美国名校教授发长文抨击：我们都把孩子当天才，从没好好教过他们数学

一道简单的数学题竟然难倒了一群三年级的孩子。

一个孩子在题目上写写划划，但没有进行任何运算；另一个孩子草草写下“96”，就放弃了思考；还有的孩子写了一些和题目无关的数字；超过半数的孩子在计算“96+25”；只有两个孩子给出了正确的解答：96-25=71。

“这样的例子我还能举出几百个！”抛出这道问题的是得克萨斯大学奥斯汀分校的Sarah Powell教授，她多年从事特殊教育和数学干预。在她看来，美国的数学教育，尤其是小学数学，已经危如累卵。

去年进行的美国国家教育进步评价（NAEP）也显示，13岁孩子的数学成绩进一步下降。

这样的糟糕现状，让Powell觉得必须行动起来。去年以来，美国各州大刀阔斧地用阅读科学改革了阅读教育。受此启发，她也发起了“数学科学”运动（science of math）。

去年，她和抱着同样想法的另外两名教授——宾夕法尼亚州立大学的Elizabeth Hughes、俄克拉荷马大学的Corey Peltier——共同撰写了一篇长文《毁掉数学教学的几个谬论》，先后引用了100多项研究，一口气指出了美国数学课堂上的七个典型误区：

Powell和“数学科学”的志愿者们认为，美国的数学课堂，低效教学大行其道，科学的教学方法却鲜少被运用。

富裕家庭已经转向价值数十亿美元的课外数学辅导寻求帮助，这些辅导机构不仅指导明确，还会确保孩子有足够的练习。而这些都是校内数学课本就该完成的任务。

不出意料的是，这篇长文一发布，就引起了美国数学教育圈内的激烈讨论，老师、教授、家长都发表了自己的观点。

但Sarah Powell始终坚持自己的观点——数学教育需要科学的教学方法。尊重学习和认知的发展规律，让教学适应孩子，而不是孩子适应教学。

在一篇报道下，一位在一线进行数学干预的特殊教育老师说，辅导了很多学生后，她发现美国数学教学有个重大问题——孩子们根本构建不起来自己的数学知识网络。

这恰恰就和《毁掉数学教学的几个谬论》中提到的前三个典型问题有关：

因为害怕重复练习、记忆背诵会损害学生的数学推理能力，老师们对此敬而远之，花大量的时间解释概念后，才小心翼翼地让他们接触计算和公式，有些甚至彻底地反对教学生计算方法。

但在Powell教授看来，这种教学并不符合学生的学习规律，特别是低年级的学生。

孩子是怎么学会数学的？一是他们知道“是什么”（概念性知识），二是他们知道“怎么用”（程序性知识）。

在一次电台连线中，Powell讲述了两位数加法的例子。

但现在的情况是什么？有老师花了两星期讲解负数的概念，负数在生活中的应用，可对学生们的真正难点——负数运算的变号规律——却草草带过。

Powell并不反对通过生活场景、教具、活动引入新的数学概念。可问题是：概念性知识学习要花多久？程序性知识学习又能分到多少时间？怎么才知道孩子是不是真的理解了概念？怎么能让孩子们牢固地掌握解题方法？

学习数学，概念性知识和程序性知识缺一不可。也早就有实验发现，将内容和问题交错起来的“ABCBCAACB“式学习，效果明显会好于“AAABBBCCC”的顺序式学习。

坚持“先学概念，后学方法”或者干脆“不学方法”的教学理念，无疑是捡了芝麻，丢了西瓜。

而备受老师们喜爱的探究式学习，要想有好效果，也离不开对概念性知识和程序性知识的掌握。

Powell曾和荷兰开放大学教育心理学名誉教授Paul A. Kirschner进行过探讨。Kirschner教授表示，孩子们都是数学的初学者，但不是“缩小版”数学专家。适用于专家的学习方法很可能不适用于初学者，甚至还有害。

荷兰心理学家和国际象棋大师Adriaan de Groot就有个发现：国际象棋大师们很强，并不仅仅是因为他们的推理能力很强，而是因为他们记住了更多有意义的棋局。

在看到一盘残局时，他们能迅速与记忆中的所有棋局比较，从而决定怎么走。可以说，他们的推理能力和记忆、回忆能力密切相关。

这就是专家探索问题的方法——以解决问题为导向，快速抓住问题的关键，再从知识储备中寻找方法。这里涉及深层的概念知识，以及大量解决问题的程序性知识。

而初学者呢？往往会用“手段-目的分析法”，不是先分析问题，而是先尝试自己知道的各种方法，再看这些方法有没有能解答问题的。

有一道经典的数学题：“玛丽和比尔共有10美元，玛丽的钱比比尔多2美元，问两人各有多少钱。”

在探究式学习的课堂上，孩子们用的最多的手段就是猜测了。甚至有的孩子阅读能力还不过关，都不太能理解“A比B多”到底是“A多”还是“B多”。

与之形成鲜明对比的是新加坡的教学。老师们会教孩子使用“解题工具”，比如数形结合，通过画条块图来解题。以后遇到类似的问题，孩子们也能举一反三。

就像Kirschner教授说的，我们所知道的决定了我们所学的。如果孩子们的数学大厦连骨架都没有，不要说享受探究式学习的好处了，他们连学习新知识都会很费力。

在美国的数学课上，Powell还注意到这么两种看起来特别矛盾的想法：

Powell觉得，老师们完全没抓住问题的重点——学生的数学焦虑，不是因为缺少勇气，而是因为没能接受适合的辅导，要么一直碰壁，要么知难而退，从来没有正视过问题本身。

她不否认有的学生能力比较强，只需要一两句点拨就能恍然大悟。但她也强调，挑战难题需要难度适中，如果题目涉及的技能和思考方法超过了学生的能力，那这种挑战就没有效果。

新南威尔士大学悉尼分校的一项研究印证了她的观点。研究者们请64名五年级学生解答他们从未了解过的灯泡照明效率问题。

因此，根据学生的能力配备教学支架，引导他们从会做的题过渡到独自挑战。在Powell看来，这才是“挑战难题”应有的做法。

Kirschner教授也曾在《学习是如何发生的》一书中举例过一种简单的支架：先给学生看有完整解题过程和答案的样例，再让他们运用样例的思路，在给出了部分解题过程的习题中补上空缺部分，随着习题的提示越来越少，最后学生可以独自挑战一整道题目。

Kirschner教授举例的教学支架样例，给出了所有解题步骤

“学生通过努力，可以找出不明显的信息，能预见某个思路或方向能得到什么结果，才能纠正自己的错误，或者直接找到解题方法。”否则就像是让一个普通人去徒手攀岩。

而定期评估，本来也该是因材施教的一环，现在却成了知难而退的借口。

Powell描绘了一个常见的场景：

其中的问题，Powell随便就摘出好几个：所有人都做一样的题；题目没有区分度；公开分数和排名……但根本的问题在于，本来是为了评估学习效果，结果变成了评估名次。

这种评估没让学生产生数学焦虑可能反倒不正常。

要知道，定期评估有两个非常重要的作用：

图片来源：《激活你的学习脑》

Powell理想中的评估是这样的：

如果是全班评估，那题目要足够多，学生做不完也没关系，也要有足够的区分度，能看出学生对知识的掌握情况；

不要把评估变成考试，让学生参与追踪自己的成绩变化，但不要公开排名；然后，老师可以根据评估的情况，给予相应的辅导。

芝加哥大学的两名教育学博士曾做过这么个研究：

三周以后，测验结果不出所料，第一组得分最低，第三组得分最高。第三组的平均分超过了第一组98%的学生的分数，第二组的平均分也超过了第一组84%的学生。

《The 2 SigmaProblem》中记录的实验结果

可惜的是，现实中很难普遍做到第三组那种一对一辅导。但至少也可以争取一下第二组的模式。

在Powell看来，既然老师认为数学焦虑是个问题，那就要从根本上找原因、想办法，而不是把责任推到它身上就撒手不管了。

但是，把数学教育的种种问题都推到老师身上，也是不公允的。有不少一线老师表示，自己也很想帮孩子学好数学，可是面对五花八门的问题，又毫无头绪。

这和数学教学本身长期被低估和忽视，离不开关系。

波士顿大学的心理学家、“数学科学”的发起者之一Amanda VanDerHeyden就表示，小学数学老师和初高中数学老师不一样，后者很多是因为热爱和擅长数学而选择了这一行，但很多小学老师对数学未必有那么多热情。

同时，他们还面临着共同的问题，除了数学知识不完备，他们的教学技能也没有得到很好的培训。

Powell也观察到，很多数学老师意识到了自己教学的短板，也关注着教育圈内的潮流。但他们往往着急抛弃传统的教学法，过分迷信一些高大上的研究，课并不知道怎么合理运用，结果适得其反。

她长文中提到的执行功能锻炼和成长型思维就是两个典型。

执行功能是近来心理学的一个研究热门，最简单的理解，就是认知能力和注意力。比如，正在学加减法混合运算的学生，看到“4-3=”可能第一反应是“7”，但是再读一遍题，发现中间是个“-“号，就会明白答案应该是“1”。

尤其是刚上小学的学生，他们大脑还远远没有发育完全，执行功能确实会一定程度影响他们的学习。

但是，在翻阅了很多相关研究后，Powell也注意到，不少心理学研究者都认为，尽管单独训练可以提高执行功能，但这种训练对学习的积极影响还缺少足够的证据。

因此，Powell也反问，在这样的情况下，每节课都单独花10分钟来训练跟数学学习没有直接关联的执行功能，有必要吗？为什么不是从教学方法上想办法，既提高学生的注意力，也帮助数学学习呢？

比如在教学中使用系统的、明确的数学语言；使用可以锻炼注意力的练习题；教学生审题、解题的步骤；通过圈出关键词、二次检查等方法减少出错……

Powell认为，学生经过反复练习，就能让相应的数学知识、运算技巧变得更加自动化，减少认知负荷，从而能把注意力放到其他任务上。

而另一个成长型思维理论，也已经流行了多年，吸引了很多教师，还被当成把孩子们从重复训练、数学焦虑中解救出来的救命稻草。

但是，老师们真的了解如何运用这个理念吗？是在教室墙上贴上“相信自己”的海报，还是告诉学生“天赋不重要，只有努力才重要？”

新西兰的教育研究者Graham Nuthall曾精妙地指出学习和动机之间的关系——学习需要动机，但动机并不一定导致学习。

老师们应该做的，是和学生强调，成功不是由考试分数决定的，而是基于他们对具体知识的掌握程度，把学生的注意力从分数转移到能力表现上来。

比如能不能理解特定术语，能不能和别人解释学过的数学概念，能不能用和书上不同的实验来验证一些数学公式，能不能把数学知识应用到日常生活中。

同时，老师也不该简单地否定天赋，而是要诚实地告诉学生，天赋确实扮演了重要角色，但是，努力同样对成功有不可忽视的作用，并且还会不断促进今后的学习，是越学越好必不可少的能力。

数学教学从不像看上去的那么简单，就像德国数学家、教育家Erich Christian Wittmann在《连接数学和数学教育》中说的：“我们面临的是一项真正的跨学科任务，必须将数学要素、数学历史、数学应用、认识论、心理学、教育学和数学课程融合在一起。”

关于数学教育的争论在美国由来已久，密歇根大学安娜堡分校的数学教育教授Deborah Loewenberg Ball甚至已经对这样的争论感到疲惫，但她觉得“数学科学”运动还是提出了一些有价值的问题。

她认为，要找到最有效的数学教学方法，当务之急是教育系统上下对数学教学的目标达成一致。“我们希望孩子能够准确计算吗？我的答案是yes。但并非所有人都同意，这应该是数学教育的主要目标。仅仅使用‘科学’一词，无法解决问题。”

阅读科学已经受到重视，改变了美国各地的阅读课。“数学科学”运动会不会像“阅读科学”一样改变美国的数学课堂，还需要时间来验证。