数学家们眼中的自然数到底是什么东西？正经的知识又增加了！

2023-10-12 04:10

来源：bilibili 知名科普 up 主「王木头学科学」

作者：王木头

爱好科学和数学的人，或多或少都是听说过哥德尔不完备定理的。因为这一条定理，直接击碎了像希尔伯特这样的数学家的梦想。数学并不能像他们希望的那样，凡是可以用数学描述的问题都可以用数学方法去解决，数学体系不是完备的。

但是对于这个定理真正表达的意思，很多人可能只是望文生义。比如下面这句话，大家可以判断一下是否正确，以此来验证一下自己对哥德尔不完备定理的理解程度。

“因为哥德尔不完备定理，所以不论什么体系都是不完备的。”

这句话肯定不对。像是我们说话用的自然语言就不需要考虑是否完备的问题。想要讨论是否完备，一个体系至少应该是一个逻辑和数学体系才行，只有这样才能根据推理规则去看看是否会产生矛盾。

既然这样的话，怎样修改这句话呢？

“因为哥德尔不完备定理，所以不论什么数学体系都是不完备的。”

这句话同样不对。因为至少欧几里得的平面几何体系就是完备的。如果认真看过哥德尔不完备定理的描述的话，应该可以知道，只有当一个体系是蕴含了自然数的时候，这个体系才是哥德尔不完备的。

既然这样的话，我们把平面几何这个体系并上一个完整的自然数集，是不是这个合并后的体系就是不完备的了呢？

很可惜，答案依然是否定的。因为哥德尔不完备定理里面说的“蕴含自然数”，并不是包含了一个自然数集合就可以的，而是这个体系里面可以定义出一个自然数集合来才算数。

因为只有当一个体系可以定义出一个自然数，这个体系才会产生自我指涉的问题，进而产生矛盾。

为什么自然数会如此特殊呢？如果只是把自然数理解成最简单说数数，那是无法解决这个问题的。

下面这个视频里面会带领大家深入了解一下，数学家们眼中的自然数到底是个什么东西。然后大家就能理解，为什么经过数学计算之后，即便没有做过试验，没有亲自观测过，依然可以获得超越经验的知识。

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