看课堂上学不到的数学，发现数学之美

几十年来，数学课程已经汇聚了许多基础内容，使学生能够依靠它们来驾驭科学、金融、工程、建筑等学科以及日常生活的方方面面，多得难以尽数！由于在课堂上要讲授的内容非常多，还要保持稳定的教学节奏，所以我们常常错过许多有趣而重要的数学概念、主题和应用。

当学生在学校课程中接触实际的金融问题，比如要根据给定的本金计算相应的利息收益时，如果懂数学，了解具有数学特色的“72法则”，就能够轻而易举地算出银行账户里的存款需要多少时间才能以规定的利率翻一番。

仅仅因为教学时长所限，在课堂上有一些非常简单的几何现象很少被提到。这里面就包括圆内接四边形的一类特殊而直接的性质，例如其对角线与边之间令人难以置信的关系，具体来说就是对角线长度的乘积等于两对对边长度乘积的和。需要注意，只有当四边形的四个顶点位于同一个圆上时才是如此。

另一条在课堂上很少讲到的性质是关于在等边三角形内部随机放置的一个点如何与该三角形中的其他点产生共性的。具体来说，等边三角形内部任意一点到三边的距离之和等于任意另一点到三边的距离之和。

一些日常应用似乎也经常在课堂上被忽视，例如心算乘法的程序化算法。因为有现成的电子计算器，心算在当今的技术时代看起来不是那么必要，但这显然仍是一种宝贵的能力。在本书中，我们将要填补这块空白。

斐波那契数(也许是欧美文化中最常见的一组数)的巧妙应用，能帮助我们心算英里与千米间的转换。这对于在国外旅行的美国人来说尤其有用，因为他们需要将用千米表示的距离转换为他们更熟悉的里程单位来进行度量。

代数是非常有用的，可以用来解释数学上许多让初学者感到惊讶的奇妙现象。例如，大多数老师会教学生如何检验一个数，并确定它是否可以被3整除，但他们不会花时间解释这是为什么。我们相信，知其所以然比知其然更重要。我们将在后面介绍其他数字的可除性规则。

圆锥曲线是高中标准课程的一部分。讲授这部分内容时，教师通常会展示相应的实物模型，但错过了不少真正让学生感到惊奇的实际应用机会。举个例子，用手电筒发出的光线来代表圆锥。手电筒以不同的角度照射地面或墙壁，可以产生不同形状的光斑。这些光斑就是圆锥截面(这里假设手电筒的光圈是圆形的)。根据不同的角度，我们可以得到一个圆、一个椭圆、一条抛物线或一条双曲线。类似地，如果我们从不同的角度看，圆弧(例如建筑物的一部分)就能被看成椭圆弧、双曲线或抛物线。此外，从几何的角度来看，在许多建筑杰作中都能找到圆锥曲线。数学也可以用来帮助我们在画画时构筑视觉深度感知。在文艺复兴时期意大利的许多著名绘画作品中发现的透视概念，为视觉深度感知的进一步研究和完善奠定了基础。莱昂纳多·达·芬奇(Leonardo da Vinci)作为举世闻名的艺术家，也是著名的德国艺术家阿尔布雷特·丢勒(Albrecht Dürer)的榜样。这些人类艺术文化的组成部分都可以从数学的角度来认识和理解，但遗憾的是，在数学教学中，这部分内容往往被忽视了。

概率这个专题在今天的标准课程中越来越受到重视，其中有一些真正令人惊讶和违反直觉的实例，而学习这部分内容的学生常常不知道这些例子。比如，著名的“生日问题”并没有在大多数课堂上讨论，令人遗憾。这个“问题”给出了一些非常违反直觉的结果。例如，它表明在一个30人的房间里，有两个人的出生日期相同的概率是70%；而更令人惊讶的是，它断言在一个55人的房间里，有两个人的出生日期相同的概率是99%。这样的缺失显然削弱了教学效果，所以现在我们借本书让广大读者了解这部分内容。

以学生的考试成绩作为衡量标准的应试教育是这么多奇妙的数学问题没有被纳入教学计划的原因之一。我们试图填补数学教育体系中的一些空白，同时向人们展示，他们在上学的时候可能错过了许多有趣且有用的数学知识。我们将把各小节写得简明，使得要展示的内容清晰易懂。我们还将广泛使用图表来增强示例的吸引力。为了让所介绍的内容易于被读者接受，我们采用面向广大普通读者而不是数学学者的语言进行介绍。我们秉承了法国数学家约瑟夫·迪亚兹·热尔岗(Joseph Diaz Gergonne，1771—1859)的理念，他说：“对于某个理论研究而言，只要我们还不能用几句话向在街上遇到的任意行人解释清楚，它就不能算是令人满意的盖棺定论。”

我们希望通过本书让你更真切地感受数学，更重要的是欣赏数学的力量与美。

本书的几位作者是具有丰富经验的数学教育家，他们在本书中讲述了80多个有趣的数学话题，内容涉及算术、代数、几何、概率以及相关数学常识等五个方面。这些知识超出了传统课堂的讲述范围，但与学生的学习具有一定的相关性，更重要的是展示了数学有趣的一面。在阅读过程中，你会看到许多违反直觉的数学现象，发现隐藏在散乱数字之下的数学之美，领略数学的神奇力量。

图书为软壳平装，小16开本，内页采用80g纯质纸，纸质柔和，不易造成视觉疲劳。适读年龄12岁+，适合广大数学爱好者阅读。

版式：Xman.