我的数学和爱情一样，“不细想还明白，越想越糊涂”

2022-08-22 04:08

*本文为「三联生活周刊」原创内容

在我看来，正是因为每个人对数学的领会和感受几乎全不相同，数学教育才最应该因势利导，因人而异。

文 | 苗千

什么是好的数学教育？我又接受过怎样的数学教育？数学是个难题，让人目眩神迷。是的，在我心里，数学起码是和爱情一样让我长久以来感到目眩神迷，而且是属于那种“不去细想倒还明白，越想越觉得糊涂”的难题。

插图 | Jessie Lin

简单介绍一下我自己。我一路学习理工科，如今离开学校已经10年有余。我的工作是相对比较少见的科学记者——这个工作让我有机会经常与物理学家和数学家打交道。一路走来，我深知自己对于数学并没有天分，但由于专业和工作的原因，数学对我的折磨又远远不止于高考最后一道大题。坦白来说，对于数学我也不是没有努力过。即便在离开学校之后，我也曾对群论和微分几何等几门学科暗自下过功夫。即便如此，我仍然未曾窥得进入到数学世界的门径。数学的秩序和美感曾经在我眼前一闪而过，但它带给我的痛苦和伤害则是永久的。

数学究竟该怎么教，又该怎么学？想到这两个问题，我都感到有些茫然。

从我的小学一年级到三年级，速算的范围大约从10以内的加减法延伸到100以内的加减乘除。正是因为计算起来越来越熟练（大多数题目都是重复，所以大多数题目的答案早就记在心里，所测试的速算其实是手写速度），我记得后来每次完成一页速算的时间都能控制在30秒之内。

《小舍得》剧照

这种纯粹锻炼手速的速算表演与数学究竟有什么关系？这是我至今也想不通的谜题之一。我在内心里当然不认同这样的数学教育方法。在十多年之后，我在电视上看到了史丰收的一群学生，那些大约与我同龄的人在大庭广众之下表演速算：有一个人随口报出几位数字的加减乘除，一旁还有人用计算器进行计算，而进行表演的学生们或是眼望天空，或是双目紧闭，双手十指在不断做着各种手势，嘴里仿佛念念有词，有如神明附体，然后便迅速报出一长串数字——随后计算器的结果会显示他们的计算完全正确。我同样不确定这样的速算神技与数学究竟有什么关系，但当时的我已经感觉到，在这一长串的数字中，隐藏着某些我从不曾领会的技巧和秘诀。

《天才少女》剧照

进入到大学之后，我对于数学的懵懂理解确实有了一些进步，甚至可以说，我第一次感受到了数学的“美感”。那是在大学里的第一个学期学习微积分时，从“无限小”的概念出发，我第一次领会微分的妙处，全然没有想到在大约300年前，艾萨克·牛顿与戈特弗里德·莱布尼兹在发明微积分时，也只是处在我当时的年纪而已。

作为一名工科生，我在大学里按部就班地学习了数学分析、线性代数、复变函数、概率论与数理统计这四门数学课程，之后便懵懵懂懂地毕业了。如果遵循着大学专业的轨迹，我本来应该做一名电子工程师，不过之后我自行改变专业，改学了物理学，便自然而然地感觉自己的数学知识不够用了。

《知无涯者》剧照

我所选择的是实验物理学，并非对数学要求极高的理论物理学。涉及初级量子力学知识时，大学里学的这几门数学课程还勉强够用，但是一旦涉及高等量子力学以及量子场论、相对论知识，对于数学的要求便陡然增大了。无奈之下，我只能选择自学。这些年来，我虽然自认也对数学下过一番功夫，但是数学所回馈给我的大多只是痛苦。所谓感受数学的“美感”，对于数学本质的洞见，我是从不曾有过的。若说成就感，只有在初次学习广义相对论时，见到人类能够用数学语言如此精妙地描述时空，领会到“数学在自然科学中不合理的有效性”，我才因为数学而发出了一声轻叹。

大约正是因为这一声轻叹，让我与数学的关系比大多数人更近一些。但也因为自知对数学毫无天分，我对那些看起来更加玄妙的数学或物理学结构也只能远观，却无力掌握，更不用说有所拓展了。在数学家眼中，万物皆数，万事万物无不受到数学规律的制约；而在物理学家眼中，想要得到一个描述整个宇宙的大统一理论，则需要用数学语言构建出一个远远超出常人想象的世界——这个世界的本质或许有更多的维度，也许其本质是弦，是膜，是永不停歇的量子场。而这些以数学语言所书写的天书，恐怕是我永远都无法真正领会的了。

《培养天才的妻子：世界公认数学家与妻子的爱》剧照

我一再提到对于数学的“天分”，又一再强调自己对于数学没有天分。那么，所谓天分对于学习数学究竟有多大的作用？所谓没有天分，是否只是对于自己钻研还不够刻苦的借口？对于这个问题，我同样没有答案。学习数学于我，大概只是一张张的考卷，而考卷上的试题，在我看来也从来没有显得容易或是友好。我认为，在数学学习中确实存在着一种类似于竞技体育的成分。一个有所谓数学天分的人未必可以成为一个数学家，但是如果没有天分，数学在大多数时候确实只会显得过于沉重。

《小谢尔顿》剧照

因为工作关系，我曾经先后采访过三位菲尔茨奖得主。这些获得过数学界最高荣誉的人的国籍、背景和教育经历各不相同，但他们都早早地显示出了数学才华。与他们的交流是否让我对数学的认识更深刻？恐怕很难说。

我接触的第一位菲尔茨奖得主是法国人赛德里克·维拉尼（Cédric Villani）。维拉尼出身名门，毕业于著名的巴黎高师，曾经担任过庞家莱数学研究所所长。初见维拉尼，以我的眼光来看，他的穿着未免太过浮夸。他的衣着样式醒目且五颜六色，还戴着一个显眼的蜘蛛胸针。其实熟悉维拉尼的人都知道，他从大学时代开始就有了这样独特的衣着风格。

维拉尼告诉我，他在大学时还曾经热衷于政治，当选过学生领袖，在大学最后一年里才开始专心学习数学。维拉尼现在也是法国的国会议员，前些时候我还听到他竞选巴黎市长的消息。以传统眼光来看，这样的数学家难免显得“不务正业”，实际上积极参与政治，正是法国数学家的传统之一。

“数学的本质是什么？”采访一开始，我就问了维拉尼一个有些大而不当的问题。“抽象。”他回答我。法国作为一个盛产数学家的国度，我想或许与这个民族善于处理抽象概念有关。但维拉尼并不认为数学研究与天分有太大的关系。他认为自己虽然在幼年时就展现出了数学天分，但也是后来通过艰苦的训练才取得了杰出的成就。

《霍金传》剧照

一些数据可以支持维拉尼的观点。法国15岁左右的中学生在国际学生评估项目（Programme for International Student Assessment）中的排名并不算高，在全世界仅排名第25位，法国学生495分的得分也仅仅略高于平均分494分。法国数学家能够不断涌现，更重要的原因很可能在于精英学生在预科学校（Prépa）和大学里接受的高强度数学训练。

2019年我在芝加哥大学采访2010年菲尔茨奖得主吴宝珠（Ngô Bảo Châu）教授时，他显然更加认同学习数学需要天分。虽然和维拉尼一样毕业于巴黎高师，但吴宝珠教授是在越南接受的初等数学教育。他在连续两次获得国际数学奥林匹克竞赛金牌之后才远赴法国学习数学，最终因为证明了罗伯特·朗兰兹纲领的自守形式基本引理而获得了数学界的最高荣誉。

印度前总统普拉蒂巴·帕蒂尔在2010年8月19日举行的国际数学家大会上，向吴宝珠教授颁发了菲尔茨奖（图 | 视觉中国）

吴宝珠并不排斥数学竞赛。他认为喜欢比赛、喜欢获得荣誉是小孩子的天性，这一点大可不必以成年人的规范去衡量小孩子，也不必妖魔化各种各样的数学竞赛。但吴宝珠也认为，进行数学研究，体会数学的美感，确实是一种深刻的精神体验。如果一个人对于数学无知无觉，便很难向他描述这种感受。或许能够承受严格的数学训练，本身就需要有天分。除了少年时代在越南著名的征王基础中学接受严格的训练之外，吴宝珠在法国的导师热拉尔·洛蒙（Gérard Laumon）也是以对学生要求极其严格著称。

吴宝珠教授在授课

我通过邮件采访的第三位菲尔茨奖得主爱德华·威腾（Edward Witten）的学术经历更是堪称传奇。威腾在大学里学习历史学专业，毕业之后还曾经帮助一位竞选人参选美国总统。但他随后认识到自己的兴趣和天赋都在数学和物理学方面，于是转而进行数学和理论物理学研究。现在威腾教授不仅被认为是世界上最重要的理论物理学家之一，还是唯一一位通过理论物理学研究获得了菲尔茨奖的物理学家。我对威腾教授的采访相对简短，但他的经历似乎已经说明了天才对于数学和物理学理论研究的重要性。

《美丽心灵》剧照

如果不考虑这些极端的例子，我的一个远房表哥也曾经轻描淡写地对我说：“数学根本不用学，一看就会。”这种话若是从我并不熟悉的人嘴里说出来，难免显得无知且狂妄。但我知道，我那个品性敦厚的表哥根本无意炫耀，他只是说出了自己学习数学的真实感受而已。而他计算机网络专家的身份和当年理科高考全省第八名的成绩，也让我不得不相信，虽然水平各有不同，但世界上确实有数学天才存在。

说到底，数学到底是什么？数学研究算是“发现”还是“发明”？为什么自然界是由数学语言描述的？可能就连这些问题也很难有公认的答案。数学起源于生活，源于计算和测量的需要。但是数学的本质显然要高于计算，它有其自身的语法和秩序。在20世纪上半叶，一群主要由法国数学家组成的群体“布尔巴基学派”认为数学取决于结构，但是之后的数学家显然对于数学又有了全新的理解。

《天才基本法》剧照

在我看来，正是因为每个人对数学的领会和感受几乎全不相同，数学教育才最应该因势利导，因人而异。一个人即便有所谓的数学天分，也仍然需要正确的引导以及良好的教育。或许名师的指点，在少年时期感受到数学之美，是一个人能够理解数学，恰当地学习数学，乃至爱上数学的必经之路。只不过对于从小对数学的理解只是反复进行速算训练的我，以及我的绝大多数同代人来说，这些要求或许太高了吧！

（本文选自三联数字刊2022年第32期）

排版：耿耿 / 审核：同同

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