数学就是这么有趣

数学就是这么有趣。

1+2+3+4+5+6+••• = -1/12

正数相加怎么会等于负数，而且是-1/12？有悖于我们的传统思维和理解呀。

那让我们来证明。

让

C = 1+2+3+4+5+6+•••

那么

4*C = 4+8+12+16+20+24+•••

然后

C-4*C = 1+(2-4)+3+(4-8)+5+(6-12)+7+(8-16)+•••

也就是

-3*C = 1-2+3-4+5-6+7-8+•••

好的，我们看看右边会等于什么。

首先，下面这个乘积会是什么？

(1-1+1-1+1-1+•••)*(1-1+1-1+1-1+•••) = ？

把它们的乘积表示成一个表格，

第一列是第一个乘数1-1+1-1+1-1+•••

第一行是第二个乘数1-1+1-1+1-1+•••

然后展开为表格中对应的元素如下：

这时，我们看表中带相同颜色背景的对角线元素，

绿色的对角线1，

粉红色对角线两个-1之和为-2，

黄色对角线三个1之和为3，

淡蓝色对角线四个-1之和为-4，

红色对角线五个1之和为5，

蓝色对角线六个-1之和为-6，

以此类推，

我们得到：

1-2+3-4+5-6+7-8+•••

正好是前面等式

-3*C = 1-2+3-4+5-6+7-8+•••

的右边。

从表格，我们知道

(1-1+1-1+1-1+•••)*(1-1+1-1+1-1+•••) = 1-2+3-4+5-6+7-8+•••

那么，我们得到

-3*C = (1-1+1-1+1-1+•••)*(1-1+1-1+1-1+•••)

大家都知道等比数列

a, a*r, a*r*r, a*r*r*r, a*r*r*r*r, •••

的和是如何推导的。

s   =  a   +a*r + a*r*r + a*r*r*r + a*r*r*r*r + •••

s*r =        a*r + a*r*r + a*r*r*r + a*r*r*r*r + •••

上面式子s减去下面式子s*r，

s - s*r = a

那么

s = a/(1-r)

现在我们知道了等比数列和的公式了。

再看

1-1+1-1+1-1+•••

实际上是一个r=-1的等比数列的和

所以 1-1+1-1+1-1+••• = 1/(1-(-1)) = 1/2

那么

-3*C = (1-1+1-1+1-1+•••)*(1-1+1-1+1-1+•••) = (1/2)*(1/2) = 1/4

那么

C = 1/4/(-3) = -1/12

Bingo!

所以，我们证明了

1+2+3+4+5+6+••• = -1/12

有意思吧。

数学就是这么有趣。