数学家为什么那么聪明？

来源：图灵新书《数学的雨伞下》

鲁稚的阳台  编辑

数学非常擅长制造两个指南针：一个叫“实用”，一个叫“优雅”。

理解世界，是人类伟大而神奇的能力。我们每个人从小就有这种理解力，五六岁的孩子都能回答出火车和自行车谁跑得更快，长颈鹿和大象谁更高，天上的星星和幼儿园班里的小朋友谁更多，抛上天空的苹果为什么会掉下来……现实世界很复杂，问题也会变得复杂：天上的星星很多，它们的数量大约在什么数量级上？孩子未必能回答，但他/她可能会瞎猜“几百万”“几亿”……随便什么大数，却不会说“几十”“几百”。

看，其实人人都有理解世界的“数学脑”。

遗憾的是，我们大多数人的“数学脑”可能就停留在这个阶段了。我们不禁要问：牛顿、伽利略、爱因斯坦这些科学家怎么会那么聪明？他们是怎么把“加速度”“引力”这些概念摸清的？他们为什么会发明微积分学这种厉害的东西？他们怎么想到用相对论来描述迷人的时空？

01

数学家的脑袋和普通人的到底有什么不同呢？《数学的雨伞下》和《万物皆数》的作者米卡埃尔·洛奈讲了这么一个故事：

我记得几年前经常合作的一位数学家朋友曾经说过一句话。当时我们俩正要道别，我们决定在两周后的同一天、同一时间再见。在她掏出记事本以便记下见面的日期时，我听到她喃喃低语了一句，多半是说给她自己而不是说给我听的：“今天是4月20号，那么14天之后就是34号，那就是34减30——5月4号。”这个算法让我笑了。

我在回程的地铁上想了很长时间，她发明了一个不存在的日期：4月34号。这种思维方式对于一个受过数学训练的人来说既自然又典型！

当天晚上，我对几个并非数学专业出身的朋友提出了这个问题：“14天后是几号？”我发现他们每一个人推导日期的方式都不一样。有人说，10天之后是4月30号，所以11天之后就是5月1号，那么14天之后就是5月4号。从4月到5月的过渡打破了算术的规则，因为30的后面是1，这一过渡似乎把他们限制在一个数学之外的步骤上去进行月份转换。

由于数字的自然增长被打断了，因此必须着意打断这种思维。而我必须承认，如果有人对我提出这个问题，我很可能也会这样推导日期。相反，我的那位数学家朋友并没有在这些太过实际的障碍上停滞不前。4月的最后一个日期没有对她的加法形成任何妨碍。因为20加14等于34，所以日期就会是4月34号。而4月34号就等于5月4号，仅此而已。她发明了一个不存在的日期，以便让自己的推导直达目标。而这丝毫没有妨碍她得到正确的结果！

现实中的挑战，学习中的问题，有时候就像一场突如其来的大雨，让你不知所措。这时，数学就发挥了重要作用。数学，可以用不存在的东西，让我们去恰当地思考。就如同一把雨伞，能撑开一片虚拟的天地，让我们在大雨中行走。

实际上，思考不存在的东西可以说是数学的特性。不存在的东西就是抽象的东西。现实中的“具体”在数学中变成了一种“想法”，作为一种想象的东西，出现在思维的中间环节里。

数学非常擅长制造两个指南针：一个叫“实用”，一个叫“优雅”。就像上面提到的数学家，她凭空发明了“4月34号”来推导日期，不但简洁方便，而且重要的是，这种方法更符合她自己的思维习惯，能迅速帮她理清情况、解决问题。那么，遇到更宏大、更复杂的问题时，这种方法还奏效吗？一样奏效。

02

一个“简单”的问题：抛上天空的苹果为什么会掉下来？

有人说，嗯，因为地球在下面啊。开普勒率先猜测，这种吸引力不是只有地球才有，而是物质的一种普遍特性。你当然知道，他猜对了。对于我们这些普通人来说，问题到这里也许就结束了，但科学性的论断，必须用准确和可以验证的说法把它表达出来——然后，牛顿来了。

牛顿院子里的苹果树，到底有没有长出改变人类科学史的苹果？谁知道呢。17世纪，牛顿在开普勒的猜测基础上提出：宇宙中的任意两个物体，无论它们是什么，身在何处，都会不断地相互吸引。借此，我们可以解释世间万物各种貌似不相干的现象：为什么苹果会掉落在地球上？为什么会有潮汐现象？天上旋转不停的月球和行星，居然和陆地上其他物体的运动有着一致的原理？

一个原理，解释了世界的运行——这对于17世纪的人来说，是不可思议的；对于今天的人来说，每当我们回顾这段历史，也会觉得牛顿真的是太“牛”了！

然而，这听起来很美好，事实上其中很多东西是含混不清的。牛顿认识到了这一点，于是，他毫不犹豫地撑起了数学这把雨伞：牛顿对引力做出了全盘的数学化处理，量化了他所描述的现象，使之能够与现实比照。

1687年，牛顿出版了科学史上的最具影响力的作品之一——《自然哲学的数学原理》，人们通常称之为《原理》。这本书为科学带来了诸多“转折点”。其中，对具有普遍性的引力的阐述，以及对物理学概念的数学公式化方法，尤其引人瞩目。

在《原理》中，这位科学天才写道：引力取决于两件事——物体的质量和物体间的距离。掌握了这些信息，你就可以通过一个数学方程来计算这个力。同时，方程明显展现了，物体的质量越大，物体间的距离越近，这个力就越强；反之，物体的质量越小，彼此的距离越远，这个力就越弱。

有科学史学家说，牛顿之所以能大咧咧地讥讽“死对头”胡克，能丝毫不怀疑自己的成就高于同时代任何一位对手，就是因为他发明了制造工具的工具——他玩转了数学。几个世纪后，科学界用这位英国科学家的名字命名了“力”的计量单位。

从引力开始，人类一步步走向维度、时空、黑洞……人类中最聪明的那批人开始探索宇宙万物最基本的原理，提出、证明、完善这些伟大的科学概念，他们所做的，大多依从牛顿的老方法：

1. 创造一个数学世界，在这个世界里把问题模型化；

2. 在数学世界里解决问题；

3. 把结果转回到现实世界中。

数学是美丽的，也是强大的，但不是完美的。牛顿吃过亏，爱因斯坦也吃过亏。高斯早就发现了（至少他自己这么说）新的几何，却什么都不敢做。有时面对现实，数学会显得别别扭扭。但数学作为工具，理解、分析、证明、明确这个物理的、现实的、实在的世界，却从来不会手软。关键就在于，把现实抽象化和模型化，是拨云见日的根本科学方法；把抽象的、模型化的东西带回现实生活，是应用科学的非凡能力。科学家们的方法和能力，也可以是我们的方法，这种能力完全可以，也应该被学习。

这场大雨，我们不再畏缩不前。

本文转自图灵新知，节选自图灵新书《数学的雨伞下》。