Strutt,1842-1919/1865 SW/Trinity）：即瑞利勋爵（Lord Rayleigh），研究领域涉及光学、流体力学、声学，提出光的散射理论、描述固体中的横向波、空气动力学的升力循环理论、黑体辐射理论等；1904年因对重要气体密度的研究以及发现氩气荣获诺贝尔物理学奖。拉莫（Joseph Larmor, 1857-1942/1880 SW/St John's)：在电学、热力学和物质的电子理论方面都有卓越贡献，计算加速电子的能量辐射速率，解释了电子振荡在磁场中分裂谱线的原因，所著《以太与物质》（Aether and Matter,1900）是19、20世纪之交最重要的理论物理著作，尽管坚持绝对时空与以太观念，书中得出近似于洛伦兹变换的结果。
图7.（左）凯莱 图8.（右）斯特拉特（瑞利勋爵）
以下是一些著名榜眼的情况。
皮考克（1813 2W/Trinity）：主要贡献在代数与逻辑领域，所著8卷本《代数论》（A Treatise on Algebra,1830），试图将欧几里得式的演绎结构赋予符号代数，可以说是抽象代数的嚆矢。
惠威尔（1816 2W/Trinity）：涉猎领域包括数学、物理、神学、天文、地质、古典学、语言学、经济学、诗歌、哲学与科学史。他也是高产的科学作家、科学组织者和众多新词的创造者（或提倡者），如“科学家”（scientist）、“物理学家”（physicist）、“归纳科学”（inductive sciences）、“假设－演绎”（hypothesis-deduction）等。他的著作早在清末就被传入中国，其《基础力学》（Elementary Treatise on Mechanics,5th ed.1836)由李善兰、艾约瑟（Joseph Edkins,1823-1905）合作译成中文，是为中国第一本介绍西方近代力学知识的著作，书名《重学》（1859年刊刻），作者名则译作“胡威立”。他的《归纳科学的历史》（History of the Inductive Sciences,1837）是第一部综合性的科学史著作,20世纪上半叶也被介绍到中国，作者名则被译成“休厄尔”、“华惠尔”等。
西尔维斯特（James Joseph Sylvester, 1814-1897/1837 2W/St John's）：在矩阵论、不变量理论、数论、几何与组合学领域都做出了重要贡献，是“矩阵”（matrix） 、“图”（graph）、“判别式” (discriminant)等术语的发明者。尽管由于健康原因中断了两年学习，依然获得“三足凳”考试的好成绩，只是由于犹太身份且不肯改宗未能获得剑桥大学的学位，以后相继在美国和牛津任教。
威廉•汤姆生（William Thomson,1824-1907/1845 2W/Peterhouse）：即开尔文勋爵（Lord Kelvin），在电学的数学分析、热力学第一定律和第二定律、地球物理等方面都有建树，提出液体在毛细管内蒸汽压力的开尔文方程、开尔文波（与厄尔尼诺现象有关）、绝对温标等，发明开尔文电桥，领导建设横跨大西洋的海底电缆工程。
图9.（左）惠威尔 图10.（右）W.汤姆生（开尔文勋爵）麦克斯韦（James Clerk Maxwell,1831-1879/1854 2W/Peterhouse/Trinity）：从事电磁学、分子物理学、力学、光学、天文学等方面的研究，是经典电动力学的创始人和统计力学的奠基人之一。在前人（特别是法拉第）工作的基础上，借助微分方程建立的电磁场理论将电、磁、光统一起来，1873年出版的《论电和磁》（A Treatise on Electricity and Magnetism）被尊为继牛顿《原理》之后又一部具有里程碑意义的物理学经典。克利福德（William Kingdon Cliffod,1845-1879/1867 2W/Trinity）：推广了复数和四元数概念，引进复四元数，创建克利福德代数，研究双曲复数、椭圆函数、射影几何与非欧几何。他在《物质的空间理论》（On the Space Theory of Matter,1870）中，指出物质和能量可表现为不同类型空间的曲率，堪称广义相对论的先驱。乔治•达尔文（George Darwin,1845-1912/1868 2W/Trinity）：生物学家查尔斯达尔文的二儿子，主要研究涉及日、月、地的关系和潮汐，提出月球形成的裂变理论。 约瑟夫•汤姆生（Joseph John Thomson,1856-1940/1880 2W/Trinity）：著名的实验物理学家，研究阴极射线、放射性和同位素，发明质谱法，发现电子并测量其质核比，提出原子结构的葡萄干布丁模型，1906年诺贝尔物理学奖获得者。
位列探花的名人可以威廉·亨利·布拉格（William Henry Bragg,1862-1942/1884 3W/Trinity）为代表，他是现代固体物理学的奠基人之一，因为在应用X射线衍射研究晶体原子和分子结构方面的开创性贡献，与儿子威廉·劳伦斯·布拉格（William Lawrence Bragg,1890-1971）分享1915年诺贝尔物理学奖。另一个鼎鼎大名的人物是现代数理统计学的先驱皮尔逊（Karl Pearson,1857-1936/1879 3W/King's），他引入“标准离差”和“皮尔逊相关系数”，建立极大似然法，发明χ2分布，倡导统计决策，是伦敦生物统计学派的领袖。他对气象学、社会学、优生学与科学哲学也都有所涉猎。皮尔逊关于科学的有关论述，早在上个世纪初就被《科学》杂志的同仁们介绍到中国，1923年的“科玄论战”中也被科学派大将引用。所著《科学规范》（The Grammar of Science,1892）在上世纪30-40年代有两个中译本，作者名被译为“皮耳生”。
图13.（左）W.H.布拉格 图14.（右）皮尔逊深受中世纪修道院文化影响，剑桥大学一直排斥女性，连尊贵的女访客都需经过院长特批方能进入学院。直到17世纪，有些学院还有不准雇佣55岁以下女仆的规定。1801年英国首次人口普查，显示剑桥大学的女性仅占男性的百分之一，而这少数女人可能是院长或大学高层人士的女眷而非学生和教师。
1869年，几位女权主义的先驱在赫特福德郡创办了一所女子学院，四年后该学院迁入剑桥镇北面不远的格顿（Girton）村，正式命名为格顿学院。两年后，第二所女子学院纽纳姆（Newnham）在小镇中心出现。由于地处大学中心区，毗邻几所古老的学院，因此比远在郊外的格顿遭到更多的非议。建院不久就有人抱怨，纽纳姆的女生不穿紧身胸衣在镇上闲逛。学院本有三座大门，为了减少非议，向东通往银街的两道门一直锁着，直到19世纪最后几年才准许女生通行，而唯一开着的那道南门，要通过一片草场绕行很远才能到达镇中心。同时，大学图书馆、装备精良的实验室和多数讲座都不对女生开放，校级奖励和奖学金也将女生排除在外。
在是否承认格顿与纽纳姆为大学成员的争论中，大学、学院和整个小镇都被卷了进来。即使它们最终都被大学接纳，相当长的一段时间里还是没有学位授予权。理由非常荒唐：女子不适宜从事学术活动，也无力与男人们竞争。在这种环境中，女性参加“三足凳”考试非常困难。
经过持续不断的努力，出于检验女子学院教学水平的初衷，三名来自格顿的女生获准参加1873年的“三足凳”考试，其中分数最高的莎拉·伍德黑德 (Sarah Woodhead,1851-1912)在第一部分名列前茅，最终的成绩相当于“优等合格”（Senior Optime）。这三位参加考试的女生被后来的校友誉为“格顿先驱”（Girton Pioneers）。
不久格顿又出了一位引人注目的学生夏洛特·斯科特（Charlotte Angas Scott,1858-1931），学院导师本想请当时著名的私人教师对她进行专门辅导，后者以学生太多婉言谢绝了。1880年，斯科特获准参加“三足凳”考试，总分排在“优胜者”第八位。由于事先就有女生不计名次的规定，她的成绩被说成介于“第七名与第八名之间”，但是不能参加揭榜仪式。在评议厅里，当主考官宣布完第七名得主之后，场内齐声高呼“格顿，斯科特”。当晚格顿学院为斯科特举行了隆重的庆祝晚宴，在场师生高唱亨德尔《犹大•马加比》中的“得胜英雄归来”，有人朗诵了专门为她写的赞美诗，还有人为她戴上桂冠。在此事件之后，女生被允许正式参加“三足凳”考试，并列出她们的考试成绩，然而还是与男生分开，因此不计入总的排名。获得足够分数的女生被授予特别证书，但不是荣誉学士学位（BA degree with honours）。
尽管获得凯莱这样的大数学家的垂青，斯科特仍旧被那些保守的老学院漠视，她在格顿学院担任数学讲师直到1884年。大约同时，她通过伦敦大学的对外考试获得硕士与博士学位。1885年斯科特移居美国，成为费城附近布林莫尔（Bryn Mawr）女子学院数学系主任，主要从事高维代数曲线研究，1906年被选为美国数学会副会长。另一位在“三足凳”考试中获得高分的女生是纽纳姆学院的菲利帕·福西特（Philippa Garrett Fawcett,1868-1948），她父亲亨利（Henry Fawcett,1833-1884）是剑桥大学政治经济学教授，曾在1856年“三足凳”考试中获得第七名的好成绩，母亲米莉森特（Millicent Fawcett,1847-1929）是纽纳姆学院创建人之一。夫妻两人都是活跃的进步知识分子，支持妇女运动和工人权益。菲利帕是他们的独生女儿，自幼聪慧，接受了良好的家庭、大学教育及名师的私人辅导。菲利帕•福西特参加了1890年的“三足凳”考试，得到高出第二名13%的惊人成绩。（直到1948年，剑桥大学才正式承认女性的学位具有与男性完全平等的地位。本节内容参考了Rita McWilliams-Tullberg, Women at Cambridge, A Men’s University—Though of a Mixed Type, London: Victor Gollancz, 1975.）
图15.（左）斯科特 图16.（右）福西特
布朗（G.F.Browne）是当年考试委员会秘书，6月6日也就是宣布成绩前一天的晚上，主考官鲍尔（W.W.Rouse Ball,1850-1925/1874 2W/Trinity）突然来访，说要同他讨论一个涉及女性考生的意外情况，忐忑不安的布朗问道：“莫不是哪个女孩子得了‘木勺’？（Do you mean one of them is the Wooden Spoon?”“不，是另一个极端。（No, it’s the other end!）”原来女生菲利帕·福西特拔得头筹，鲍尔是来跟他商量明天唱名时如何处理这一棘手问题的，因为男女生成绩分列的规定仍然有效。商量的结果是，主考官在宣布女生成绩时，说明菲利帕·福西特的分数高于本届状元（Above the Senior Wrangler），但是她依然没有正式获得这一头衔（那一年的状元是圣约翰学院的本内特[Geoffrey Thomas Bennett,1868-1943]，毕业后在伊曼纽尔[Emmanuel]学院担任讲师，喜欢音乐、体操和自行车运动，弹得一手好钢琴，数学上没有什么贡献）。翌日清晨，有关不寻常事情即将发生的消息让剑桥人兴奋起来了，纽纳姆的姑娘们集体前往评议院，福西特年迈的祖父和她的表兄妹们也驾着马车从60英里外的萨福克赶过来。当鲍尔按照议定程序说出Above the Senior Wrangler之后，全场的男女学生一道欢呼，并反复喊叫“再读一遍福西特小姐”。回到纽纳姆学院之后，所有能找到的钟和锣都响了起来，有人还在曲棍球场点燃了篝火。（Stephen Siklos, Philippa Fawcett and the Mathematical Tripos, Cambridge: Newnham College,1990.）福西特的事迹极大地鼓舞了19世纪末英国的女权运动。成绩公布的第二天，《每日电讯报》在报道中宣称：“面对难以置信和多少有些冷酷的世界，女人再一次示出她的卓越......现在，最后一条战壕已被亚马逊战士攻陷，整个学问的城堡在纽纳姆和格顿的胜利大军面前不设防地洞开。不再有任何女生不能涉足的知识领域。”毕业后福西特在纽纳姆学院担任数学讲师，同时也从事流体力学的研究。由于无法在英国的一流大学找到合适位置，1902年英布战争结束后前往南非教书，在约翰内斯堡等地培养数学教师。1905年回国后在伦敦郡议会负责教育工作。从2020年开始，剑桥大学数学研究中心推出一个“菲利帕·福西特实习计划”（Philippa Fawcett Internship Programme）的暑期项目，每年资助若干名二年级或以上学历（含硕士）的女生，与当代第一流的数学家交流，体验数学研究的魅力。在现代实验室与研究中心云集的剑桥西区，有一条小道也被冠以菲利帕·福西特的名字。要想在“三足凳”考试中获得“优胜者”的成绩，候选人通常要接受一种特别的数学训练，指导他们的不是大学里的正规讲师或教授，而是专门以此为生的私人教练（Coach）。多数“教练”对当时的基础数学和物理有全面了解，熟知考试制度和往年的题型，有的人甚至就是昔日的“三足凳”状元，也有些人则是职业的“小镇做题家”。每一位“教练”都有自己的讲义和训练计划，授课通常在自己家里。19世纪初年，私人数学辅导开始在剑桥兴起，其中影响较大的一位是赖特（J.M.F.Wright）。关于他的生平经历人们所知不多，1814年他在剑桥大学注册，但是第二年才正式入学，写过一本回忆自己在剑桥生活的书，内中提到当时多数获得学院研究员资格的“三足凳”优胜者，都热衷于为私人提供有偿辅导，无论是在学期中还是假期里，为此学校还制定了一个收费标准，尽管实际上学生需要付出更多（J.M.F.Wright,Alma Mater, or Seven Years at the University of Cambridge, London: Black, Young and Young,1827,Vol.1, p.171.）。赖特还出版了许多自学（self-instruction）与自考（self-examination）教材，内容涉及纯算术、欧几里得几何与牛顿《原理》，主要针对“三足凳”考试的初级部分内容。1830年他开始编辑出版周刊《私人教师与剑桥数学题文库》（The Private Tutor and Cambrdge Mathematical Repository）,副标题是“数学各分支论述与释例一览，附有随笔、问题、答案及其他读者的来稿”，每期都会推出一些新的数学难题，答案则在下一期公布。这份民间周刊每周六出版，持续了一年多时间。威廉·霍普金斯（William Hopkins,1793-1866）是首位以学生在“三足凳”考试中的优异成绩而出名的“教练”，为此赢得“状元制造者”(Senior Wrangler maker)的绰号。他没有显贵的出身，30岁左右才进入剑桥大学彼得豪斯学院，在1827年的“三足凳”考试中位列“优胜者”第七。由于年纪较大并且已婚，未能在学院获得位置，于是决定以私人教师为业，专门指导那些希望通过“三足凳”考试的本科生。他的学费收入大约每年为700-800英镑，这是一笔不错的报酬（作为比较，福尔摩斯系列侦探小说《恐怖谷》中的知名数学家也是犯罪集团头目莫里亚蒂的教授年薪是700英镑。小说虽然发表于1914年，写的却是1875年前后的故事，比霍普金斯当“教练”的时间仅晚三十年左右，但币值应该更低一些）。除了针对“三足凳”考试的各种数学讲义之外，霍普金斯正式出版的书是《三角学原本》（Elements of Trigonometry,1833）。他对地质学也有浓厚的兴趣，曾对地壳运动、地球结构以及气候变化作过数学分析。经霍普金斯训练的学生中约有200人成为“优胜者”，其中有17位状元，包括斯托克斯、凯莱、托德亨特、泰特、饶思（Edward John Routh,1831-1907/1854 SW/Peterhouse）等；经他训练的榜眼和探花共有27人，榜眼中有威廉•汤姆生与麦克斯韦这两个重量级物理学家（霍普金斯的慧眼识珠可由他对本科生麦克斯韦的评价看出来，认为麦克斯韦“无疑是我全部经历中所见过的最为出萃拔类的人”[he is unquestionably the most extraodinary man I have met with, in the whole range of my experience]，转引自L. Campbell and W. Garnett, The Life of James Clerk Maxwell, Cambridge:Cambridge University Press,2010.）。有人统计了1828-1849这22年的“三足凳”考试成绩，发现获得前10名的“优胜者”中将近一半是霍普金斯的学生，获得前3名的比例为67%，而夺得头魁的比例为77%，“状元制造者”的头衔当之无愧（Andrew Warwick, Masters of Theory: Cambridge and the Rise of Mathematical Physics, Chicago: University of Chicago Press, 2003, pp.80-85.）。优生学的创始人高尔顿（Francis Galton,1822-1911）1840年考入剑桥大学三一学院，虽然因病中断学业，但是也接受过霍普金斯的训练。高尔顿对霍普金斯称赞有加，说他“讲述与各种不同问题相关的有趣故事，但绝不掉书袋；语速从容，举止优雅，滔滔不绝地把学生们从枯燥的数学主题彻底引入形而上的境地。我以前从未享受过如此美妙的课程。”（转引自Karl Pearson, The Life, Letters and Labours of Francis Galton, Cambridge: Cambridge University Press, 1914, p.163.）图17.赖特《私人教师与剑桥数学题文库》
1850年以后，尽管还在授徒，霍普金斯的高光时代已经过去，新的一代“教练”在剑桥涌现，他们几乎都在“三足凳”考试中获得了优异成绩，例如弗罗斯特（Percival Frost,1817-1898/1839 2W/St John's）、帕金森（Stephen Parkinson,1823-1889/1845 SW/St John's）、托德亨特、贝赞特（William Henry Besant,1828-1917/1850 SW/Corpus Christi）、斯蒂尔（William John Steele,?-1855/1852 2W/Peterhouse），以及饶思等。弗罗斯特与斯蒂尔是当年的榜眼，其他四位都是状元。看起来，相当长的一段时间里，“教练”是剑桥优秀数学毕业生的一个不错职业选择。饶思是霍普金斯当之无愧的接班人，在19世纪中叶“三足凳”考试的全盛期担任“教练”。他早年在伦敦大学大学学院学习时，受到德•摩根（Augustus De Morgan,1806-1871/1827 4W/Trinity）的影响而投身数学，来到剑桥彼得豪斯学院时已完成了学士与硕士阶段的课程，又经过霍普金斯的特别训练，夺得1854年的“三足凳”状元。毕业后，饶思先在彼得豪斯学院当助教，同一学院的斯蒂尔于1855年英年早逝，饶思接管了他的全部学生成为一名“教练”。第二年他的首名弟子克拉克（Charles Clarke）成为“三足凳”考试的探花，1858年他的另外两个弟子斯莱瑟（George Slesser）和史密斯（Charles Smith）分获状元与榜眼，1862年的10名“优胜者”中有7人出于其门下，由此饶思坐定了头牌“教练”交椅。从1855至1888年，饶思一共培训了600多名学生，他们被称为“饶思人”（Routh’s Men），他的“教练”生涯中共培养了133名成绩位列前10的“优胜者”，其中有28个状元。有人还做过这样的统计：1862-1888年间的990名“优胜者”中，48%出于饶思门下，其中有26个状元（这26人中又有6人当了“教练”）；1865-1888年的所有三甲“优胜者”中，80%是饶思的学生。皇家天文台台长、1823年的“三足凳”状元艾里曾想罗致饶思到格林尼治工作，结果没有成功却搭上自家的千金。1864年，饶思与艾里的大女儿希尔达（Hilda,1840-1916）喜结良缘。作为剑桥大学最古老的学院，彼得豪斯的章程本来有独身的要求，饶思是第一个获得破例结婚而不解除驻院研究员资格的人（Andrew Warwick, Masters of Theory: Cambridge and the Rise of Mathematical Physics, Chicago: University of Chicago Press, 2003, pp.229-240. 剑桥大学的历史可以追溯到1209年牛津师生与市民的暴力冲突，一些避难的牛津学者栖身于这里的不同寺院，尽管1231年就获得国王的特许，但剑桥大学的师生一直居无定所，直到1284年该地区的伊里大教堂主教在彼得教堂旁设立“彼得屋”[Peterhouse]收容学者，剑桥才有了第一所学院。彼得豪斯的章程照搬牛津的默顿学院，有很强的神学院色彩）。关于他的“教练”风格与为人，《英国名人传记辞典》称：饶思的教学是认真尽职而系统规划的，白天按照严格的进度为10来个学生讲授，晚上则为最能干的弟子准备额外的材料。他的课堂总是被一些深沉而隽永的数学笑话所激活。饶思为人友善，能够很快了解学生的特点，与陌生人交往时则显得害羞和矜持（Routh, Edward John. Dictionary of National Biography (online ed.),Oxford: Oxford University Press,1885-1890.）。皮尔逊的回忆则更生动而具体，谈到自己头一次遇到饶思时的印象，说他满身粉笔末，没穿外套，衬衫袖子卷起，手上拿着海绵和抹布。针对皮尔逊的个人情况，饶思每天早晨7点给他开小灶，脱离“三足凳”考试的初等内容而直接从弹性理论开始。皮尔逊写道：“这里没有死记硬背，也没有满堂灌的讲授。他绝不照搬学究式的考试内容，而鼓励我独立地钻研。我想饶思真的对我有影响，正如我对他也有影响一样。我在剑桥大学期间曾数次受邀到他家做客，之后在不多的几次访问母校时我都会同他在酒吧见面。若干年后则是轮到我的孩子们，他们同样受到饶思夫人（饶思已去世）在家中的款待。”（Karl Pearson, Old Tripos Days at Cambridge, as Seen from Another Viewpoint, Mathematical Gazette, 20[237], 1936,pp.28-29.）约瑟夫·汤姆生回忆道：“饶思有规律的生活总是令人惊异的”，尽管学生众多日程饱满，只要不是雨雪天，人们总能看见他沿着纵贯剑桥镇的Trumpington大街散步，走到固定的地点再返回，不多不少两个小时（J.J.Thomson, Recollections and Reflections, London: G.Bell and Sons Ltd.,1936,pp.40-41.）。饶思也为近代力学的数学化做出了贡献，他的著作《刚体系统的动力学》（Dynamics of a System of Rigid Bodies,1860），对于威廉·汤姆生与泰特的T&T1纲领也有一定的影响， 德国著名数学家克莱因（Felix Klein,1849-1925）还安排出版了此书的德文译本。饶思提出的“缺位坐标”（absent coordinates）概念，以及所谓的“饶思稳定性标准”（Routh stability criterion），蕴含着某些涉及现代控制理论的重要思想。
1888年饶思退休后，他的弟子韦布（Robert Rumsey Webb,1850 -1936/1872 SW/St John's）成为最成功的数学“教练”。韦布本人是1872年的“三足凳”考试状元，从1865到1909年这44年间，经他指导而获得前10名的“优胜者”多达百人，这个成绩仅次于他自己当年的“教练”饶思。学生们评价他的课妙语连珠，充满了幽默与新鲜感，同时他也热切期望学生获得成功，为此又严厉得令人生畏。
19世纪晚期剑桥出名的数学“教练”还有霍布森（Ernest Hobson,1856-1933/1878 SW/Christ's)、赫尔曼（Robert Herman,1861-1927/1882 SW/Trinity）、拉夫（Augustus Love,1863-1940/1885 2W/St John's）、贝克（Henry Baker,1866-1956/1887 SW/St John's）、布朗米奇（Thomas Bromwich,1875-1929/1895 SW/St John's）、格拉斯（John Grace,1873-1958/1895 2W/Peterhouse）等。他们中的霍布森、赫尔曼、贝克、布朗米奇是“三足凳”考试状元，格拉斯、拉夫是榜眼。从“教练”这门职业的传承来看，霍布森、赫尔曼、贝克出于饶思门下，布朗米奇、格拉斯、拉夫则是韦布的学生（Andrew Warwick, Masters of Theory: Cambridge and the Rise of Mathematical Physics, Chicago: University of Chicago Press, 2003, p.524.）。
未完待续，原载《数学文化》2023年第14卷第2期，97-114页，《赛先生》获作者授权转载。作者简介：
刘钝，科学史家、清华大学科学史系特聘教授、中国科学院自然科学史研究所前所长。
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