【经典回顾】动力学平均场7：超越局域近似—费曼图展开（1）

在上一个系列中我们介绍了一种动力学平均场的非局域扩展思路—团簇展开。它是单杂质动力学平均场的自然延伸，从思路上讲，这是一种简单的扩展。尽管从计算的角度看，计算团簇的动力学平均场方程在某些情况下远比计算单杂质的动力学平均场方程复杂，但是概念上并没有什么新的发现。各种不同扩展方法间的唯一区别，只是如何将一个有限大小的团簇内嵌在无穷大的格子体系中。用更简单的语言讲，就是如何处理团簇的边界条件及如何做动力学平均场的部分动量求和。

团簇动力学平均场方法的好处在于，只要团簇方程可以严格求解，团簇内部的所有电子关联都是被完整考虑的，而团簇外的关联是平均场近似。因为计算量大小的限制，我们通常只能考虑有限大小的团簇，例如16， 32， 48个格点等。目前已知能做的最大团簇是在100-150之间，是E. Gull发展了sub-matrix技术后实现的[1]。推荐对如何优化大矩阵乘法计算效率的朋友了解一下该方法。它并非是通过降低操作数目提高计算效率，而是根据目前计算机的x86架构，充分考虑了计算机寄存器、缓存和内存之间效率的差别，而专门设计的一种快速更新算法。这个方法的提出，得益于超算和算法优化这样的软件工程，是跨学科合作的典范。在计算物理高度发达的今天，软硬相结合，在某种意义上也为计算科学向前发展提供了一个指导思路，有很强的借鉴意义。

团簇扩展方法，因为实际能计算的团簇大小有限，通常会对诸如关联长度之类的物理量估计错误。对于一个有限大小的团簇，如果宏观体系仅仅只具有某种有限长度的关联（例如短程磁有序），但是这个有限大小的关联长度却超出了团簇尺度，那么对于这个团簇而言，它看到就是长程有序。因此，随着温度的下降，当某种关联在不断形成时，团簇动力学平均场会在一个相对较高的温度就认为体系已经具有长程序了，而实际情况仅仅只是关联长度超出了团簇的大小。这就导致，我们会错误估计很多和长程有序相关的物理量。

基于这个原因，我们希望可以找到团簇动力学平均场的某种替代方法，最好它可以同时考虑长程和短程的关联。我们知道，如果已经有了动力学的信息，同时又严格的考虑了长程和短程的关联，那这个量子问题就严格被求解了，这显然是做不到的。这就是面临取舍的时刻。我们只能在严格和关联长度之间二选一。团簇动力学平均场方法选择了前者，今天我们要介绍选择第二个选项的结果。这就是动力学平均场非局域扩展之费曼图展开。

没错，又是那个费曼！做凝聚态量子多体理论的人，是不能绕开这位前辈的。费曼对于物理的一大贡献就是微扰展开理论。其基本思想是把一个复杂问题分解成两个部分，其中一个部分很大程度上能代表整体的性质，并且可以被严格求解（或较好的近似），另外一部分就是贡献相对比较小的部分。微扰展开的意思是以第一部分为零阶极限，将第二部分做泰勒展开。展开的项有无穷多阶，每一阶都是对零阶结果的修正。计算的展开项越多，修正就越多，微扰展开计算的结果就越接近严格结果。在展开的过程中，可以通过所谓的自能函数、戴森方程和自洽条件，仅用有限阶的计算表达至无穷阶的部分求和（暴躁的老师又要敲黑板了…）。

我们这里打算分两次介绍两种有代表性的动力学平均场的费曼图展开方法，dual-fermion approach (DF) [2] 和dynamical vertex approximation (DΓA) [3]。它们中的数学都看起来有点“优美”，但其实并没有那么复杂，在朦胧的面纱后面都是我们熟悉的老朋友。