[4月15日]科学历史上的今天——莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）

2022-06-18 22:06

1707年4月15日，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）出生于瑞士巴塞尔。他对数学和物理做出巨大贡献，包括分析几何、三角几何、几何、微积分、数论，并将数学用于很多技术发展与公共事务。

欧拉的父亲在巴塞尔大学学神学，他听过雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）的课，事实上读书时他和约翰·伯努利（Johann Bernoulli）一起寄住雅各布·伯努利家中，后来他成为了一位新教牧师。欧拉在巴塞尔出生，一岁时一家搬到不远处的里恩（Riehen）。欧拉后来到巴塞尔读书，住在外婆家，但在学校里没学到任何数学。不过，他曾跟随父亲学习数学及其他科目，对数学的兴趣已经被点燃，所以开始自己阅读数学书籍，还上了一些私家课。欧拉14岁那年入学巴塞尔大学。欧拉请约翰·伯努利给自己上课，被拒绝，但伯努利给了他很好的阅读建议，并很快发现欧拉在数学上的巨大潜力。

1723年，欧拉获得哲学硕士学位，论文对比了笛卡尔和牛顿的哲学思想。父亲希望他也能成为一位牧师，他从那年秋天开始学习神学。虽然欧拉是一位虔诚的教徒，但他对神学、希腊语、希伯来文都没对数学那么感兴趣。在获得父亲允许后，欧拉换到了数学方向，跟随约翰·伯努利学习数学。

欧拉于1726年完成学业，受邀去圣彼得堡，填补尼古拉二世·伯努利（Nicolaus(II) Bernoulli）过世后留下的的职位空缺。次年春天动身前，他写了一篇关于声学的经典论文。科学院应丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）与雅各布·赫尔曼（Jakob Hermann）的要求，聘请欧拉任职数学与物理部，而非一开始的生理学部门。1730年，欧拉成为科学院的正式成员，个人经济状况好转，于是辞去了俄国海军医务中尉的兼职。1733年，欧拉接任丹尼尔·伯努利离开后空出来的高级席位，经济状况进一步改善，他于次年结婚，一共有过13个小孩。1730年后，欧拉开展国家测绘、科学教育、磁、机械等项目。欧拉在科学院还负责图书馆和科学发表。他还担任政府彩票、保险、年金、养老金、大炮等方面的顾问。或许是工作太多，1735年他的一只眼睛失去视力。

承担这么多职责的同时，欧拉这段时间的科学成就显著。他完善了积分，开发了三角函数和指数函数的理论，极大简化了分析运算。

1741年，欧拉收到腓特烈大帝的邀请，加入柏林科学院。在柏林的25年间，欧拉写了约380篇论文。

1748年，欧拉把方程的概念引入数学分析（Introductio in analysin infinitorum），由此变量相互关联，且他进一步发展对无限大无限小的运用。他对现代分析几何和三角几何的贡献，等同于欧几里得《几何原本》对几何学的贡献。这至今影响到人们在物理学和数学的运算倾向。他在初等几何学中有几个结果广为人知。比如“欧拉线”（Euler line）是指过三角形的垂心的直线，又比如“外心”（circumcentre）是指三角形外接圆的圆心，还有三角形的“重心”（barycentre）。他通过欧拉公式（Euler identity）关联一个角和两边的关系。他还发现了负数的指数，并证明每个负数都有无限多个指数。

欧拉1755年出版关于微分的教科书（Institutiones calculi differentialis），1768年到1770年出版了关于微积分的教科书（Institutiones calculi integralis）。这两本书是如今微积分的原型。因为它们包括了微分公式、无限积分的多种方法（很多都是欧拉自己发明的），确定力的做功，解决几何问题，他还发展了线性微分方程的理论，对解决物理学中的问题很有用。由此看来，他把新概念和技术融入到数学，让数学更为丰富。他还引入了如今通用的符号，比如求和符号（Σ），自然对数的基（e），三角形的三边（a, b, c）及其对应内角（A, B, C），函数（f()），-1的平方根（i），他还进一步推广用π表示圆周和直径之比（最早由William Jones提出）。

1766年，欧拉受卡特琳娜二世邀请，重返俄国。到达圣彼得堡不久后，唯一好用的眼睛得了白内障，很快他就完全看不到了。欧拉生命中最后的几年，都在黑暗中度过。虽然如此，他靠着超乎寻常的记忆力和心算能力，仍然维持很高的科研产出。

欧拉研究兴趣广泛，在科普作品《给德国王子的信》（Lettres à une princesse d’Allemagne）中，他呈现了力学、光学、声学、物理天文学的基础原理。显然，欧拉对现代数学家的教学影响很具说服力。他帮助建立了俄国的数学教育。欧拉还花了大量精力，完善月球运动的理论。这个问题特别麻烦，因为涉及到三体问题——太阳、月亮、地球的相互作用（这个问题至今还没有解决）。欧拉于1753年发表了部分解，帮助英国海军计算月球表，这对航海中计算精度特别有用。而他在最后眼盲的几年中最大的成绩之一，就是1772年在头脑中计算出月球运动的第二理论。当然，欧拉一生都对数论感兴趣，特别是整数的性质和相互关系，完全数（ (0, ±1, ±2, 等），他在这方面最大的发现是1783年发现的二次互反律（law of quadratic reciprocity），这也是现代数论的重要组成部分。

欧拉试图用分析法代替合成法（synthetic methods），这一点之后由约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）继承。但欧拉特别热衷于特例，而拉格朗日寻求抽象的普遍性。欧拉对不收敛序列的处理不那么严谨，而拉格朗日试图在合理的基础上建立一个无限过程。也正因为此，拉格朗日和欧拉被认为同是18世纪最伟大的数学家。