想要深度理解数学，小学牛蛙得抓好这3点

今年的早培（人大附中的超常儿童项目）初筛刚刚落下帷幕。

综合复盘今年的早培初筛，以及刚刚过去的高考试题，发现这两场考试有一些共同特点。这其中可以看出一些什么样的趋势和规律呢？

小学中、低年级的孩子要如何做好准备，才能更高效地理解数学，更加顺利地攀入名校呢？

抓好这3点，会让孩子事半功倍。

注重概念原理

把技巧放在次位

这两场考试的第一个共同特点就是：重点考察基本概念和基本原理。

今年的早培初筛，很大比例的题目考察的是孩子基本知识的掌握情况，基本没有出现那种考察花哨技巧的偏题怪题。

大量题目考察孩子对概念的理解

而高考卷同样如此。我们以前经常不断训练难题的解题方法，但现在，新高考明确告诉我们，不考那些解题技巧花哨的难题，重点考查的就是基础知识。2023年作为新高考的第二年，与往年对比，这份数学试题中没有出现一些所谓的偏题怪题。

只要能深刻理解基础知识背后的原理，能把不同的知识板块融会贯通，就能基本达到早培初筛和新高考的要求。

那么，怎样才能深入理解数学的基本概念与原理呢？对于孩子来说，一个养成习惯的方法就是：不断地问“为什么”，弄明白问题背后的来龙去脉。

家长和老师可以不断问孩子“为什么”，直到孩子自己在学习知识的时候，会开始习惯问自己“为什么”。

例如，按照传统的学习方法，孩子学了圆锥的体积公式，就会做求圆锥体积的题。有些孩子刷的题多一些，还会做很难的求圆锥体积的题。

但他知道怎么求球的体积吗？不会，因为孩子没学球的体积公式。

这样的孩子就没有掌握一个公式背后的原理，他只会做题，不会思考，更谈不上举一反三。

在一般的孩子看来，这些图形之间有不可逾越的鸿沟

但如果孩子问一句：“为什么圆锥的体积公式是这样的？”其实他就敲响了一个新世界的大门。一个“为什么”，可以让孩子从“知道”跨越到“理解”。

通过不断探究，孩子就能知道数学家是如何运用微分和积分的思想把陌生的图形转化成熟悉的图形，然后得到了这个图形的体积公式。

他得到的只是这个公式吗？远远不止，孩子得到的是一整套思想方法。运用这套思想方法，孩子可以自己推出圆柱、圆台、球体、圆环体的体积公式，并发现这些东西原来本质上都是一样的。

从数学思想的角度看，这些立体图形紧密联系

类似的问题还例如：

为什么三角形的内角和是180°？

为什么除以一个分数，等于乘它的倒数？

为什么负负得正？

为什么3的倍数特征是各个数位之和？

为什么一次函数的图象是一条直线？

在学习新知识的过程中，孩子如果从小养成不断问“为什么”的习惯，就不会止于一知半解，而是会追溯推理的步骤，知其然知其所以然。这样的学习能力会远超同龄孩子。

孔乙己总爱钻研茴香豆的“茴”字有几种写法的问题，并以此沾沾自喜。

孩子反复地在非常初等的数学领域里深挖，挖出一些偏题、难题，并以此证明自己的数学思维达到了一个了不得的地步，或许也不是投入产出比最高的学习方案。

北京大学数学科学院博士葛颢曾经总结过，小学奥数的主要内容是初级数学知识的「横向拓展」，是对小学课堂数学的扩展及延伸。

换言之，它是停留在数学知识大厦的“山脚”下，对几个重点主题（比如计算、应用题、简单的几何、数论）进行难度的延伸，但并没有学习更高阶、重要的知识。

一定程度的横向拓展固然有益，可以帮助孩子巩固知识、拓展思维。但就像著名数学家丘成桐的话来说，奥数的不少题目过于刁钻，如果作为主业进行揣摩，则是有些不太合常理的事。

简单的基础知识不变的情况下，变着方法设计难题

以学医来说，奥数就像疑难杂症，如果不扎实打好基础，不学习更多核心的知识，只攻疑难杂症，到最后可能连普通的感冒都不会治。

相比之下，学习高阶的数学知识，好比沿着数学知识大厦往上攀爬，属于「纵向拓展」。孩子不断向上探索数学中更高级的知识、更核心的数学思想方法，比如代数、几何、三角函数、微积分，对于孩子的长期发展都更加有益。

从解题的角度来看，如果能掌握更多高阶的知识、站在更高的维度，也会发现当下的问题的本质原来也很简单。

越来越多的小升初能力测试、竞赛考试，开始对学生的数学知识面、学科视野有了更高的要求。

比如每年早培的考试，都会考察一部分非小学的内容，不仅是中学的，还有大学的知识。例如今年就出现了群论有关的知识点。

而面向中学生的清华大学丘成桐“领军人才计划”，这样类型的考试更是如此。

丘成桐班数学“0试”的考试内容相当于大学一年级的水平，包括微积分、线性代数、群论的内容，绝不是中学简单知识相关的各种技巧。

“我们考察的是那些真的有内容的问题。”丘成桐说。

因此对于学有余力的孩子来说，进行适当的「横向拓展」，但不过度纠结于低水平的复杂化，同步进行「纵向拓展」，在更广阔的学科视野下前进，在各个阶段的选择会更多。

真实情境中命题

强调解决实际问题

高考命题的情境化，也已经成为了一个大的趋势。

例如今年新课标Ⅰ卷第10题，利用对数函数研究噪声声压水平，通过对声压级的研究，全面考查对数及其运算的基础知识。

数学不仅仅是解题，它的诞生也是为了解决现实中遇到的问题，它的每一个领域也都在现实中发挥了重大作用。多个考试竞赛中，与现实世界相关的问题比重也越来越大。

可是，情境化地解决问题对于许多孩子来说，往往是最难的。孩子在小学阶段遇到的最棘手问题之一就是应用题，老师归纳了很多模型，给孩子讲了很多题型，但一旦让孩子独立解决稍微复杂一点的应用题，孩子依然束手无策。

原因其实很简单，因为应用题就是一种情境化的题。它不仅考查孩子对数学公式的掌握和应用情况，还对孩子的理解能力、逻辑能力、建模能力都提出了较高的要求，这远不是反复刷题能够解决的。

像“鸡兔同笼”这种经典问题都是源自现实的

以小学数学中经常遇到的“行程问题”为例。如果我们只是教给孩子一个公式和几个题型，孩子难免会疑惑：这个公式哪儿来的？我学这些有什么用？

在这个问题上，我们首先可以展示现实生活中经常遇到的问题：两个人约好出门玩，在哪里碰头，几点出门比较好？警察去抓小偷，怎么才能保证抓得到？

想要解决这些现实问题，我们就必须用到数学工具，到这里，“行程问题”的基本数学模型就呼之欲出了。孩子也不会觉得这些问题都是凭空掉下来、专门用来难倒自己的。

接下来，孩子也许会觉得我知道最基础的模型就好了，为什么还会有很多高难度的变式题呢？

这就是一个“数学往何处去”的问题。“行程问题”来源于生活中的简单场景，但最终，它却应用到了非常尖端的科学领域。

比如，火星探测器“天问一号”如何进入火星轨道？这里面涉及一个“霍曼转移轨道”的问题，火箭有自己的速度，火星也有自己的速度，火箭的速度要多大，才能刚好在某个点碰到火星呢？看，这不就是我们小学遇到过的行程问题吗？

将数学问题与现实世界不断联系，发现生活中的数学问题，孩子们提升的不仅是数学解题能力，而且全方位地提升了综合素养，会一点点领略数学的乐趣与魅力。

探讨火星探测器怎样才能进入火星轨道，让孩子对相遇问题有了更深的理解