拓扑与关联之一笑泯恩仇 | Ising专栏
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物理学中，凝聚态物理和其它物理学分支的最大不同，if any，乃在于凝聚态处理的是超级大数粒子的“紧密”集合 (close - packing)、即这些粒子之间存在很强的相互作用。诸如电磁相互作用这种在宇宙四大相互作用中稳居老大的物理，贯穿凝聚态的每一处血管。按照电磁学，在三维空间的集合体中，这种相互作用竟然还是长程的。因此，当大量粒子紧密集合在一起形成庞大粒子凝聚体系时，要从运动及动力学角度去处理每个粒子的运动轨迹，物理人大概不用动手就知道无能为力。不过，Ising 也从书本学到，偌大的各种凝聚态集合中，对满足平移或镜面或有限旋转等特定对称性的原子点阵集合，可以用量子波动理论去处理，也就是布洛赫定理和能带理论。对物理外行、甚至是内行而言，这样的物理是有些令人疑惑的：地球中存在数目巨大的凝聚态体系 (例如汪卫华老师就说“非晶物质是四种常规物质之一”^_^，非晶态亦是常见的凝聚态)，但为何其低温基态却是严格满足某种周期性的点阵？虽然这样的疑问对专业物理人而言早已心领神会。
Ising 再絮叨一下，从最简单物理知识来描画这一图像。先从 (准) 粒子层面去理解这一问题。在能量认知层面，不妨从相互作用的空间依赖角度去作初步考量。在一个周期晶格体系中，如果两粒子间的互作用与它们的间距呈线性 (衰减) 关系，则各个粒子偏离周期格点位置所引起的能量变化总归是此消彼长。也就是说，此时，位于周期格点处的粒子，如果偏离位置，不会引起整体能量变化。正如图 1(A) 所示，比较有序点阵结构与无序占位的结构，其中一种都未必一定占优，它们可能都是基态。事实上，电磁相互作用与间距的依赖关系有很强的非线性，二次和更高次项也会很显著。正因为如此，满足某种严格周期性的点阵才会是能量基态，而那些偏离格点位置的玻璃和统计意义上高对称性的无序体系，必定是非基态的亚稳态结构，虽然它们在地球中依然很多。
图 1. 凝聚态结构的大致形态：(A) 粒子或准粒子在空间排列的形态，包括晶体和玻璃态。(B) 朗道对称性的一般性表达：对称性破缺的双势阱图像 (B1)、晶格软模与对称性破缺 (B2)、序参量与温度的关系和相变临界行为 (B3)。
(A) https://www.zhihu.com/question/51473186。(B) X. Sun et al, Toward non-thermal control of excited quantum materials: framework and investigations by ultrafast electron scattering and Imaging, https://arxiv.org/abs/2108.04860。
这一简单物理图像，蕴含了晶体结构对称性及其破缺的朴素思想，也从特定角度让我们体会到“朗道对称性破缺”范式之美妙，不管是对经典粒子还是波动意义上的准粒子，都是如此，如图 1(B) 所示。不过，从相互作用的非线性依赖关系，可以联想到对称性，但还无法直接联想到对称性破缺。于是，Ising 又开始胡思乱想。从朗道对称性范式层面看，体系从高温下的高对称结构，通过对称性破缺而到达基态。这里的热力学驱动力，必定是满足某种较低对称性的相互作用加入而占据主导，从而促使体系形成低对称性的周期结构 (甚至包括最近受到关注的所谓“时间晶体”)。这一范式构成了凝聚态物理的主干和核心，自不必说。
不妨从能带角度去看这一主干核心的内涵。例如，这种相互作用的特定对称性，反映在薛定谔方程中的势函数中，自然也就影响了固体能带结构的对称性，如图 2(A / B) 所示。一个体系的基态，到底取何种对称性，包括当下量子材料高度关注的那些“kagome”结构的超低对称性体系，其背后的根源都可以理解为相互作用的对称性。凝聚态中，当热涨落等能标随温度降低而渐渐失去主导时，更多能标较低、对称性也较低的势函数和相互作用 (例如磁相互作用、自旋 - 轨道耦合 SOC、界面和维度引入的非对称相互作用等) 取而代之。这些相互作用，表现为所谓的量子关联作用，使得体系基态和低能激发态具有更为复杂的、比高温相的对称性低的时空对称，促使晶体结构和电子结构也取较低对称性。凝聚态物理中的“量子关联”或“量子材料”分支学科，有很大部分就是在处理这些低对称的相互作用，包括它们如何影响体系能带结构、输运和各种物理新效应。姑且将这一大片领域称之为“对称性破缺”范式下的关联量子态 (不是姑且，事实上这就是关联量子态的内涵)。再简言之，关联量子态表现了朗道“对称性破缺”范式下的一番物理，亦是现代物理科技的基础与主体。
除此之外，当下的量子凝聚态还有另外一番火热天地，就是拓扑量子态。按照不那么严谨的流行说辞，拓扑量子态是超越朗道对称性破缺范式的新物态，以能带的拓扑几何类别不同来规范电子结构及其衍生的低能物理效应 (如果施加巨大外场，当然也可以破坏这拓扑态)。这一形态，在大学物理层面，受到高度关注的，多是以费米面附近存在若干线性色散的狄拉克能带为鲜明特征的体系。由此，体系中巡游电子一般具有高的迁移率、小的有效质量和强的霍尔效应 (类磁单极一般的大贝里曲率)。在薛定谔方程那里，这一特征必然对应着很大的动量 / 动能项，从而在相对意义上压制了势函数中蕴含的那些低能标对称性的作用，也就降低了势函数中包含的关联作用。这一特征，大概是我们常见的拓扑量子体系中关联效应一般较弱的原因。反过来说，拓扑量子物理早期的研究对象基本都是关联很弱的体系，这是事实，但这并不意味着拓扑量子体系必定是弱关联体系。下文我们将看到这“并不意味”的意义。
图 2. 相互作用势函数 potential V(r, t) 的时空对称性决定了薛定谔方程的解的对称性结构。(A) 薛定谔方程的简单形式。(B) 一维势函数使得波函数的形状发生了巨大变化。(C) 非平庸拓扑保护下的初始对称相与量子关联相互作用引入的对称性破缺相相互竞争，正反映了拓扑保护与朗道对称破缺物理之间的竞争。竞争的结果是一些 emergent symmetry protection 物理效应之显现，例如这里所示的图像 (它是如此新颖别致如迷宫，其结构和对称性就像非线性物理中那种复杂的奇异吸引子 strange attractor)。
(B) https://github.com/topics/schrodinger-equation。(C) https://phys.org/news/2019-06-interaction-induced-topology-symmetry-broken-phase.html、D. Gonzalez-Cuadra et al, Intertwined topological phases induced by emergent symmetry protection, NC 10, 2694 (2019), https://www.nature.com/articles/s41467-019-10796-8。
好，物理人现在很容易会提问：这样的两大体系 (拓扑 / 关联两大模式)，在电子结构层面有何内在联系或边界？毕竟，它们各自覆盖了一大类凝聚态，必然存在交叠区域和密切联系的边界。事实上，这不是 Ising 的臆想，物理人很早就开始关注这里的山川风景，总结了诸多彼此“一笑泯恩仇”而相杀相爱的故事和物理。如果将拓扑量子与关联量子联系起来，放到同一材料中加以考量，物理人很快就能看出它们之间的这种“一笑泯恩仇”。
一方面，它们是相互排斥的。
(1) 首先，从严格周期势函数加上关联效应，来重构凝聚态理论，则电子各个自由度集合形成的无序态，通过朗道对称性破缺形成各种有序基态。即便是在那些小能标的相互作用 (如自旋 - 轨道耦合、量子涨落) 都能扮演重要角色的高度自旋阻挫体系中，物理人最终得到的、或期待得到的，依然还是某种对称破缺的有序态。因此，考虑各种相互作用的关联量子体系，本质上依然是对称破缺规范的凝聚态。诸如 Ising 这样的普通人，还真的很少去认真想过此类物理逻辑。所谓“只缘身在此山中”，大概就是这种感受。
(2) 其次，从 TKNN 不变量，即所谓拓扑陈数所规范的拓扑非平庸量子态视角，去重构量子凝聚态，则可以规避朗道对称性破缺相变之路，到达拓扑相变下的量子基态。最简单直观的例子就是 KT 涡旋相变导致最终的长程序。这一波操作也可以得到一系列新颖的量子效应。基于目前的理解，这些效应如果与巨大的贝里曲率、超强的量子霍尔效应等联系起来，物理人就能够展望其未来应用，从而又一度充满豪气和追逐的欲望。注意到，这一量子态宣称绕开了对称性破缺，即绕开了量子关联物理。不妨粗暴地认为，拓扑量子态与关联量子态是相互排斥的，就如电磁学中静态电场和磁场也是相互排斥一般。将此两种量子态与电磁学进行跨尺度的粗暴类比，乃是 Ising 的胡扯，虽然拓扑量子态的确是更多地与自旋相关，而关联量子态更多与电荷相关^_^。
既然相互排斥，自然有物理人迫切想知道，如果将它们硬性地捆绑在一起会如何。这一捆绑有两重意义：一是物理探索的价值，以满足物理人的好奇心为目的。一是现代信息和能源科技需求，包括正在当下铺展的量子科技，多是以关联量子态为基础而形成的 (自旋电子学、超导科技、光电科技等)。科技和产业生态，总不能为了拓扑量子态就马上抛弃关联量子态^_^。事实上，不但不能抛弃，还需要对拓扑量子态进行改造、更新、拓展，以更好地与关联量子态关联才对 (关联厉害，遍地都是，以至于找不到更好的说词来替代)。
另一方面，它们也可能是相互成就的。之所以说拓扑量子态与量子关联态是“相逢一笑泯恩仇”而相杀相爱、交互纠缠的意涵，就体现在这里。
这种意涵的联想，当然非 Ising 之辈所初提。事实上，早在 2010 年前后，南京大学的李建新老师，就带领当时的年轻学者于顺利 (现在亦是大教授了) 与北京大学谢心澄老师合作，从一个简化的拓扑绝缘体哈密顿出发，加上 Hubbard 量子关联作用，试图揭示这一意涵 [论文参见 PRL 107, 010401 (2011)]。他们基于严谨求解而进行探索，初步展示了拓扑与关联之间的确相爱相杀：较弱关联下，拓扑量子态展现了更多与对称性联系的新效应和新物态。这是相亲，初步显示拓扑与关联是可以共存的，或者可以有相互成就的新物理。在关联很强时，拓扑量子态就被抑制，这是相杀。模型虽然简单，但物理很清楚；结果虽然未必完美，但难在这是“首次”！
这种相爱相杀的范例，在过去几年还有很多，并为大多数物理人所熟知而津津乐道。即便到今天，物理人依然在密集探索此类问题。奥地利维也纳工业大学 (Vienna University of Technology) 的 Silke Bühler-Paschen 与米国大米大学 (Rice University) 的斯其苗 (都是量子材料知名学者) 2022年还发表了一篇相关工作 (S. Dzsaber et al, NC 13, 5729 (2022), https://www.nature.com/articles/s41467-022-33369-8 , https://news.rice.edu/news/2022/physicists-use-electron-correlations-control-topological-materials)，其中艺术效果如图 3(A) 所示。图 3(B) 则是另外一个例子，详细可见图题和相关文献。
图 3. 拓扑量子与关联量子的相爱相杀。(A) 强关联可以击杀拓扑准粒子，但适度关联可以诱发新物理，即“相逢一笑泯恩仇”。(B) 拓扑电子巡游在关联或磁场作用下会有出乎意料的新物理。
(A) An artist’s impression of the mutual annihilation of two topological quasiparticles, https://news.rice.edu/news/2022/physicists-use-electron-correlations-control-topological-materials。(B) electrons in a topological quantum metal waiting to be activated by a magnetic field (or electron correlation). Once they start moving, they follow a spiraling helix upwards – in contrast to the previously proposed picture of electrons moving in circles in a two-dimensional plane. This creates a special effect that is the foundation for promising topological quantum phenomena，https://scitechdaily.com/electrons-waiting-their-turn-new-model-explains-3d-quantum-material/。
这里，再举几个 Ising 稍稍了解一点的例子：
(1) 为了顺应自旋电子学的应用需求，也为了观测反常量子霍尔效应，在拓扑绝缘体中引入磁性是一个例子。磁性引入相互作用和关联，将拓扑绝缘体规范的金属表面态干掉，但留下边缘 edge 态存活，这就有了反常量子霍尔态。物理人很早就知道，磁性，特别是铁磁性，是对抗拓扑态的，是一个例证。从能带角度去理解，也很简单：铁磁性需要提升一个自旋态而压制另一个自旋态，与拓扑绝缘体的狄拉克表面态不相适应。这是两态相杀的例子。
(2) 与此简单理解稍有不同，在万贤纲的磁性拓扑半金属那里，磁性与拓扑之间交叠，会诞生新的花样和效应。按照贤纲老师当年的做法，要促使一对外尔点出现，计算时需要对体系施加适度库伦关联。看起来，关联在将狄拉克半金属分裂成一对外尔点的体态半金属过程中起了一定的、加强对称性破缺的作用。特别是，外尔点“磁单极”周围巨大的贝里曲率，更是探索新物理之地。与此同时，体系表面处的费米弧，也会大大促进体系的量子传输，对应用亦十分有利。对称性破缺可以触发拓扑量子态中新的物理，这是两态相爱的例子。
(3) 惹人关注的第三个例子，是拓扑超导。此处不涉及由拓扑绝缘体与 s 波超导组成的异质结拓扑超导，毕竟这是界面近邻效应的结果。就物理而言，关注那若隐若现的 p 波三重态超导更有意思，那可是“量子铁磁”参与的游戏，关联的作用不可或缺。拓扑和关联在拓扑超导这一主题中得到了充分体现，或者说物理人都高度期待这一主题能有所体现。
(4) 如果关注更早时期的探索，二三十年前物理人已考量过一些拓扑磁结构与量子态之间的联系。例如，那时候就认识到，二维电子气中的自旋 Skyrmion 态和量子霍尔效应之间有一些内在联系。这种认识，可能算是拓扑量子态与关联量子态共存耦合最早的探索吧？注意到这里的 Skyrmion，不是当下热门关注的、实空间的大磁矩 Skyrmion。
(5) 最后，再列举一个人工可操控的范例，即魔角石墨烯。这一体系更好地说明拓扑与关联的确能耦合在一起，且易于操控，虽然石墨烯本身并不能算是“纯粹的”拓扑量子体系。石墨烯与拓扑量子态在能带上最接近的特征，就是狄拉克锥“Dirac cone”。魔角石墨烯通过 Moire 条纹相，引入显著的平带化 (关联) 效应，对狄拉克能带特征能否存留造成巨大影响，包括关联打开能隙、提升自旋 - 轨道耦合的作用等等。
这些例子，清晰而具有开放性，告诉物理人“对手是对手、朋友是朋友，对手亦可是朋友”。一个量子材料中，拓扑与关联可以一起合作做事、造势而双赢。这是人类的智慧，不管是在科学上还是在社会生活上，当然也是物理学研究的不二法宝。这样的总结提炼，体现出 Ising 长期读书学习，虽然榆木脑袋难以开窍，但还是意会到一些物理思想。
不过，通过如此“马后炮”举例来总结的方式，似乎总让人感觉缺少了科学的先见之明，也缺少了一些联想、严谨与逻辑意义。留在物理人脑海中的固定思维依然是：拓扑量子态与关联量子态之间总归是“一山不容二虎”的主导态势，不那么容易改变。那么，有无办法可以实现关联和拓扑都存在？或者说有无方案可以实现它们在一般意义上的共存耦合？
其实，览过如上第 (5) 点后，读者已能得到启发：除了在拓扑量子材料门外游荡的石墨烯外，二维 vdW 材料家族数目巨大，其中很多体系都具有非平庸的拓扑能带结构，也有一定的电子关联。基于这一事实，通过诸如双层或多层魔角二维材料的构造，实现能带平带化，即实现更强关联的引入和调控。由此，关联与拓扑之间的共存、竞争与耦合，似乎就有了更多可以施展拳脚的空间维度。
明了此类机遇不需要多么高远的洞察力，很多量子材料人对此必定是心有灵犀。事实上，来自米国量子凝聚态领域声名远播的 UIUC 物理系之知名学者 Philip W. Phillips 教授团队，联合斯坦福大学应用物理系 B. E. Feldman 教授团队，就在这一主题上取得进展。他们最近以典型二维材料晶格，即蜂窝晶格 (honeycomb lattice) 为对象，以魔角石墨烯和过渡金属二硫系化物 (transition metal dichalcogenide systems) 为目标材料，开展关联量子如何调控拓扑量子态的理论研究，取得进展。其中，最主要的结果是，他们以严谨充分的论证，揭示了相互作用驱动的、具有奇数拓扑陈数的铁磁绝缘体，令人诧异！
他们的研究框架是：(1) 研究对象上，以典型的 vdW 二维材料晶体结构为出发点，以蜂窝晶格为研究对象，以紧束缚近似方法为抓手，加上 Hubbard 关联作用。(2) 理论方法上，以所谓“行列式量子蒙特卡罗”(determinantal quantum Monte Carlo method, 主要用于处理费米子体系的量子蒙卡方法) 为手段，严格计算点阵中全自旋的电子 (spinful electrons, 如携带自旋轨道耦合作用的电子) 集合的压缩率 (compressibility)、自旋关联 (spin correlation) 和那著名的 Hofstadter 能谱 (Hofstadter spectrum)，从而为最终探索结论打下基础。图 4 所示乃其中部分结果，显示了 Hofstadter spectrum 对关联 U 的显著依赖性。
图 4. Philip W. Phillips 教授他们的 Hofstadter spectrum 计算结果。(A) 正方点阵和蜂窝点阵中无互作用压缩率 (compressibility)。(B) 存在互作用 U 时计算得到的压缩率与自旋相关函数。
(A) Noninteracting compressibility as a function of magnetic flux ϕ and electron density <n> for (a) honeycomb lattice (Nsite = 36 × 36 × 2) and (b) square lattice (Nsite = 40 × 40) at β / t = 20. The leading quantum Hall states are labeled with the corresponding Chern number.
(B) Compressibility as a function of magnetic flux and electron density in an Nsite = 36 × 36 × 2 cluster for (a, d) U / t = 0 where U is the correlation and t is the kinetic energy; an Nsite = 6 × 6 × 2 cluster for (b, e) U / t = 2 and (c) U / t = 4. The first row is for the inverse temperature β = 8 / t and the second row for β = 20 / t. Panel (f) shows the corresponding spin correlation at U / t = 2 and β = 20 / t. It has a reverse color bar compared to those of the charge compressibility.
Ising 对此 topic 乃是外行，只能囫囵吞枣、现学现卖。重要的是读者可相信这一工作的创新性和普适性意义。而这一工作的学术细节，需要从事相关 topics 研究的老少人们去仔细揣摩和咀嚼：色香味俱全、满汉蒙全席！
(1) 如前所言，关联量子效应，一般而言对保持拓扑量子态是不利的：拓扑陈数可能由整数变成分数，表现为整数量子霍尔效应退化为强磁场下的分数量子霍尔效应。但的确有少数已知体系，其中关联量子很重要，但体系依然呈现整数陈数，包括所谓的量子霍尔铁磁性、魔角二维体系。特别是后者，其重要意义和普适性已在前文展开过。所谓的 symmetry - broken quantum Hall insulators，在高磁场下就可以稳定形成，预示出六角蜂窝点阵体系可能是拓扑与关联相杀的例外、相爱的国度。
(2) 众所周知，关联作用，即便是从金属态开始，也必然驱动体系走向诸如 Mott 绝缘体之类的绝缘态。这里的严格推演和计算证明，在一些蜂窝点阵，甚至在某些正方点阵中，关联也驱动这样的绝缘体态形成。但是，这些绝缘态，却具有奇数整数的拓扑陈数 (n = + - 1, 3, 5, ...)。而且，对自旋相关函数的分析揭示，这样的体态还出现了自旋旋转对称性破缺，即形成了铁磁态 (具有明确的铁磁关联涨落)。特别指出，这样的铁磁态，无需塞曼能去稳定，即没有外加磁场亦可稳定存在。
(3) 稍微详细一些描述，可从一个全自旋费米子体系开始。只考虑最近邻巡游交换耦合和 Hubbard 关联作用，再加上外磁场项以引入塞曼能，就构成一个简化版的哈密顿。行列式量子蒙特卡罗模拟，可以给出态密度和磁通分布。将这一方案应用到与魔角摩尔条纹相类似的蜂窝点阵体系中，计算结果清晰揭示出关联作用依然可以让整数量子和反常量子霍尔态得以保存，且体系在半填充时也可展现反铁磁绝缘态。
毫无疑问，Philip W. Phillips 团队预言的这一关联驱动的、拓扑非平庸的铁磁性绝缘体态，从很大程度颠覆了物理人的认知，或者说将物理人对磁性拓扑绝缘体的认知向前推进了一步。要知道，从非磁性拓扑绝缘体，到稀磁掺杂的拓扑绝缘体，再到 MnBi2Te4 这样的、由 Mn 铁磁层和非磁拓扑绝缘体层交替排列的磁性拓扑绝缘体，最后到这里的体态铁磁拓扑绝缘体 (虽然还停留在模型计算阶段)，整个进程亦步亦趋，形成了物理人为追求目标从“知其然”到“知其所以然”的完整故事线，可谓相当精彩。如果这样的预言，能够在某种材料中得以实现，将会是令人激动的，也是量子材料人这些年奋斗的又一只脚印。所谓“雪泥鸿爪”，是不是挺好？！
雷打不动的结尾：Ising 乃属外行，描述不到之处，敬请谅解。各位有兴趣，还是请前往御览原文。原文链接信息如下：
(1) 编者 Ising，任职南京大学物理学院，兼职《npj Quantum Materials》编辑。
(2) 小文标题“拓扑与关联之一笑泯恩仇”乃感性言辞，不是物理上严谨的说法。这里只是表达物理人原本以为永不交叉的拓扑量子态和关联量子态这两条线，它们原本相互排斥，如今也可以相逢一笑泯恩仇而交叉联合。这是量子材料精彩迭出的必然和未来场景。阿门！
(3) 文底图片取自玄武湖环湖之黄昏秋色 (20230919)。这首《破阵子》(20230919) 原本是描写环湖时留下的几幅仲秋锦绣，以《破阵子》之铿锵有力、吟啸高远展示量子材料研究的画面。
(4) 封面图片展示了 Philip W. Phillips 教授他们得到的自旋相关和铁磁态磁通谱，清晰展示了量子关联 U 的作用。
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