液体总是那么“刁”，费米液体也是 | Ising专栏
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打开香港大学物理系陈钢教授/张啸天博士刊登在《npj QM》的这篇关于“非费米液体”的文章、并浏览几分钟后，我马上就问自己能够写点什么。写这一 topic 的内涵？学习了一些相关的基本概念和知识后，我确定自己短时间内没有能力驾驭其本质。写关于文章本身的读书笔记？将相关的概念、名词和历史碎片收集起来、并试图整理出一些维度链条和每支链条上的相互作用之后，我同样也确定自己没有能力驾驭这个集合。既然如此，那就干脆既不写这个 topic，因为不大懂；也不写这篇大作的读书笔记，因为没有能力梳理好段落。
写点什么呢！Ising 就开始瞎写了，希望不会拉低陈钢老师这篇大作的高大上地位。
在 Ising 看来，“费米液体 (Fermi liquid, FL)”算得上是量子材料最核心概念之一，当然也包括从 FL 拓展开去的领域如“非费米液体 (non-Fermi liquid, NFL)”。陈钢他们基于费米面载流子与玻色模耦合的深入分析，提出了一类新的、所谓“infinite critical boson NFL”。很显然，Ising 认得这每个单词，也知道玻色模 / 子 (boson)。但将这些单词组合起来，就有点迷糊而不知所以然。怎么办呢？学吧，从头开始，且看 Ising 如何连蒙带猜写笔记。
如果只限于凝聚态物理，那我们讨论的对象，就是由大量相互作用 (准) 粒子组成的体系。对此，物理人着重两个基本认知：对称性 (结构) 与相互作用 (能量)。按照一众物理大师的说辞，这两大认知的地位并不局限于凝聚态物理，对整个物理学可能也是如此。Ising 粗暴，就从这两点基本认知开始“东拉西扯”。
液态的概念，如果只从这两个认知去理解，其实不那么简洁明快。先以电中性分子组成的凝聚态为对象，从几个层面来说明：
(1) 从高温气态到低温晶态的过渡，绝大部分会经过中间的液态。如果只是基于对称性和能量框架，形成液态的物理是什么？这一问题的答案，对 Ising、对很多人而言，不那么明朗。如图 1 所示，首先，从气态到液态，对称性没有明确的选择倾向，因为液态和气态的结构对称性类似，都处于高度无序和高对称性。从气态到液态，经历了何种对称性破缺？其次，对相互作用也没有明确选择，因为固态融化为液态需要的能量，比固态升华为气态需要的升华热，要小很多 (小一个量级吧)。在能标上，液态与固态更接近。因此，从能量角度，气态转变为液态而不是直接到晶态的事实，不是那么容易理解。另一方面，物理人还可讨论这样的思想实验：在一个等温封闭体系中，无序放入足够多的气体分子。这些分子最终会凝聚为晶态，但凝聚过程是否会经历中间的液态？还是一步就从气态转变为晶态？此类问题的答案，也并非清楚，虽然很多分子动力学模拟展示出可能存在一个中间类液态，如图 1(D) / (E) 所示。
图 1. 原子、分子物质的物态：(A) 气态；(B) 液态；(C) 包括固态 (晶态) 在内的三态。分子动力学模拟在 300 K 和 5.6 MPa 压力下得到的 1418 个 CO2 气体分子集合 (D) 和 512 个CO2 液体分子集合 (F)。
(A) https://ibrecap.com/DP/Thermal。(B) https://byjus.com/chemistry/matter-solid-liquid-gas/。(C) https://brainly.in/question/5465367。 (D)/(F) https://www.osti.gov/servlets/purl/1002102/。
总之，从对称性和能量评估，液态是对称性靠近气态、相互作用能靠近固态的状态。“靠近”固 / 气两端、左右逢源通吃，显示了液态通晓“中庸之道”的哲学 (^_^ 调侃言语)：液体可流动以逢迎万物之变幻、很凝聚以团结力量以奔腾。当然，用对其妒忌的话说，液态就是个能左右逢源、滴水不漏的“四不像”！
(2) 除了本身性质外，这三个物态的动力学更是凝聚态物理的关注对象。依靠相互碰撞传递相互作用的理想气体，不管是个体还是宏观整体，其运动已被热力学拿捏得棒棒的。至于晶体，自位错和滑移概念诞生之后，固体受力运动从一般弹性力学进入到弹塑性兼备，也得到很好描述。相关图像成为固体物理的基石之一。偏偏就是这液态，其运动和动力学行为似乎成为凝聚态的难点。读者可能会说：对液态，物理人有一个包罗万象的粘度概念，它完全可将流体分子相互作用及流体力学包罗起来，因此液态问题就不是问题！再加上液态本身被对称性定义的各向同性性质，液态动力学也应该是很简单的物理。殊不知，伯努利流体方程是最难的物理方程？流体流动有层流、紊流和湍流？还有那令人心醉的卡门涡街？如何描绘大江大河那奔流不息和壶口瀑布轰隆之声？如何描写将液态推向极端的、物理学引以为豪的液 - 气超临界性？如何理解非晶玻璃这种超高粘度的动力学行为？这些，无一不是液态带给物理人的挑战、机会和废寝忘食。
总之，液态及其运动，或者说外场驱动下的输运，是比气态和固态输运更难理解和应对的问题。重复一遍，液体流动，用所谓粘滞力描述分子间相互作用，是一种退而求其次的应对。而气态，这种作用表现为以弹性碰撞为主，可被统计物理很好地拿捏。对晶态，则走向另一个极端，用刚弹性和位错组合运动 (collection motion) 也可以很好地描绘其运动行为。惟有这液态，辜负、并形式上背叛了成熟的、经典的力学。
在结束絮叨这些教科书知识之前，再补遗几点：(a) 气态与液态是否存在某种对称性不同？例如后者是否有遍历性破缺？目前答案不明确。(b) 液态是自然界丰富多彩和风花雪月的主体，就如水乃“天壤之间、水居其多”、“水乃万物之首”，这是否在暗示我们对液态所知甚少？(c) 液态分子之间是否像晶态那般存在空间的长程关联和纠缠？目前答案也不明确。(d) 液态物理，是当下有些说不清、道不明的物理，是经典与量子、微观与宏畴的混杂。看起来似乎可以随意对其动刀子、使绊子，做起来却半步危艰。一言以蔽之，液态就是这个“刁”样，不好惹却又很重要。
无独有偶，在量子材料领域，体现这一“刁”样的，还有一个范例，即固体关联电子的微观图像。所要讨论的主题，是固体晶格中巡游电子 (费米子) 集合的状态及其运动 (输运)，包括电子的三个自由度。固体晶格构建起一周期势场，电子于势场中跳跃、迁移，就如孙悟空在如来佛的手掌晶格中“腾云驾雾”一般。只要不违反晶格的“意志”，给定浓度的费米子在晶格中可以呈现气、液、或固态。能带理论中绝缘态是费米子固态，电子被局域化，输运无法发生，在此不做讨论。理想的、无相互作用的巡游电子集合，可被看成气态。而相互作用很强的巡游电子集合，即为费米子组成的液态。
电子在晶格中运动，原本是固体量子问题，而大学物理教科书将其处理成一个经典过程，也就是理想电子气。这样的描述有其合理性，因为巡游电子位于费米能级处，其能量一般远大于附近的朗道能级，因此电子可被粗略地当成气体分子。描述金属导电的 Drude 理论，就是这样建立起来的：电子间没有相互作用，气体整体行为通过弹性碰撞传递。包括电场驱动下的电子碰撞漂移，也可由牛顿力学和热力学处理。Drude 理论给出了欧姆定律表达，这是令人赏心悦目之处。如 Ising 这般学问懒人，自以为只要懂了 Drude，就懂了金属导电的大物理，虽然这大错特错。
其实，电子之间、电子与晶格之间，相互作用可以是很显著的。考虑电磁屏蔽，只有在非常理想的前提下，Drude 理论才表现良好。一旦电子关联效应进来，哪怕是很弱的关联，例如核外轨道有电子、例如晶体结构对称性很低导致平带，Drude 理论都需要进行修正。电子关联，让巡游电子集合不再像气体而更像液体，整体运动更多呈现类液体特征。基于这样的认知，朗道费米液体理论在上世纪五十年代诞生，成为固体量子多体理论的出发点和基础，也是固体物理能带理论之外的另一基石。
图 2. 费米液体的一些简单的概念性图像：(A) 固体中无、有相互作用的电子能级结构。存在相互作用时，电子集合即为朗道费米液体 (FL)。(B) 费米液体 (FL) 和非费米液体 (NFL) 输运对温度的依赖关系。(C) 量子材料相图之示意，显示量子临界点附近存在非费米液体区，其两侧可以是费米液体区、也可以是奇异量子态。
(A) J. A. Sulpizio et al, JMR 21, 2916 (2006), https://link.springer.com/article/10.1557/jmr.2006.0361。(C) J. P. Reid, Physics, 8, 70 (2015), https://physics.aps.org/articles/v8/70。
需要指出，经典气液固三态，以液态描述起来最为复杂。朗道却将关联金属中巡游电子的整体当成液体处理，体现了朗道学派惯于“大道至简”的学术洞察力，也预示出这样的理论必然会面临现实挑战。朗道费米液体理论的细节很数学、很量子，但其理念却较为直接了当，在量子凝聚态物理中地位崇高，就如图 2 所示那般。Ising 外行看热闹，想当然以为有这样几个理由支撑这崇高：
(1) 金属导电一般满足“电子库伦作用大致位于费米能处、远大于费米面附近的朗道能级”的条件。这一理论放弃了用微扰进行处理的标准模式，很好地利用这一条件简化问题。要知道固体物理中的微扰处理，过程可不“微扰”，反而很复杂。即便微扰处理能够得到结果，也可能是一个复杂的理论。
(2) 这一理论没有受分子液态复杂性认知的束缚，而是假定费米液体与自由费米气体的主要性质类似，然后赋予电子以远大于自由电子质量的“有效质量”。按照张裕恒老师的形容，就是给电子腿部绑上一个沙袋，看你怎么快跑！如此有点“感性”的处理，反而得到了意想不到的效果，令人印象深刻。
(3) 大量工作显示，这一理论有不错的普适性，只要所考虑的体系具有良好定义的准粒子图像即可。理论预言，低温区电阻率正比于温度 T2、比热正比于温度 T、磁化率满足 Pauli 顺磁性，如此等等。对一个体系，如果热力学和输运测量能给出这些预期特征，再加上谱学测量给出准粒子峰，则该体系就是一个较为理想的费米液体。
(4) 费米液体是一个量子态，拥有一些独特的量子物性，包括量子纠缠和关联特征。量子自旋液体中的自旋反铁磁关联，即是一个很好的说辞。
昭示读者以朗道费米液体理论重要性的最佳例子，当然是铜基 / 铁基超导体系。随便取来一个空穴掺杂的铜氧化物量子态相图，如图 3(A) 所示，就可看到超越超导 (SC) 区的过掺杂区域，即是一大片费米液体 FL 区。铜氧化物是公认的强关联体系，且过掺杂区域载流子浓度也很高。如此这般，用一个“有效质量”去替代原来的自由电子质量，就可以很好描述相关物理。这一事实令人惊诧，也触发量子材料人对朗道费米液体的巨大好感。
当然，习惯了被量子材料虐待折磨的物理人很快就意识到，这样“大道至简”的图像是难以为继的。毕竟，希冀将一个微观上复杂的多体问题用“有效质量”即轻松带过的梦想，也依然是一个梦想。再看铜基空穴掺杂问题，从基态反铁磁绝缘体 (AF) 开始，载流子浓度增加逐渐打碎反铁磁态，体系进入到那个著名的赝能隙区。这一区域内已经出现电子库珀对，只是它们还无法大量凝聚而已。区域内还有诸如电荷密度波 CDW、自旋密度波 SDW、配对密度波 PDW 等超导关联相出现，在此不论。在超导向费米液体转变的量子临界点附近，还存在显著的电荷 / 自旋量子涨落。如果将眼光移到超导穹顶之上，那里出现了大片宽阔的、所谓“奇异金属 (strange metal)”区域。对费米液体图像再怎么修正，似乎都不足以去描述这一区域的行为。这一区域，现在被统称为“非费米液态 (non-Fermi liquid, NFL)”区，以区别于正常的 FL。在铜基和铁基超导体系中，如上描述均可适用，如图 3 所示。
图 3. 铜基超导和铁基超导的电子相图示例。(A) 简化版铜基超导相图，其中赝能隙 (pseudo gap) 区域内隐含有很多电子态，strange metal 区域即 NFL 态，过掺杂区域即 FL 态。(B) 简化版铁基超导相图，其中电子和空穴掺杂区内均存在有大范围的 FL 和 NFL 相区。
(A) S. Banerjee et al, AIP Conference Proceedings 2005, 020001 (2018), https://doi.org/10.1063/1.5050718。(B) A. Charnukha, JPCM 26, 253203 (2014), https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-8984/26/25/253203。
这些 NFL 区域，可不是可有可无的。不深入理解 NFL，量子材料的研究，特别是非常规超导的研究，似乎就如鲠在喉！Ising 望图生义，开始想象：
(1) 沿载流子 (指可巡游的费米子电子) 浓度坐标轴看，浓度高的区域反而是费米液体金属区，给载流子绑上沙袋即可。而 NFL 或者奇异金属区，对应的载流子浓度不高不低，显示了载流子之空间纠缠与关联的意义，似乎在暗示：因为这些区域的载流子相互距离比费米液体区内的载流子间距大，所以其相互作用能标低，大概率与电子库珀对的结合能差不多，亦或与其它量子态 (如 CDW) 等能量差不多。这样的相区，不大可能呈现正常的费米液态 FL。深入研究这些 NFL 的输运和量子态，是揭示超导电性、发现更多量子效应的需求。
(2) 这些 NFL 区域，的确围绕在超导区周边，特别是位于超导穹顶之上。要知道，超导研究目标之一即是拓宽、拓高超导区域。从超导区两侧的量子临界点处，从高温到低温的超导转变点处，撬动超导相边界以拓宽载流子浓度区、或拔高超导转变温度区，都是我们的最大梦想。研究这些 NFL 的性质和输运行为，也是超导电性应用的需求。
(3) NFL，看起来还是很多新的量子态富矿区。FL 已给我们很多新物理，而 NFL 是超越正常关联金属 FL 的量子态，应会留给我们更多的探索收成。展望这一方向，没有尽头，也因此是物理人的开发保护区。
好吧，那就去看看如何关注 NFL。
首先，要明了，描述 NFL 的理论，至少要能克服当前面临的困难。这个理论应是超越 FL 的、有较好普适性的理论，例如要能复现图 2(C) 和图 3 中的奇异金属区域，要能阐明重费米子体系中 Kondo 机制，要能预言关联体系 Mott 转变，要能刻画超导量子临界点行为，等等。
其次，前人早已开始发展这样的 NFL 理论。例如，一维 Luttinger 非费米液体理论就是代表，的确也可解释部分实验事实。但它也就是个一维模型，构建三维 NFL 理论还面临巨大困难。前人有一些尝试，在“知乎”上笔名“大黄猫”的物理人，有过一个很棒的、简洁的归纳。拷贝罗列如下：(1) 基于准粒子平均场近似和微扰展开方法。将电子用虚构的费米子 (fermions) 和 / 或玻色子 (bosons) 改写，即所谓的 slave fermion 和 Schwinger boson 化方法，得到一个平均场模型及其微扰修正。基于微扰展开的重整化方法也可归于此类。这类方法看起来依然是当下的主要途径。(2) 强耦合展开方法。以关联耦合为主体，动能项反而被处理成微扰项，得到的结果也有一些说服力。(3) 基于相关作用量的深入分析，物理人还致力于构建一些严格可解模型，如 Sachdev – Ye – Kitaev模型，即属于此。(4) 唯象理论，如基于费米液体理论和唯象对偶理论的处理框架，简单直观，可变、可调范围大。
尽管这些工作得到了若干有价值的预言和结论，也得到若干实验的定性支持，但看起来尚未有一个比拟朗道费米液体理论的、优雅成熟的理论框架。甚至，有些物理人在怀疑那样的框架是否存在，显示证否也是一个课题，令人扼腕。这种状况，充分展示了费米液体问题的“刁”样，也成为本文标题的关键词。也正因为如此，构建 NFL 理论的工作，任重而道远，任何尝试和努力都是值得尊重和欣赏的。量子材料领域，也的确有一些孜孜以求于此的学者。
图 4. 陈钢教授他们提出的费米面与临界玻色面之间的耦合图像 (A) 及该理论得出的相图 (B)。
任教于香港大学物理系的陈钢教授，致力于量子凝聚态理论方法的前沿研究，并在若干关联量子物理问题上很有建树。他对 NFL 也有很深入的工作，最近在《npj QM》上发表的这篇题为“Infinite critical boson non-Fermi liquid”论文(一作乃陈钢的博士后张啸天)，宣示一种新的 NFL 理论模型。正如本文文首提及的，Ising 大概难以领会陈钢这一 NFL 理论之深刻内涵。与其囫囵吞枣，还不如节省读者的时间。感兴趣的专业读者，当去研读论文原文。这里，只是很简略列举几点 highlights、且不保证对诸多意涵甚至专业名词的理解是对的：
(1) 考虑长程库伦相互作用和临界玻色模 (bosonic modes at the criticality) 的耦合，是这一理论的出发点。理论试图构建一个模型，描述费米面与一类连续简并流形 (continuously degenerate manifold) 上的临界玻色模耦合，如图 4(A) 所示。这一流形 (manifold)，实际对应一个三维玻色面 (boson surface in three-dimensional space)，其一维情况就是熟知的 Luttinger 液体模型。
(2) 因为无能隙费米子与临界玻色面之间存在耦合，这一理论着重于阐明这一耦合对量子临界性的影响 (critical boson surface-induced quantum criticality)，对应的相图如图 4(B) 所示，美轮美奂。
(3) 针对三维 3D 巡游磁体，既考虑巡游电子的贡献，也考虑局域磁性的作用，是这一理论的创新之处。如果再考虑自旋间非零的 Dzyaloshinskii–Moriya interaction (DM 互作用)，则巡游电子与局域磁矩的耦合就会在三维球面上诱发无限个临界玻色模 (infinite critical bosons)。因此，这一理论是关于无限个巡游费米子 (infinite number of gapless fermions) 被无限个临界玻色模 (infinite number of critical bosons) 散射下的 NFL 理论。它似乎不同于前人基于反铁磁临界性 (如单态量子自旋液体) 或 Ising 向列临界性 (Ising - nematic criticality) 的理论，后者似乎只考虑了有限数目临界玻色模的贡献 (当然，物理上，考虑了有限而主导的那些模式，应该也很好)。
(4) 这一理论，具有更好的普适性和扩展度；也预言一些体系在 NFL 转变点附近将呈现不同的幂指数标度，对理解相变临界动力学也有价值。
陈钢老师他们在论文中详细讨论了这一 NFL 理论与前人理论的区别与联系。随后，他们预言了一些实际量子材料 (如 MnSi 化合物) 的 NFL 行为。当然，理论的意义和预言，需要更多实验和计算工作的佐证。这一理论前瞻几何，尚需拭目以待。不过，一个 NFL，是液体，还是耦合有多种关联互作用的液体，更是携带了多个量子自由度、且依赖多重对称性约束的液体，其“刁”样是可想而知的 (陈钢乃大帅哥一枚，而太帅其实就是一种“刁”^_^)。陈钢他们展示了“针尖对麦芒”的手法，提出了更有普适性的“Infinite critical boson non-Fermi liquid”的图像。希望后来者和实验人，能将这一理论推向更具有实际表征意义的高度，为走向更好的 NFL 理论添砖加瓦，以指导量子材料研究更好地发展！阿门！
雷打不动的结尾：Ising 乃属外行，描述不到之处，敬请谅解。各位有兴趣，还是请前往御览原文。原文链接信息如下：
(1) 编者 Ising，任职南京大学物理学院，兼职《npj Quantum Materials》编辑。
(2) 小文标题“液体总是那么“刁”，费米液体也是”乃感性言辞，不是物理上严谨的说法。描述量子材料中各种量子态和涌现行为，非费米液体理论 NFL 是重要的基础和纽带，取此标题，只是为了体现理解费米液体所面临的挑战。陈钢老师他们的工作，代表了这一努力的新高度。
(3) 笔名“大黄猫”的物理人在《知乎》上简洁归纳的链接地址：https://www.zhihu.com/question/478134153/answer/2060370532。
(4) 文底图片乃拍摄于呼伦贝尔草原北部的额儿古纳湿地 (20230815)。小词 (20230815) 原本写呼伦贝尔大草原的额儿古纳湿地。登上高处，俯瞰湿地；那番景致，令人感叹。这可能也是陈钢老师他们俯瞰 NFL 的感受？“额儿古纳”乃“捧呈、递献”之意，以致敬陈老师他们呈现此一 NFL 理论。
(5) 封面图片展示了包含 Infinite critical boson non-Fermi liquid 的相图，出自陈钢老师他们论文。
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