数学好就聪明，是种错觉？

文｜苗炜

小学一年级的数学课就有很简单的应用题了，我老担心儿子看不懂问题，不知道怎么把文字提出的一个问题转化为一个数学问题。其实大人也容易被文字绕晕，比如那道经典题目：三个女人去一家汽车旅馆，入住一个标价27美元的房间，她们每人给行李工10美元，让他去交钱。行李工到前台，发现房价实际上是25美元，他给前台25美元，回到房间交给客人每人1美元，他隐瞒了实际的房价，侵吞了2美元。每个客人付出9美元，一共27美元，再加行李工侵吞的2美元，一共是29美元。那么剩下的1美元去了哪里？从数学运算上来说，这不超过小学一年级的水平，但这里头的陷阱，小孩子还无法识破。

《奇迹男孩》剧照

我是在《怎样解题：数学竞赛攻关宝典》中看到这个题目的，作者指出，这道题故意将读者引到思考行李工所得到的钱和客人所付出的钱应该等于30美元这个思路上。作者说：“我们应该思维引申，如果房费是0美元呢？行李工可以把27美元独吞，客人还是付出了27美元，两者相加是54美元了。”作者说，淘气顽皮的孩子总比文静、顺从的孩子更能解决问题，我们总给自己的思维加上不必要的规则。这道题对我来说并不难，但我从来没想过“思维引申”一下，把房费推到0美元，这倒不是说我文静而顺从，而是“笨”。

我是在上高中的时候发现自己笨的，那是一所在北京还不错的高中，所以我入学之前那个暑假，在家苦读了一本“美国数学竞赛题”。等我进了高一，学校要开计算机课，想学计算机的同学要参加一次数学测验，我报名参加了。测验试题跟我看过的“竞赛题”很像，我考得还不错，顺利入围。但我慢慢发现，周围的同学太聪明了。他们的解题能力比我强太多了，我觉得自己太笨了。当时的我可没有想到，那几个同学之所以更聪明，可能在于他们不仅看了美国数学竞赛题，还看了苏联竞赛题和匈牙利竞赛题，解题能力是可以培养出来的。

《心灵捕手》剧照

《怎样解题》一书的作者叫保罗·蔡茨，曾经参加过1974年的国际奥林匹克数学竞赛，现在是旧金山大学的教授。他说，“练习题”跟“问题”不是一回事，善于“解题”的人总显得鹤立鸡群，好像他们的大脑和别人不一样，“他们更坚韧，对问题的敏感程度也比常人高，思维也更活跃。具备这些优秀品质的人并不很多，但从现在开始拥有这些品质并不是件难事”。

蔡茨说，面对问题的第一步是“心理战略”，要做到永不放弃，尝试不同的路径，也要大胆地把别人的思想方法拿过来据为己有。很多初学者缺乏坚韧的意志，不够自信，不够专心，面对问题时过早地放弃，这是学不好数学的。初学者要进步，在学习各种解题技巧前，首先要做到坚韧不拔。

蔡茨引用了乔治·波利亚的一段话：“老鼠看起来像是知道要发生什么，疯狂地在笼子里蹦着，使劲地朝栅栏上撞着，一会儿朝这边，一会儿朝那边，在最后一刹那它终于成功地挤了出去。捕鼠器某一边的栅栏中间肯定有一个缝隙比较宽。我默默地为老鼠庆幸，它解决了一个很大问题。这也就是解题的途径。我们必须一试再试，直到最后我们看出各种缝隙之间的细微差别未知。我们必须不断更换我们的试验，使得我们能探测到问题的各个方面。鼠类和人所使用的基本方法是一样的，一再地去试，多次变化方法，不致错过那少许的可能性。人不需要用肉体去撞障碍物，他用智力去撞，人能够比老鼠更多地变化其方法且能从挫折中学到更多的东西。”

《模仿游戏》剧照

乔治·波利亚这段话出自《数学的发现》。我从我的书架上找到《数学的发现》第一卷，内蒙古人民出版社1979年11月第一版，1980年9月第一次印刷。定价0.94元，印数42300册。第二卷1982年8月第一次印刷，定价1.10元，印数6100册。这两本书都是我上初中时买的，里面夹着一张纸，上面是初中数学小组指导老师的笔迹，是在解一个方程。这两本书跟着我40年，不断搬家，虽然当年我就没有读下去，但一直留着，证明自己也曾喜欢过数学。

我重新翻了翻《数学的发现》，发现乔治·波利亚引用了不少名人名言来讲解题，比如说：“那些曾使你不得不亲自动手发现的东西，会在你脑中留下一条路径，一旦有所需要，你就可以重新运用它。”再比如：“人类的大脑像是一个筛子，你思考时就在晃这个筛子，直到某些细微的东西筛落为止，当它们筛落时，正在搜索的注意力就会抓住一些有用的东西。”再比如——我们不应该说“我在想”，而应该说“在想着”，就好像我们说“下雨了”或者“打雷了”，有一种智力的自发活动，我们对它，就像对自然界的巨大力量一样还不能完全支配。

波利亚花了大量的篇幅来讲“解题思路”，讲学生该怎么训练自己的脑子。现在的认知心理学告诉我们，大脑其实不擅长思索，思索很累，而且经常出错，所以我们倾向于避免思索。不过，大脑喜欢尝到一点儿甜头儿，如果我们思索了一个简单的问题，然后得到“我很聪明”的感觉，大脑就愿意继续思考下去。据说，现在的教学法都根据认知心理学调整了一下难度，让大脑总能尝到点儿甜头儿。

《天才少女》剧照

我当年所谓的“喜欢数学”，不过是尝到了一点儿甜头儿，有了那种“我很聪明”的感觉，等那种“我很聪明”的感觉受到了打击，我就把兴趣放到徐志摩那里去了。比如波利亚《数学的发现》第一章有一道题——海图上标有三座灯塔，某船可以同时看到这三座灯塔，如果已经测得从它们发来的光线间的夹角，试确定船在海图上的位置。我不会解，甚至不知道怎么把它转化为数学形式，相比之下，看看关于大海和航行的诗，容易多了。

保罗·蔡茨最开始的练习很简单，包括凝望星空，做字谜游戏，练习瑜伽和冥想，看侦探小说，进行复杂的心算，用平方差公式算一下87的平方是多少、577的平方是多少，等等。他说，只要你觉得面对的问题有趣，就不会在意花多少时间去思考，起初你也许思考15分钟就感到不耐烦，通过训练，你能做到连续几个小时独立思考同一个问题，甚至几天几个星期在头脑中反复考虑着某个问题，而将其他的一切抛开。锻炼意志的坚韧性需要时间，做到长期的坚韧不拔并持之以恒是一生的任务。他说，要进行大量的练习，能否解决所有问题，这并不重要，将那么几个不能解决的问题留在脑海里，并经常有意无意地回想它们，这是很有意思的事。

这种坚韧Grit教育，我上小学的时候就接受过。我们那位数学老师，讲不明白什么叫哥德巴赫猜想，但是会讲陈景润的故事。我们知道了陈景润和华罗庚，知道了高斯。多年之后，我还知道了佩雷尔曼和张益唐，他们是数学天才，也非常之坚毅。佩雷尔曼解决了庞加莱猜想，张益唐解决了孪生素数问题。许多家长让自己孩子学奥数，估计也是想培养一下Grit精神。

《天才少女》剧照

科学记者玛莎·葛森写过一本书叫《完美的证明》。玛莎·葛森原来在俄罗斯长大，曾经被当作奥数竞赛选手培养，她是女生，优先级逊于男生。后来她移居美国，成为一个科学记者。佩雷尔曼很可能患有阿斯伯格症，不喜欢社交，在圣彼得堡隐居。玛莎·葛森未能采访到佩雷尔曼，但她采访到了佩雷尔曼的老师，从参加奥数培训的老师，到研究生老师。

这本书更像是讲俄罗斯如何培训奥数选手的故事。俄罗斯重视数学物理，他们寻找那些“上帝赐予灵光的孩子”，送到那些以数字编号的专门学校里培训，数学不给意识形态留下空隙，佩雷尔曼就是这样培养出来的，到后来，庞加莱猜想对他来说，就是一个奥数题目。

《美丽心灵》剧照

作者描述佩雷尔曼进入239学校时说：“数学学校的环境确保佩雷尔曼对于生活的逻辑性观念毫不动摇，可以绝对心无旁骛专注于数学学习。这一环境让佩雷尔曼避免面对这样一个现实：他生活在人类世界中，这个世界上每一个人都有他们各自的思想和观念，都有各自的情感和欲望。有很多颇具禀赋的孩子，在成长过程中的某一刻忽然发觉思想的世界和人类的世界在互相抗衡，需要他们投入精力去关注。很多人做出了艰难的选择，在这两个世界中选择了一个。

第239学校不仅使佩雷尔曼避免做这种选择，甚至让他不曾注意这种对立。”佩雷尔曼的妈妈卢波伏，本来有机会读数学研究生的，但她选择了结婚生子，去中专教书，后来她把儿子送去学数学。俄罗斯大多数数学老师都坚信，有些孩子生来就有寻求数学模式的倾向，这部分孩子必须被发现，并对他们进行指导，培养他们这种技能。

我看了《完美的证明》一书，基本上就放弃了让儿子学奥数的念头了。但我一时也不知道有什么比解数学题更好的，训练一个人坚韧不拔地长期思索的方法。乔治·波利亚说，高中课堂上的学生，未来的职业可能有三类：数学家，用到数学的人，不用数学的人。第一类比较广泛，包括物理学家、天文学家、某些领域的工程师，他们只占学生比例的1%，他们会用数学来思考。第二类是数学的应用者，而不是数学的生产者，他们占学生比例的29%。第三类基本上没运用过超过小学水平的数学，70%的学生都属于这一类。老师要发掘那1%，对29%的学生进行技术训练。因为面对的学生是三七开的，他在讲解题时，应该讲三分之一的数学和三分之二的常识。所谓“常识”就是某种有益的思维习惯，能把常识教好也非常不容易，这是为70%以后用不到数学的人做的一件最有意义的事。

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什么叫“常识”呢？我们看看蔡茨怎么讲解30美元的那道题。这里面涉及一个概念叫“恒定不变量”，不变量是问题中不随其他量变化而改变的量，通常是一个数值。出题目的人诱导你误以为30美元是恒定不变的，其实，三个人入住一家汽车旅馆，设g、p、d分别代表顾客所有花费的总量、收银员收取的费用以及行李工拿走的钱，g减去p再减去d等于0，这是一个不变量。我们还记得欧拉公式吗？欧拉公式描述的是任意多面体顶点、棱和面的数量关系，以v、e、f分别代表一个无孔多面体的顶点、棱和面的数量，v-e+f=2都成立，也就是说v-e+f是一个不变量。

我本以为不变量是学高等数学之后才学到的一个概念呢，没想到蔡茨处理这样一道加减法的问题就讲到了不变量。我在一本小学六年级的奥数教材上，也找到了“不变量”这个概念。分数43/61的分子和分母同时加上一个数，变成了分数7/9，求所加的那个数是多少。这里头的不变量是分子和分母的差。这道题还是很简单的，能帮我再次找到“我很聪明”的那种错觉。

（本文源自三联数字刊2023年17期 ）

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