【知社精选】动力学平均场：三十而已

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30年前德国亚琛(Aachen)的一位物理学家，Dieter Vollhardt, 在北威州一个难得的阳光明媚的下午，一边喝着啤酒，一边和自己的博后Walter Metzner聊天。他们饶有兴致的思考一个原本不是凝聚态物理学家通常会考虑的问题，即如果这个世界是无穷维度的话会怎么样[1]。我们的现实世界只有三维，虽然理论物理学家说它还可能是11维，但是无穷维度显然是一个很大的脑洞了。但是在德国，尤其是在北威州这样阴雨连绵的地方，很容易催生出些带有哲学性的思考。这个在当时看来很理想化的思考，在今天得到了广泛的认可，并已经衍生出了一类非常有效的求解相互作用多电子体系的量子多体方法—动力学平均场（Dynamical Mean-Field Theory）。今天的凝聚态多体物理应该感谢那个阳光明媚的下午…

凝聚态理论物理，是利用理论方法研究和理解凝聚态体系微观机制和宏观响应的一门学问。它作为一个研究方向，既属于理论物理范畴，也同时存在于凝聚态物理中。笔者当年在报考研究生的时候，不清楚凝聚态理论隶属于哪个二级学科，还找未来导师求证过。后被告知，凝聚态理论既可以报考理论物理也可以报考凝聚态物理。不知道这是不是仅仅因为当年导师在两个方向都收学生。但是相信很多人都会同意，虽然凝聚态理论其研究对象是凝聚态体系，但其研究方法和技术手段借鉴和吸收了很多其他理论物理方向上的概念和理解。比如基本粒子、弦理论，各种场论等等。凝聚态理论有一个特点，就是它所面对的体系是一个由宏观量级数目的全同粒子构成。它们长得都一样，如果它们给自己开启了面部支付功能的话，恐怕财富就要共享了。但是他们两两在一起的时候，又可以因为一个叫做交换对称/反对称性的特殊属性，区分成玻色子和费米子，而各自遵从不同的统计规律。玻色子具有群居属性，像我们喜欢的狗狗一样；而费米子不喜欢彼此，具有回避型人格，像我们愿意伺候的猫主子。费米子的这种不相容属性是由泡利发现的（他可能不喜欢猫吧），后来我们可怜的猫主子也不被大神爱因斯坦喜欢，在与波尔的神仙打架中充当炮灰，被弄得半死不活。

虽然我们现实世界中的很多材料都是费米子体系，但是这些早年的理论物理学家们似乎更喜欢玻色子。看到各种奇奇怪怪的不是玻色子的东西，就要弄成玻色子，还给这个过程起了个专门的名字，叫做玻色化。最简单，也是大家最为熟知的玻色化可能是自旋波理论了吧。这里，人们把不方便处理的自旋算符（它们遵从自己约定好的自旋对易关系）通过Holstein-Primakoff变换[2]，转换成了熟悉的玻色子算符。这个过程虽然简单，但其中其实隐藏了凝聚态理论处理多体系统时候的一个常用原则，就是把不熟悉的东西先变形成自己熟悉的东西。人们面对一个全新问题的时候，最简单，最容易入手的办法就是如此。先看一看这个问题是不是仅仅只是另外一个自己会算的题目的某种变形，只要能找到这个变形的方法，那问题就解决一大半了。如果找不到任何已有理论对照，那怎么办呢？恭喜你，你找到了一个非常好的课题，这个领域可能就是你的了。

Pictures are taken from “Histroy of the NYU Physics Department”, 

Phys. Perspect. 13 (2011) 260

即使凝聚态理论发展多年，这个原则依然适用，相信也将继续适用下去。前人留下的理解，尤其是严格可解极限都是非常宝贵的财富。只是，似乎在凝聚态量子多体理论中，这个原则被应用的次数显得更多些。这从另一个侧面，也反映了凝聚态量子多体系统的复杂之处，即大多数的情况下它们所对应的多体理论都是很难求解的，很难找到一个全新的、优美的解法使得问题严格可解。更多的时候，人们不得不做出适当的取舍。即便如此，当经过某种简化后，一个理论如果能够近似等效为某个已知的严格可解极限，那也是非常珍贵的。因此，严格可解模型及定理在凝聚态理论中是非常宝贵的资源。

对于多费米子系统，这样的严格可解极限，少之又少。通常情况下，多个费米子集合在一起的时候，它们就会像一群小学生被放到操场上一样，到处跑来跑去，你追我赶，而且还会不断打闹，行为非常的不统一。在物理学上，我们用动能和势能来描述这两种不同的行为。单个费米子跑来跑去的行为被描述为动能，两个费米子扭在一起打架的行为被描述为两体相互作用势能。这两种行为显然是不容易同时发生的，物理上就说它们不对易。这种两体相互作用是可以发生在任何一对费米子之间的，因此这种打架行为可以衍生为群殴。老师表示非常头疼…问题很难解…

在寻找严格可解多体模型的过程中，数学物理扮演了非常重要的作用。比如，我们熟知的Lieb-Mattis定理、一维Hubbard模型的Bethe-Anstaz解、二维半满Hubbard模型的基态、Mermin-Wagner定理等等。它们一方面为物理系统的多体行为提供了严格约束，另一方面也为复杂系统提供了可解极限。开篇提到的D. Vollhardt和W. Metzner所研究的无穷维极限就是这样一个严格可解极限。如果我们分别考虑每个维度下的简单格子，即一维链、二维平方晶格、三维简立方晶格，我们会发现每一个格点周围的最近邻格点数目随着维度的增加而增加。因此，无穷维极限可以在结构上理解为每一个格点都有无穷多个最近邻的格点。D. Vollhardt和W. Metzner发现，这时电子完全失去了动能，电子间的库仑排斥力也仅限于同一个格点上的两个电子间才存在了。这个结果其实是很自然的，因为我们在电磁学中学习过电子的屏蔽效应。当周围的电子多到无穷个的时候，一切都被屏蔽到只有自关联了。虽然这个结论看似简单，但是却将原本非常难以求解的Hubbard模型等效成了Anderson杂质模型。对于后者，理论学家已经建立多种有效的求解方法…

D. Vollhardt和W. Metzner1989年的这篇工作开启了一个全新的时代，在后续Gabriel Kotliar和Antonie Georges的努力下发展成了今天我们熟知的动力学平均场。在这个过程中留下了很多优秀的名字，比如：

等等，国内的戴希、万贤纲、杨义峰、卢仲毅、孟子杨、同宁华、殷志平、黄理等老师们也做出了重要贡献。恕笔者才疏学浅，不能穷尽所有有贡献的前辈同仁。这个领域仍然在蓬勃的向前发展，我们也非常期待下一个30年DMFT会带给凝聚态强关联电子理论怎样的改变。

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