数学就是这么有趣
数学就是这么有趣。
1+2+3+4+5+6+••• = -1/12
正数相加怎么会等于负数，而且是-1/12？有悖于我们的传统思维和理解呀。
那让我们来证明。
让
C = 1+2+3+4+5+6+•••
那么
4*C = 4+8+12+16+20+24+•••
然后
C-4*C = 1+(2-4)+3+(4-8)+5+(6-12)+7+(8-16)+•••
也就是
-3*C = 1-2+3-4+5-6+7-8+•••
好的，我们看看右边会等于什么。
首先，下面这个乘积会是什么？
(1-1+1-1+1-1+•••)*(1-1+1-1+1-1+•••) = ？
把它们的乘积表示成一个表格，
第一列是第一个乘数1-1+1-1+1-1+•••
第一行是第二个乘数1-1+1-1+1-1+•••
然后展开为表格中对应的元素如下：
| 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | |
| 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 |
| -1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 |
| 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 |
| -1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 |
| 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 |
| -1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 |
这时，我们看表中带相同颜色背景的对角线元素，
绿色的对角线1，
粉红色对角线两个-1之和为-2，
黄色对角线三个1之和为3，
淡蓝色对角线四个-1之和为-4，
红色对角线五个1之和为5，
蓝色对角线六个-1之和为-6，
以此类推，
我们得到：
1-2+3-4+5-6+7-8+•••
正好是前面等式
-3*C = 1-2+3-4+5-6+7-8+•••
的右边。
从表格，我们知道
(1-1+1-1+1-1+•••)*(1-1+1-1+1-1+•••) = 1-2+3-4+5-6+7-8+•••
那么，我们得到
-3*C = (1-1+1-1+1-1+•••)*(1-1+1-1+1-1+•••)
大家都知道等比数列
a, a*r, a*r*r, a*r*r*r, a*r*r*r*r, •••
的和是如何推导的。
s = a +a*r + a*r*r + a*r*r*r + a*r*r*r*r + •••
s*r = a*r + a*r*r + a*r*r*r + a*r*r*r*r + •••
上面式子s减去下面式子s*r，
s - s*r = a
那么
s = a/(1-r)
现在我们知道了等比数列和的公式了。
再看
1-1+1-1+1-1+•••
实际上是一个r=-1的等比数列的和
所以 1-1+1-1+1-1+••• = 1/(1-(-1)) = 1/2
那么
-3*C = (1-1+1-1+1-1+•••)*(1-1+1-1+1-1+•••) = (1/2)*(1/2) = 1/4
那么
C = 1/4/(-3) = -1/12
Bingo!
所以，我们证明了
1+2+3+4+5+6+••• = -1/12
有意思吧。
数学就是这么有趣。
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