世上有多少人和你一起秃头？这条简单的原理给你答案

撰文 | 玛农·比肖夫（Manon Bischoff）

翻译 | 张乃欣

审校 | 不周

世界上有两个头发一样多的人吗？这看上去是个难以证实的问题。但事实正相反，即使没有一个头一个头数过去来验证，这个问题也可以得到一个响亮的回答：“有”。想要证明这点，只需要鸽巢原理，也就是抽屉原理这一条就够了。

抽屉原理听起来几乎简单得离谱。如果你想把n个物体分散开，放入k个抽屉中，并且物体的数量比抽屉数量多（n > k），那么结果会是有几个物体被分到同一个抽屉里。法国学者Jean Leurechon在1622年撰写的一本书中首次提到了这个定理的简单定义，它听起来更像是常识，而不是数学定理。一如既往，斯蒂格勒定律（任何科学发现都不是以其真正的发现者命名的）也适用于此。通常认为，抽屉原理是Peter Gustav Lejeune Dirichlet提出的，他生活在Leurechon之后大约200年。虽然抽屉原理很简单，但它可以证明相当复杂的关系。例如，五个点随机分布在同一球面上，其中至少有四个位于同一半球上。

世上有多少人和我有相同发量？

回到头发的问题：你如何确认世界上某两个人的头发数量是否完全相同？想完成这件事，你首先必须知道一个人最多能有多少头发。根据之前的研究，普通人的平均发量在9万到15万根之间。所以我们可以肯定地说，没有人的头发能超过一百万根。但是，地球上有80亿人口。这意味着，肯定会有一部分人的发量完全相同——至少在其中一个人因梳头而多掉了几根头发之前是这样。不过，再梳几下，他可能就会和另一群人有同样数量的头发了。事实上，Leurechon也选用了头发的例子来介绍抽屉原理。

图片来源：Pixabay

关于人类的头发，还有很多可讨论的地方——例如，世界上拥有相同数量头发的最少人数。我们可以通过考虑两种极端情况来计算这个问题：一种是每个人的头发数量完全相同（如果每个人都剃光头，情况可能会如此），另一种是人们的发量尽可能不同。

为此，我们可以设想有一百万个房间，按升序编号。每个人都会进入一个房间，其中房间号与他们头上的头发数量相对应。如果每个人都有同样的发量，那么所有人最终会进入同一个房间。一个房间里有80亿人，剩下的999,999个房间是空的。

然而，在另一个极端，需要每个房间里有尽可能少的人。那么，此时共享同一间房的最低人数是多少呢？计算这个问题，可以一点一点地填满房间：首先每间房一个人，然后两个人，三个人，以此类推。如果你把80亿人平均分配到一百万个房间中，那么每个房间最终会有8000人。只要你稍微重新分配一下，就肯定会有一个房间人数超过8000人。这意味着，无论人们如何划分，在任何情况下，最满的房间都至少有8000人。因此，这个世界上至少有8000人有相同数量的头发。

加强版的抽屉原理

由此，我们得出一个加强版的抽屉原理：如果n个物体被划分为k个类别，并且n > k，那么至少有n / k个物体属于同一类别。如果这些物体均匀分配在抽屉中，那么平均下来会有n / k个物体最终处于同一个抽屉中。当物体被重新分配，哪怕稍微重新分配，就会有一个抽屉不可避免地包含超过n / k个物体。如果商n / k不是整数，那么我们要寻找的最小值应取向上舍入的整数值，因为那个抽屉必然包含向上舍入值数量的物体。

比如，如果一场足球比赛进了7个球，那就意味着其中一支球队至少进了4个球（7 / 2四舍五入）。这支球队也可以进5个、6个甚至全部7个。或者考虑一些更大的数字：纽约市至少有23 000位居民同一天过生日。纽约市人口约850万，一年有366个不同的生日（不必担心他们的出生年份）。因此，至少有8 500 000 / 366 = 23 000人有相同的生日。

从抽屉原理还能得出一些虽然不太重要但具有娱乐性的陈述。对于数学家来说，其中一个与球面上点的分布有关。如果你在一个球面上随机选择五个位置，那么至少有四个在同一半球上。为了证明这一点，你必须选好半球面：首先，选择五个标记点中的两个，随便哪两个，然后标记这两个点所在的赤道。这样就把球体分成了两半，上面还有另外三个点。根据抽屉原理，它们中的两个必定位于同一半球上。如果将赤道上的点相加，那么无论怎样分布，在同一半球面上总是至少有四个点。

抽屉原理表明，即使是看似理所当然的陈述，在数学中也有巨大的价值。但我们无需大惊小怪。毕竟，这一领域的工作就是基于一些尽可能简单的基本假设，例如，从一个空集可以推断出像哥德尔不完备定理这样复杂的结论。

显然，简单系统也能产生复杂结果。

文章链接：

https://www.scientificamerican.com/article/the-worlds-simplest-theorem-shows-that-8-000-people-globally-have-the-same-number-of-hairs-on-their-head/

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