【经典回顾】动力学平均场6：超越局域近似—团簇展开

动力学平均场虽然是一个非常好的量子多体近似方案，但是它仅仅严格计入了电子的局域关联，所有超越局域尺度的电子关联都被当做平均场来处理。因此，不难理解，任何具有非局域关联属性的物理问题，都不能够准确的被动力学平剧场来描述。这些问题包括，非s波超导、反铁磁及非共线量子磁性、各种密度波等。从物理本质而言，这些非局域物理主导的问题，并不适合用简单的动力学平均场方法来描述。尽管，没有原则性问题可以阻碍我们利用动力学平均场去研究此类问题，但是由于非局域信息的缺失，其研究结果要审慎对待。

 如果所面对的物理问题，仅仅只是短程关联起主导作用，那么我们可以考虑将动力学平均场的单杂质扩展成为一个团簇。动力学平均场的团簇展开想法是杂质模型的自然延伸。动力学平均场计算出的自能函数之所以没有动量的依赖关系，是因为实空间中的电子关联仅仅存在于一个点上，自能仅仅只是一个局域函数。我们知道，实空间中的局域函数，傅里叶变换到动量空间中是一个在所有动量下都相等的常数，所有动量上的自能都和Γ点上的自能函数一模一样，这时候我们也说体系的有效动量只有一个Γ点。如果我们从动量空间观察自能函数的话，它是没有任何色散的。如果我们将一个单杂质点扩展成一个团簇，例如下图中给出的平方晶格上三个不同大小的团簇选择，那么团簇内部的电子关联是都可以被严格考虑进来的（让我们假设杂质求解器至少是数值严格的）。

根据团簇大小的不同，相应的，动量空间中的分辨率也就会不同。我们用下图中的N_c=2和N_c=4的两个不同大小的格子来简单介绍一下。相对于原来单杂质情形，N_c=2是一个的超胞，超胞内部包含了两个格点。如果计算了这样的一个团簇，除了局域关联外，我们也具有最近邻的电子关联效应。这已经比N_c=1的单杂质情况要好了。在动量空间中，其布里渊区大小是N_c=1的单杂质模型的一半大小。下图中的浅蓝色和红色区域分别为N_c=1和N_c=2的布里渊区。为了与常规的N_c=1的动力学平均场做比较，我们总是以这个蓝色的布里渊区为基准。在N_c=2的团簇中，这个布里渊区被分成了两部分，一部分是红色的以Γ点为中心的超胞的布里渊区，一部分是蓝色的以为中心的部分。这个蓝色的部分看起来是4块，其实通过平移布里渊区的倒格矢可以合并为一块，大小和红色的相同，但是中心在处。这个时候，我们就说，N_c=2的团簇对应的独立动量点有两个，一个是Γ，一个是。在每一个动量区域中，自能具有相同的值，不同的动量区域中自能值可能不同。因此在不同动量区域边界，自能函数可能是跳变的。

同样的道理，在N_c=4的团簇中，我们可以考虑的电子关联又变长了一些。除了局域和最近邻的电子关联效应，我们也有了次近邻的电子关联效应。其对应的布里渊区是下图中的右图。完整的布里渊区被分成了4块，这四块分别是以Γ，，,为中心。但是由于平方晶格的四重旋转对称性，和这两个动量区域是等价的。因此，将单杂质扩充为N_c=4的团簇后，我们只有三个独立的动量，而不是四个。计算得到的自能函数在整个布里渊区中将不再是一个常数，而是在这三个不同的动量区域中取不同的值。

上面介绍的是团簇动力学平均场的基本特点和共性。核心在于通过增加实空间中的格点数目增加布里渊区中独立动量的个数，这样就相应的得到了在分立动量点上的不同自能函数。相信大家还记得，动力学平均场不同于孤立杂质的关键在于这个杂质是内嵌在一个无限大小的格子里面的，当我们将单杂质扩充为一个小团簇的时候，我们也将该团簇内嵌于无穷大小的格子里。根据内嵌方式的不同，有两种常用的团簇动力学平均场方案。一个是Cellular Dynamical Mean-FieldTheory (CDMFT) [1] 和Dynamical Cluster Approximation (DCA) [2]。

在介绍上述两篇工作之前，我们先来介绍一下另外一个也很重要的尝试。与上述两篇工作差不多同时，A. I. Lichtenstein和M.I. Katsnelson在2000年利用团簇动力学平均场的思想研究了平方晶格中d波超导和反铁磁序竞争[3]。他们将2x2的团簇内嵌在无限大小的格子中，但内嵌的方式比较直接，他们直接将这个团簇当成一个单杂质，考虑了实空间团簇内部的不同，但并没有区分从单杂质变化成团簇后的布里渊区改变，动量求和仍然是在全布里渊区内完成的。在2001年，G. Kotliar提出了Cellular Dynamical Mean-Field 方法，与这个方法相对应，我们现在常把A.I. Lichtenstein的方法称为Cluster DMFT。G.Kotliar考虑到了一个实空间的团簇内嵌在无限大小的格子中后，会在两个地方引起变化。一是单电子跃迁分成了团簇内跃迁和团簇外跃迁两种，不应该像A. I. Lichtenstein那样，把两者等价起来；另外一个变化是我们前面讲过的，团簇的布里渊区变小了，我们所计算的动力学平均场求和的动量范围应该相应的变化。

G. Kotalir的做法非常直观。如上图所示，将实空间中的任意一个格点分成团簇内部的坐标和团簇原点的坐标之和；相应的，动量空间中的任何一点也分成约化布里渊区内部的动量和约化布里渊区中心点动量之和。分离的直接结果是我们可以定义部分傅里叶变换，即仅对团簇内部或者团簇间做傅里叶变换。如果把团簇的格点数目变为一个或者无穷多个，这样的部分傅里叶变换自然的就还原成正常的傅里叶变换。

和动力学平均场一样，将有限大小的体系内嵌在无限格子中等效为要将对应的布里渊区求和。这里引入团簇，并做了上述的变量分离后，对动量求和就变成了只对的求和。这个很好理解，类似于单杂质情形，最终在杂质求解器中计算的是团簇，所有团簇外的变量都不会存在。对应到布里渊区中，所有和跨团簇相联系的动量都要被求和掉。做了这样的部分动量求和后，团簇间的跃迁就会被重整化携带有一个额外的傅里叶因子，而团簇内部的跃迁保持原来的大小不变，这其实对应的恰好就是我们在写紧束缚模型时的一种常用规范。当定义好了跃迁的规范后，就可以写下团簇内所有格点所对应的紧束缚模型和格林函数了，将格林函数对约化布里渊区中的所有求和，我们就得到了一个这个团簇的外斯格林函数，剩下的计算及自洽方程就可以类比于单杂质动力学平均场很自然的写出来了。

CDMFT相对于Cluster DMFT而言，它正确的定义了团簇动量，并且明确了动量求和仅针对约化布里渊区内的动量。CDMFT中得到的格林函数是直接在团簇内格点的实空间坐标上表示的，既存在同一个格点上的局域格林函数，也存在团簇内不同格点间的格林函数。2000年M. H. Hettler等人提出了另外一种团簇动力学平均场方法DCA。不同于CDMFT，DCA是在动量空间中构建的。前面介绍过了，引入团簇的结果是将布里渊区分成了若干个小的等面积的区域，在每个区域中自能函数是一个常数值，不同区域间自能并不相等。DCA方法也考虑到了自洽方程的核心是对部分动量求和，它将原布里渊区中的格林函数分别在每个小的约化布里渊区中进行部分动量求和，从而得到了若干个定义在约化布里渊区中心动量点上的格林函数。例如上图所示的2x2平方团簇中，会有四个动量点（只有三个是独立的），部分动量求和后会得到四个动量空间中对角的格林函数。傅里叶变换到实空间，就同样得到了4x4的实空间格林函数，既有局域的，也有非局域的分量。CDMFT对应的自能也有局域和非局域两部分的贡献。通过特别的傅里叶变换，CDMFT可以做到自能的动量连续依赖。

在DCA方法中自能对动量的依赖是不连续的。随着团簇大小的增加，自能函数的动量依赖变得就越来越连续。但也很显然，计算量就会变得越来越大。那是否有办法利用有限大小的团簇，计算得到连续的自能动量依赖呢？T. Maier and T.C. Schulthess考虑了简单的动量外延插值。他们假定，自能是动量的一个连续函数。在有限大小的团簇计算中，每一个约化布里渊区中的自能函数都是相同的，他们将每个约化布里渊区中心点的自能连接起来后做插值，使其变成动量的连续函数[4, 5]，如下图所示。左侧是的是16个格点的团簇DCA计算得到的动能实部和虚部。由于仅有有限个动量点，计算得到的自能是阶梯状的。进行连续插值后变成了右侧动量的连续函数。这样可以仅用较少的计算量，在一个较小的团簇中也可以得到动量连续的自能。

取自arXiv:1901.01047 (2019)

在DCA中直接对自能在动量空间中插值，虽然可以得到连续的色散，却会导致“因果律(causality)”的破坏 [8]。这样的问题也存在于将DMFT局域自能与GW的非局域自能直接结合的GW+DMFT中。因果律强调的是自洽计算中输入的物理量如果是谱正定的（即符合物理规律的），那么计算得到的物理量也应当是谱正定的。然而，当自洽条件不合理时，这样的因果律就很难保证了。因此，尽管我们可能因为某种原因对自洽条件做了些近似，但这些近似也不应当破坏最基本的因果律。最近，法国的Silke Biermann组注意到了这个在动力学非局域扩展中普遍存在的问题，并提出了改进的自洽条件 [9]。该新方案不仅仅适用于DCA和GW+DMFT，对于任意同时具有局域和非局域自能的动力学平均场方法均适用。

由于CDMFT和DCA构建方式的不同，两者的团簇格林函数实际上不同的。两个课题组曾经针对有限团簇大小的收敛速度做过短暂的讨论 [6, 7]。这里笔者就不多评述了，留给各位看客自己判断吧。实际上，我们更关心的是这两种方法哪一种更适合自己研究的问题。CDMFT是一个从实空间出发构造的团簇方法， 而DCA是在动量空间中构造的，处理自洽条件的时候相对简单些，因此用的人比较多些。同时，其格林函数在动量空间中是对角的特性，也使得用蒙特卡洛方法求解团簇问题时的“负符号”问题大大减小。实际上从一个方法的程序改写到另外一个方法，仅仅需要非常少的改动，两者最核心的差别只是在团簇的边界条件处理上不同而已，其他并无本质差别。

各种团簇动力平均场方法的核心都是将单杂质扩充成为一个小的团簇，然后将其内嵌在无限大小的格子中，形成对应的自洽方程。团簇动力学平均场方法的核心是如何求解一个小的团簇问题，这仍然是一个计算物理的问题。与单杂质动力学平均场类似，需要借助各种数值工具的帮助。我们在系列之三种介绍过的诸多方法，并不能直接拿过来用。在求解团簇问题上，常用的求解器仍然是量子蒙特卡洛和精确对角化。如何能够更快的计算更大的团簇，仍然是一个需要解决的问题，这也是强关联多体问题本身的困难之处，是不容易绕开的。目前的团簇动力学平均场方法基本上集中在单轨道问题的研究上。因为计算量和具体数值方法本身限制的原因，轨道自由度和动量自由度在动力学平均场方法中目前仍然很难同时存在[10]。