理性的边界：人类语言、逻辑与科学的局限性

导论

科学和技术的发达程度可以作为衡量文明的标准。科学和技术越发达，相应的文明就越先进。我们的文明被认为比原始社会更先进，这要归功于我们取得的所有科技成果。相比之下，如果某个外星文明造访地球，我们的文明就会被认为是原始的，这几乎是不言而喻的，因为它们掌握了星际空间的旅行技术，而我们没有。使用科学和技术作为衡量标准的原因在于：这些活动是人类文化的各个方面中唯一以自身为基础进行构建的。后人蒙前人福荫，继往开来。迄今最伟大的科学家之一艾萨克·牛顿（Isaac Newton，1643—1727）对此做了十分精妙的表述：“如果我（比别人）看得更远，那只是因为我站在巨人的肩膀上。”科学的发展是这样一种持续不断的积累，因此它很适合作为比较不同文明的标尺。与科学和技术形成对比的是，人类文化的其他方面如艺术、人际关系、文学、政治、道德等，都不能说是以自身为基础进行构建的。

衡量文明的另一种方式是看它在多大程度上摒弃了不科学和非理性的观念。现今社会更加先进，因为我们已经将炼金术当作傻乎乎的梦想丢进了垃圾桶，转而潜心研究化学。几个世纪以来的占星学论著都被视为胡言乱语，但我们保留了对天文学的研究。随着文明的进步，它会将自身的观念和神话置于逻辑分析的框架中，抛弃超出理性范围之外的内容。

在进步的过程中，文明使用的工具是理性。理性和推理是社会进步使用的方法论。某种文化若合乎理性，它就会进步。当它偏离理性，或者超出理性的边界，它就会停滞不前甚至倒退。

理性有很多种形式。按照广义的（或许也是不甚精确的）概念，科学是我们用来描述和预测可度量的实体世界的语言。数学更为抽象，可以分成两个领域：应用数学是科学的语言，而纯数学是理性的语言。逻辑学也是一种理性的语言。因为科学、技术、理性、逻辑和数学全都是彼此相互联系的，所以我对其中任何一种事物的描述通常也适用于其他事物。有时候我会只用理性（reason）一词来指代它们所有。

千百年来，哲学家一直在反思和争论哪些东西是人类有可能知道的，又有哪些东西是人类不可能知道的。这个探讨人类知识及其边界的哲学门类称为认识论（epistemology）。虽然这些哲学家提出的观念十分引人入胜，但他们的作品并不是我们在这本书里关注的焦点。相反，我们感兴趣的是，科学家、数学家和当下的研究者对于人类的知识与理性的边界的阐述。

现代科学、数学和理性最了不起的一点在于它们已经发展得非常成熟，到了能够看见自身局限性的水平。最近，科学家和数学家已经加入哲学家的行列，共同讨论人类认识世界之能力的局限。而理性在科学上的局限性正是本书的主题。

下面这个可爱的小游戏能让我们初步了解理性的局限是什么意思。这个游戏非常有趣，很值得思考，而且强烈推荐作为任何鸡尾酒派对上的益智挑战。找一张普通的 8×8 国际象棋棋盘和一些尺寸为 2×1 的多米诺骨牌，尝试用多米诺骨牌盖住整张棋盘。

棋盘上有 64 个方格，每张多米诺骨牌覆盖两个方格，所以一共需要 32 张多米诺骨牌。完成这项任务的方式有数百万种之多。图 1-1 展示了我们开始进行这个过程的一种可能性。

这的确很简单。现在让我们尝试一项更有挑战性的任务。在棋盘对角的两个方格上各放置一枚代表王后的棋子。现在再来试试盖住除了这两个方格之外的所有方格，如图 1-2 所示。需要覆盖的方格是 62 个，意味着一共需要 31 张多米诺骨牌。试试看！

尝试了一会儿并发现自己无法盖住每个方格之后，你可能会考虑将这个小游戏展示给别人，尤其是那些游戏迷。他们也会有相似的体验。你或许想找一台计算机来解决这个问题，因为机器可以迅速尝试多种可能性。开始在棋盘上放置多米诺骨牌的方式即使没有几十亿种，也有数百万种之多。然而，没有任何人或任何计算机能够完成这项任务。

将 31 张多米诺骨牌放置在一张国际象棋棋盘上，这个简单的问题之所以看上去那么困难，是因为它是无法做到的。它不是一个困难的问题，它是一个不可能解决的问题。实际上要解释这一点倒是很容易。每张多米诺骨牌都是2×1 的尺寸，所以必须在棋盘上占据 1 个黑方格和 1 个白方格。图 1-1 中的棋盘有 32 个黑方格和 32 个白方格需要覆盖。棋盘上的黑白方格是完全对称的。

相比之下，图 1-2 中的棋盘只有 30 个黑方格和 32 个白方格需要覆盖。然而因为每张多米诺骨牌必须覆盖 1 个黑方格和 1 个白方格，所以这 62 个方格无法用多米诺骨牌全部覆盖。移动棋子的位置，让一个王后位于黑方格上，另一个王后位于白方格上。现在再来试试看。

这个小游戏有很多美妙的特点。它容易解释，易于玩家尝试寻找解决方案，而且还可以尝试使用计算机解决问题。然而它无法解决。不是因为我们不够聪明，不能解决这个问题，也不是因为这个问题超出了当下技术水平的能力，它根本就是无法被解决的。这个问题无法被解决，这不是某位人士的意见，而是放之四海而皆准的事实。理智告诉我们，我们解决这一问题的能力存在局限。

这个问题最棒的部分在于，它为什么无法被解决的理由是很容易解释的。一旦陈述出这个理由，你就会被彻底说服，不再为之烦心。

本书将展示许多诸如此类无法解决的问题和局限。

接下来，我将对本书涵盖的局限类型进行分类介绍，而不是按照顺序给出每一章的概要。对于每一类局限，我将列出来自不同章节的例子。这将让本书呈现出更富于整体性的结构。

关于局限的例子十分丰富。计算机科学家已经向我们展示过，有很多任务是计算机无法在一段合理的时间之内完成的（第 5 章）。他们还发现，有些任务是计算机无论花多长时间也完成不了的（第 6 章）。物理学家讨论了这个世界的复杂程度，而有些现象复杂到连科学和数学都无法对其进行预测（7.1 节）。

数学家发现某些类型的方程无法用正常方法求解（9.2 节）。逻辑学家已经证明，论证的力量是有局限的。他们描述了一些为真但无法被证明的逻辑语句（9.4节）。语言哲学家指出，对于这个我们自身生活在其中的世界，我们的描述能力是受到局限的（第 2 章）。

还存在其他一些类型的局限，而且从某种意义上说，这些局限拥有更深的层次。这些局限表明，我们对自身生活的世界以及我们与这个世界的关系的朴素直觉是错误的。我们对宇宙及其性质的思考方式必须升级。每个物体都有一个客观定义，这是我们的一条基本假设，但它需要重新评估（3.1 节）。古典哲学家芝诺（Zeno）表示，我们对空间、时间和运动的常规认识需要做更深入的分析（3.2 节）。量子力学已经教会我们，知道者和被知道的事物之间的关系并不简单。物理学的这一分支向我们展示，世界比此前设想的关联更紧密（7.2节）。研究者发现，我们对于无限的简单直觉是错误的，需要修正（第 4 章）。相对论表明，我们对空间、时间和因果关系的认知是错误的，需要更正。物理学家指出，不存在对长度或持续时间的客观测量（7.3 节）。我们、我们的世界，以及我们用来描述世界的科学和数学，这些事物之间的关系并不简单（第8章）。本书后面的内容将深入探讨所有这些以及其他更多主题。

上述局限的展现方式有许多种。比较有趣的方式之一是悖论（paradox）。这个词来自希腊语前缀 para-（“与之相反的”）和 doxa（“意见”）。《牛津英文词典》给出了许多互相重叠的定义，列举如下。

• 与被人们广为接受的观点或信仰相反的陈述或理念。（例如：“二手烟对你来说没有那么糟糕。”）

• 一种听上去十分荒谬或自相矛盾的陈述或命题，或者让人感到强烈地违反直觉，然而对其进行调查、分析和解释，却发现它是根据充分的或真实的。（例如：“长期来看，股票市场不是个投资的好地方。”“站立比步行更费力。”）

对我们而言，最重要的定义是：

• 一种论证过程，它基于（表面上）合理的前提并使用（表面上） 有效的推理，得出的结论违反常识，在逻辑上不合理或者自相矛盾。

这些悖论将是我们关注的重点。悖论先得有一个前提或假设，然后用有效的逻辑推理推导出谬误。我们可以将悖论的推导过程表示如下：

假设→谬误。

由于谬误是不应该发生的，而我们的推导过程使用的是有效的逻辑推理，那么唯一的结论就是我们的假设是不正确的。在某种程度上，悖论是一种测试，可以看出某个假设是否能合理地通过理性的检验。如果使用有效的推理从假设推导出谬误的话，那么假设就是错误的。出现悖论表明我们已经跨过了理性的边界。从这个意义上说，悖论是不正确观点的指针。它指出这样一个事实，即假设是错误的。既然假设是错误的，它就不能通过理性的检验。这是理性的一种局限。

在大多数情况下，我们遇到的谬误类型是矛盾。我所说的矛盾，是指一件事看上去既是真的，同时又是假的。可表示如下：

假设→矛盾。

由于世界上不会存在这样的矛盾，所以假设一定有问题。例如，在第 6 章中，如果我们假设一台计算机能够执行某项特殊的任务，那么我们就会在其他特定的计算机上推导出矛盾。既然计算机这样的物体不会存在矛盾，那么我们的假设一定有问题。

悖论的论证方式与一种常见的数学论证方法是相同的。下面要介绍的就是“矛盾证明法”（proof by contradiction），即“反证法”，拉丁语表示为 reductio ad absurdum（“归谬法”）。如果你想证明某个命题是正确的，只要假设这个命题是假的，并推导出矛盾即可：

命题为假→矛盾。

由于矛盾在数学推理的世界中是不允许出现的，那么假设一定是不正确的，也就是说原命题为真。我们来看一个简单的例子，对数字 2 的平方根不是有理数这一命题的数学证明（9.1 节）。如果假设数字 2 的平方根是有理数，就会推导出矛盾。我们由此得出结论，数字 2 的平方根不是有理数。在 4.3 节中，如果假设某两个特定的集合大小相等，就会推导出矛盾。我们由此得出结论，其中一个集合必然大于另一个集合。利用矛盾进行证明的例子无所不在。

悖论的推导并不需要一个十分成熟的矛盾。只要推导出一个与观察结果不符或者虚假的事件即可：

假设→虚假的事件。

再一次地，因为我们推导出了谬误，所以我们的假设一定是错误的。芝诺悖论就属于这个类型（3.2 节）。芝诺先做出某种假设，然后推导得出结论，即运动是不可能的。任何曾在街道上行走的人都知道，运动无时无刻不在发生，所以芝诺的假设是错误的。芝诺悖论的难点在于找到假设的荒谬之处。

在很多情况下，悖论出现的时候将此前隐藏的假设暴露得无所遁形。这些假设可能深植于我们的意识之中，以至于我们压根不会认真思考它们（例如，空间是连续的而非离散的，或者物体有确切的定义）。这些悖论将挑战我们对自身生活在其中的世界的直觉。在发现我们的直觉是虚假的之后，我们就可以抛弃它们，继续向前探索。美国哲学家威拉德·冯·奥曼·奎因（Willard Van Orman Quine，1908—2000）雄辩地写道：

形成悖论的论证会暴露出某种隐藏前提或预设观念的荒谬之处，而这些前提或预设观念此前被认为是物理理论、数学或思维过程的重要基石。因此，在看起来最无关紧要的悖论中可能隐藏着灾难。悖论的发现导致人类思维的基础发生重要的重构，这样的情况在历史上发生过不止一次。

探索悖论并寻找其假设，这种方法将是贯穿本书的一大重点。

某些特定类型的悖论在我们讲述的故事中扮演着重要的角色。自指悖论是这样一套悖论系统，系统中的对象可以处理 / 操纵自身。自指悖论的经典案例是所谓的说谎者悖论。思考下面这句话：

“这个句子是假的。”

如果这个句子是真的，那么根据它对自身的描述，这个句子实际上是假的。如果这个句子是假的，那么既然这个句子已经表达了自己的谬误，那么这个句子就是真的。这便是货真价实的矛盾。这个问题之所以会出现，是因为语句能够描述自身的真实和虚假。例如，“此句有五字”是个合理的句子，因为它表达了自身的某种正确属性。相比之下，“此句有六字”就是关于自身的虚假陈述。我们将看到，只要某个体系能够讨论关于自身的性质，就会出现导致悖论的情形。我们会发现，语言、思维、集合、逻辑、数学和计算机全都是能够处理自身的体系。在上述每个领域内，自我指涉的潜力都将导致悖论，从而产生某种类型的局限性。令人惊讶的是，虽然这些领域彼此之间极为不同，但悖论的形式都是相同的。

描述局限的另一种方法是将其附属在已经确定的局限上。在我详细解释之前，让我们先谈一谈登山。珠穆朗玛峰海拔 8848.86 米（数据截至 2021 年 12月 8 日），而德纳里山的海拔“只有”大约 6193 米。下列事实似乎是显而易见的：如果你能攀登珠穆朗玛峰，那么德纳里山就更不在话下了，你肯定也能登上它。我们将这个推导过程表示如下：

攀登珠穆朗玛峰→攀登德纳里山。

如果你能攀登德纳里山，你会感到很自豪。我们将其表示为：

攀登德纳里山→自豪。

将这两个式子结合在一起，我们得到：

攀登珠穆朗玛峰→攀登德纳里山→自豪。

结论显而易见，如果你能攀登珠穆朗玛峰，你会感到很自豪。现在让我们来看看登山的黑暗面。假设你的医生告诉你，如果你尝试攀登德纳里山，会有糟糕的事情发生在你身上。我们将其表示如下：

攀登德纳里山→糟糕。

这是在描述你的运动能力的局限：你不应该攀登德纳里山。将它与第一个式子结合，我们就得到：

攀登珠穆朗玛峰→攀登德纳里山→糟糕。

它陈述了一个显而易见的事实，如果你应该避免攀登德纳里山，那么你肯定也应该避免攀登珠穆朗玛峰。换句话说：

攀登珠穆朗玛峰→攀登德纳里山。

这个显而易见的含义可以用来将与攀登德纳里山有关的某种已知局限转移到或附属到与攀登珠穆朗玛峰有关的局限上。我将在接下来的内容中使用这些简单的概念。

现在让我们使用这种关于登山的直觉，去理解一种局限附属到另一种局限上的广义概念。设想某种局限通过矛盾建立，如下：

假设A→矛盾。

即，假设 A 不可能是正确的，因为我们可以从它推导出矛盾。现在再加入一个假设 B。如果从假设 B 能推导出假设 A，即：

假设B→假设A，

那么我们就会得到：

假设B→假设A→矛盾。

如果假设 B 是正确的，那么假设 A 也是正确的，既然我们已经确定假设A是不正确的，那么我们可以断定，假设 B 也不可能是正确的。这种论证方式称为归约（reduction），一种假设被归约为另一种假设。在归约的过程中，已知的局限会被转移到其他领域。

归约的例子贯穿全书：

• 我指出，如果计算机解决某一特定问题需要花很长时间，那么计算机解决其他更难的问题将要花费更长的时间（5.3 节）；

• 我指出，如果计算机不能解决某一特定问题，那么计算机也不可能解决更难的问题（6.3 节）；

• 我用类似的方法指出，某些陈述方式十分简单的数学问题是无法解决的（9.3 节）；

• 其他相似的归约例子出现在我们对逻辑学的讨论中（9.5 节）。

我要在这里陈述关于矛盾的一些事实。物质世界不允许出现任何矛盾：

• 某种特定的分子不可能既是盐酸，又不是盐酸；

• 同一个地方不可能既是周一，又不是周一；

• 正方形的对角线不可能等于它的边长。

类似地，作为对物质世界的一种描述，科学也不能表达矛盾：

• 方程式 E = Mc2 和 E ≠ Mc2 不可能都是正确的；

• 关于化学过程的计算不可能既是真的，又是假的；

• 一项预测不可能预测出两个不相容的事件。

如果科学中存在矛盾，那它就不可能是对没有矛盾的物质世界的准确描述。类似地，数学和逻辑学也是如此：由于它们是用来描述真实世界和科学的，它们不能含有任何矛盾。

然而，有一个地方的确会发生矛盾：人类思维的内部。我们所有人都充满矛盾；我们渴望矛盾的事物；我们相信矛盾的观念；我们还预测自相矛盾的事件。任何曾经谈过恋爱的人都知道对一个人又爱又恨是什么感觉。我们想吃蛋糕，又想要苗条的身材。正如《爱丽丝镜中奇遇记》（Through the Looking Glass）中皇后对爱丽丝所说的那样：“哎呀，有时候还没吃早饭，我就已经相信多达六件不可能的事情了。”人类的思维不是完美的机器。我们总是矛盾重重，充满困惑。类似地，表达人类思维状态的人类语言一定也有矛盾。当我们说“我爱她也恨她”的时候，并没有什么奇怪的。有人在享用第二块蛋糕的时候表达自己想要苗条身材的愿望，这也不是什么稀奇的事情。

当我们在物质世界中遇到悖论并推导出矛盾的时候，我们知道这个悖论的假设一定存在什么问题。然而，当我们在人类思维或人类语言的领域遇到矛盾时，我们并不需要抛弃假设。更加微妙的状态是可能的。为什么不允许矛盾存在呢？思考一下我们之前讨论过的说谎者悖论。为什么不简单地说：

这句话是假的。

这句话既是真的也是假的呢？或许它只是毫无意义呢？这只是一个句子，而很多句子都会表达矛盾。类似地：

这个观点是错误的。

这个观点既是真的也是假的。为什么不允许这样矛盾的观念出现在我们本就混乱的思维里呢？

不存在矛盾的物质世界与我们虚弱无力的人类思维和语言之间的关系导致了许多更有趣的问题。人类思维如何能够理解世界的任何一部分呢？人类组织出来的语言如何能描述世界呢？科学为什么经得起检验？数学为什么如此善于描述科学和世界？科学法则是不是客观存在，又或者它们只存在于我们的思维之中？对世界的终极描述有可能存在吗，也就是说，科学会完成它的任务，走向尽头吗？科学和数学的真相与时间有关还是与文化有关？人类如何辨别科学理论正确与否？就像阿尔伯特·爱因斯坦笔下所写的那样，“世界的永恒谜团是它可以被理解”。这些问题以及其他许多关于科学和数学的哲学问题会在第8章得到论述。在没有矛盾的物质世界和充满矛盾的人类思维之间，存在着一片充满模糊的地带。

• 站在门口的人既在房间里又不在房间里。

• 一个人要掉多少头发才会被认为是光头？取决于风的方向，他有时会被认为是光头，有时会被认为不是光头。

• 42 是个小数还是个大数？

人们总是在使用模糊的概念。我们的思维模式和与之相伴的人类语言充满了模糊的陈述。

• 有时候我们说站在门口的人在房间里，有时候我们说他们不在房间里。

• 有些头发很少的人被我们叫作光头，而另外一些头发同样很少的人，我们说他们不是光头。

• 如果银行账户里只有 42 美元，我们会说 42 是个小数，但是如果我们说的是一个人身上疾病的数量，那么 42 是个大数。

因为模糊概念不存在于科学和数学的纯粹世界，所以我们在面对这些概念时不能依赖某些通常的思维工具。模糊性在第 3 章的讨论中发挥着重要作用。

说几句离题的话，某些类型的笑话也是我们的讨论感兴趣的内容。我们已经见到，悖论这种方法能够揭露人在理性的道路上走得太远是什么样子。出现悖论，意味着你已经超出了理性的边界，进入了荒谬的领地。有些笑话的可笑之处也在于我们在理性的道路上走得太远。这些笑话将逻辑和理性运用到它们本来不应出现的地方，开头是很容易理解的概念，然后借题发挥，超出其通常情况下的意义。思考下列笑话。

• 伍迪·艾伦（Woody Allen）在玄学考试中作弊了，他偷看了坐在他身边男生的灵魂。

• 格劳乔·马克斯（Groucho Marx）不想属于任何一个愿意接收他这种人当会员的俱乐部。

在所有这些笑话中，正常的概念被发挥得太过分了。在考试中作弊，或者放弃俱乐部会员资格，这些都是很常见的概念。然而，这些伟大的思想家将这些常见概念发挥到了它们本身没有容身之处的地方：那是愚蠢可笑的境地。

就连双关语也属于这一类型。在使用双关语的笑话中，某个词或短语的意思被运用到它们本来不应该出现的领域。

• “你听说那个左半身被切掉的人了吗？他现在全好啦。”

• “我正在读一本关于反重力的书。根本没办法把它放下来。”

• “你听说过悖—论（par-a-dox）吗？夏皮罗医生和米勒医生。”

哎呀！（抱歉。唯一比双关语更糟的就是对双关语的分析了。让我们继续吧。）

我想用若干关于理性本质及其局限的问题作为本章的结尾。读者应该带着这些问题阅读这本书。我会在最后一章回到这些问题上来，并使用书中表达的某些理念进行分析，或许这样能够更接近这些问题的答案。

如果我写了一本名为《理性的边界》的书却没有给出理性的定义，那就太大意了。毕竟，如果不对理性进行定义的话，怎么能说某件事物超出了理性的边界呢？什么是确认事实的理性过程？理性有不同层次的分别吗？我们如何认定炼金术和化学之间的分界线呢？占星术和天文学之间呢？为什么有些行为被认为是理性的，而另外一些行为被认为是非理性的？为什么检查自己的血压是明智的，而确认自己的星座就是荒谬可笑的呢？什么样的思维过程是明智的，并且能够避免矛盾呢？

《牛津英文词典》对“理性”这个词给出了 16 种定义。最符合我们需要的定义是，“通过合乎逻辑的思考过程并形成有效判断的思维能力；用来将思想或行动改造至一定水平的精神智力；人类思维在思考过程中的指导原则；常与意志、想象力、热情等对比使用；常被拟人化”。但是这个定义又引出了更多问题。什么是“有效判断”？合乎逻辑的过程与不合逻辑的过程之间的区别是什么？思维什么时候属于意志，什么时候属于理性？这个定义无法令人满意。其他所谓的定义也没有好到哪里去。

在我们的整体讨论中，一直存在着某种程度的自我指涉。我们是在用理性寻找理性的局限。如果理性是有局限的，我们要如何用理性来发现这些局限呢？我们发现局限的能力又存在着什么样的局限呢？

让我们先暂时搁置这些问题，到第 10 章再重新回顾它们，届时我们会对这场针对理性局限的探索做出总结。

【内容简介】

【目录】

前言
第 1 章 理性不是万能的
第 2 章 语言悖论
2.1 骗子！骗子！
2.2 自指悖论
2.3 描述数的性质
第 3 章 哲学难题
3.1 从忒修斯之船说起
3.2 芝诺、哥德尔和时空旅行
3.3 语言的模糊性
3.4 “知道”意味着什么
第 4 章 无限谜题
4.1 有限集合
4.2 无限集合
4.3 还有比无限更大的吗？
4.4 可知的和不可知的
第 5 章 计算的复杂性
5.1 一些简单但不轻松的问题
5.2 一些难以求解的问题
5.3 这些问题都是相通的
5.4 不够圆满的答案
5.5 更难的问题还在后面
第 6 章 计算机的局限性
6.1 陷入死循环的程序
6.2 停机还是不停机？
6.3 更多的不可判定的问题
6.4 计算机的“神谕”
6.5 让计算机拥有思维
第 7 章 科学的局限性
7.1 混沌和秩序
7.2 量子力学
7.3 相对论
第 8 章 元科学的困惑
8.1 科学的哲学局限性
8.2 科学和数学
8.3 理性的起源
第 9 章 数学面临的障碍
9.1 古典时代的局限
9.2 伽罗瓦理论
9.3 比停机问题还难
9.4 逻辑学
9.5 公理和独立性
第 10 章 理性之外
10.1 总结
10.2 定义理性
10.3 向更远处眺望
致谢
注释
参考文献

来源：历史与秩序