多么希望数学的李群，李老师，是中国人啊

马里乌斯·索菲斯·李(Marius Sophus Lie，1842 – 1899)。图源：维基百科

约翰·赫尔曼·李(Johann Herman Lie)是挪威西部努尔菲尤尔埃德的一位牧师。他的妻子来自特隆赫姆一个著名的家族。他们的儿子马里乌斯·索菲斯，未来的数学家，出生于1842年12月17日。在他很小的时候，全家搬到了克里斯蒂安尼亚（现代的奥斯陆）附近的莫斯，他在那里长大。后来他被送到克里斯蒂安尼亚的尼森拉丁实科学校，并于1859年毕业。李在中学的各科成绩都很优秀，但他那作为群论先驱的数学老师西罗（Ludvig Sylow）后来评论道，他当时就没有怀疑过李的潜能。不过李自己却说，他的数学探索之路漫长而艰难。

李高大壮实，面颊开阔，笑声高昂。因为他擅长体育，特别是体操，所以对他来说考虑从事军事职业生涯是自然的，但他因为眼睛散光而放弃了。作为替代，他1859年进入了大学，一开始修的是语言，但自从希腊语不及格后就转向了理科。他先前的老师西罗开始在大学里讲授群论，当时很多地方还没有开设这门课。李听了这门课，结果表明这对他以后的研究具有非凡的重要性。关于李和他的体魄，在克里斯蒂安尼亚流传着许多故事。有个周末他返回莫斯去看望父母，他徒步60千米走回家，结果发现父母不在家，于是又徒步走回学校。

李1865年从大学毕业，但没有取得他所期望的荣誉。接下来的几年对他来说并不容易。他多才多艺，但搞不清楚自己究竟想干什么。他试过在中学教数学，在天文台做助手，这些都没有让他真正满意。转折点出现在1868年，当他发现了彭赛列和普吕克关于现代几何学的工作时，他突然感到发现了一个他的才能可以迸发出来的领域。他特别为普吕克的下述想法而激动：将作为空间元素的点替换为更复杂的对象，如直线、曲线和曲面。此后，他感觉自己可以愉快地投入到数学中去了。

李发表的第一篇论文出现在1869年，虽然起初在让挪威科学院接受它时遇到了一些困难。论文展示了复平面的一个新的表示。他因此而获得了一笔游学资助，可以去国外继续他的研究。当时最显然的选择是去巴 黎或德国的几所大学之一。李首先来到柏林大学，他在1869—1870年的冬季学期在那里学习，正是在那里，他有幸结识了另一个天才的年轻几何学家费利克斯·克莱因（Felix Klein）。尽管两人的性格和观点多有不同，但他们成为了好朋友，并且在以后的岁月里深深地影响了彼此。被普吕克的线丛理论强烈影响的这个年轻人，在库默尔的研讨班上极其活跃，这个研讨班讨论的是与哈密顿的光线理论和同余式的微分几何有关的课题。

当李离开柏林时，他取道格丁根前往巴黎；后来克莱因也来与他作 伴。在巴黎，他们接触最多的法国数学家之一是微分几何学家达布。

而若尔当的大作《置换与代数方程论》(Traité des substitutions et les équations algébriques)也刚刚出版。正是在巴黎的这段时期，李开始研究变换群，这成为他的一个主要研究领域。

1870年普法战争爆发时，克莱因不得不返回德国。李也不得不离开巴黎，但他决定徒步旅行。然而他没有走出枫丹白露，就被认定为普鲁士奸细，抓进了监狱。他的数学笔记被认为是用密码写的军事机密。克莱因从德国寄来的一封信更增添了对他的怀疑。用达布的话来说:

他每天在森林里漫步，各种思想在他头脑里不停翻滚着，他在人迹罕至的地方停下来，用铅笔做笔记、画图。在那时，这是足以令人起疑心的。在枫丹白露被捕入狱以后……他联系了夏尔、贝特朗等人。我前往枫丹白露，让皇家检察官相信了他被查封的所有笔记涉及的是复形、正交系和数学家的名字，跟国家机密毫无关联。

多亏了达布的帮忙，一个月以后李被释放，刚好避开了普鲁士对巴黎的封锁，他取道瑞士和德国返回挪威，再没有遇到麻烦。

后来他被克里斯蒂安尼亚大学接纳为研究员，这让他完成了《论一类几何变换》(On a class of geometric transformations)的论文，并在1871年获得了博士学位。这篇论文在次年以一个长篇的形式发表在《数学纪事》上。李此时申请了瑞典隆德大学的一个教席，并在那里短期授课，但一些希望他留在克里斯蒂安尼亚的朋友向挪威政府呼吁，结果在1872年，他被母校任命为副教授。同时，他与来自特韦德斯特兰的安娜·伯奇(Anna Birch)订婚，两年后他们结婚；他们有三个孩子，两子一女。他们的婚姻很幸福，李非常顾家；家人的情感支持对他的幸福至关重要。

李现在步入了科研上最富有成果的时期。他的起点曾经是几何学，但现在他转向了微分方程理论。他开始洞察出他的变换群与一般的对称性之间的关联。此时，李所关注的是连续群，而克莱因关注的则是离散群。这两个年轻人时常通信。后来克莱因如此描述他们之间的差别：“李是一个非常有成效的研究者；他发展出他本人的思想，只有当那些外来的东西能引起他的直接兴趣时，才会引起他的注意。我本人已经在波恩发展了这一思想，我一直坚信，通过理解和比较各种不同观点，我就能取得某种科学成就。特别地，我当时及很久以后还对物理学产生兴趣。我决不像李那样心中只有数学。”

尽管他在本土的学术界很孤立，但19世纪70年代是李一生中最紧张、最有创造力的岁月。然而，他对自己的思想没有引起国外数学家的更多关注而深感不满。在一封写给德国通讯记者的信中，他写道：“要是我知道如何让数学家对变换群及其对微分方程的应用感兴趣该多好，我确信———在这个问题上绝对确信，这些理论将来会被视为根本性的理论。我想现在就形成这样的印象，因为首先我可以取得十倍的成就。”

这一不满引导他重新研究微分几何。1882 年秋，他重访了巴黎，并好像给法国数学家留下了深刻印象。他写信给克莱因：“在科学院我见到了阿尔方(Halphen)、达布、庞加莱、莱维(Lévy)和斯特凡诺斯(Stephanos)，他们每个人都很热情。无论如何，我的几何学研究在 巴黎比在德国更有名。我期望也有人愿意听我讲变换群。”尚未听说克 莱因的埃尔兰根纲领的庞加莱对李解释说，“所有的数学都是群的故 事”。后来李再次写信给克莱因：“达布极其深入地研究了我的工作。至少他在巴黎大学把我的理论更多地搬到课堂上，例如直线几何学与球面几何学、切触变换和一阶偏微分方程，这很不错。但可气的是，他接连抢夺我的研究成果。他做了些非本质的修改然后拿去发表，但从未提及我的名字。现在他又开始弄常曲率曲面了。”

克莱因理解李在克里斯蒂安尼亚大学所感受到的数学上的孤立，没有任何人能分享他的思想，因此在1884年，克莱因派了他的一个学生恩格尔(Friedrich Engel)到克里斯蒂安尼亚跟随李学习了9个月。李的几何思想通常是靠直觉获知，恩格尔在将它们转换为更精确的数学形式从而能够用于发表方面大大地帮助了李。恩格尔和索菲斯·李建立了长达一生的亲密友谊。

两年后，接替转到格丁根大学的克莱因，李接受了莱比锡大学的一个教授席位。这给了他想要在主要的数学中心工作的机会，在那里他可以向更能接受他的人阐述他的思想。他坚信变换群的理论与微分方程的理论相关。写出作为其基础的群论是一项长期的计划，直到1893 年，三卷本的《变换群理论》(Theory of Transformation Groups)才完成。李本人只写了序言，而其他所有内容都是恩格尔和李的学生舍费尔(Georg Scheffers)执笔的。

与此同时，他与巴黎数学家的接触也开始有了回报。在那时，年轻的法国数学家去德国求学是极不寻常的；令李备感骄傲的是，巴黎高等师范学院将一些最好的学生派送到他门下学习。一些年轻的美国人也来到莱比锡大学追随他学习，也许是被他无拘束的教学风格所吸引。“李从不系领带”，有学生回忆说，“他的课会这样开场：‘伙计们，请把你们的笔记给我看看，这样我就能想起上节课我们讲到哪里了。’然后坐在前排的学生会递上笔记，而李则慢慢的点点头，说‘现在我想起来了。’”然而李也并非没有批评者。例如，克莱因就有一次同时抱怨魏尔斯特拉斯和索菲斯·李，因为他们只讲自己的那些完全与众不同的观点，而将其他观点排斥在外。

李发现莱比锡大学的生活并不完全适合自己。首先，语言不同就成了一个问题。他的教学任务比在克里斯蒂安尼亚大学要重得多。他第一次有了一批优秀的研究生，包括舒尔(Friedrich Schur)、施图迪 (Eduard Study)和豪斯多夫(Felix Hausdorff)，可是一旦毕业并得到其他地方的职位，他们就自然而然离开了。他越来越厌倦指导那些能力差且有依赖性的学生。令李尤其懊恼的是，他发现自己被同事当作克莱因的弟子对待。他开始失眠，并在1889年秋天经历了一次精神崩溃。他进了汉诺威附近的一个精神病治疗所，他在那里坚称自己不可能是病人，抗拒对他实施的麻醉治疗。第二年他能够重新开始教学了, 但他的信件显示,直到两年后他才完全康复。那时他写道，他重新获得了健康，并且“伴随着睡眠，生活和工作的乐趣又重新回来了”。

从精神崩溃中恢复后，李似乎重获了他的科研能力，但他坦率的性格大大改变了。他变得越来越敏感、急躁、多疑和愤世嫉俗。也许他所表现出的沮丧与偏执的症状是由未确诊的恶性贫血导致的，这也最终导致了他的死亡。他开始尖锐地攻击他的同事，甚至与他忠实的弟子恩格尔绝交。1892年，在克莱因与李之间产生过一次重大的冲突。克莱因想修订他20年之前的埃尔兰根纲领，希望补充一些李的工作。但关于如何做这件事，两人之间意见分歧很大。此外，与他们先前的约定相违，克莱因烧毁了李在1877年以前写给他的所有信件。1893年，李通过公开攻击克莱因而震惊了德国数学家们，因为克莱因当时是德国数学研究圈的领袖。他写道：“我不是克莱因的学生，克莱因也不是我的学生，虽然那更贴近真相。”

当李转到莱比锡大学时，他并没有辞去克里斯蒂安尼亚大学的职位,他只是休假，六到八年以后，他准备返回了。他写信给挪威的朋友：“我无法用言语来描述我是多么期待回到挪威。我的神经系统在莱比锡大学大受损伤，在这里我错过了锻炼和享受自然灵气的机会。”

得知他的想法后，挪威政府为他在克里斯蒂安尼亚大学专门设立了一个关于变换群理论的教授职位，并提升了薪金，以确保回国对他不造成任何经济损失。那是在1894年，但李直到四年以后才离开莱比锡大学接受这个职位。他在1898年秋季学期开始授课，但几个月以后不得不中止。那时已经知道他患上了恶性贫血，这在当时是致命的，他的情况很快恶化了。李在1899年2月18日去世，享年56岁。

多年以后，克莱因的遗孀安娜 (Anna)如此回忆他最后的那些岁月：

我夫君与李的关系在数学上和在私交上都是亲密的。一直持续到很晚的时候，当李来莱比锡大学拜访我们时都是如此。我也很喜欢他，这个精神威武的挪威人，带着直率的眼神与令人愉快的笑声，这个英雄出现时凡夫俗子都不敢冒然露脸。后来他成为我夫君在莱比锡大学的继任者，他在那里犯了思乡病。我对此是多么理解！他这个习惯了他那粗犷而美丽的北方家乡的自由人，怎么能忍受这个烟雾弥漫的城市，这些高楼大厦与狭小街道，还有孱弱的撒克逊人？他得了抑郁症，并被送到一所疗养院，但情况只是变得更糟，因为这剥夺了他的工作和自由。正是在这种痛苦的状态下，他写下了一些恶毒的东西，令我夫君很痛苦，并感到无法理解。但很快我的夫君认识到，他最好的朋友病了，无法对他的所作所为负责。我夫君没有陷入任何争论而仅仅是把它撂在一边，这不仅仅是宽宏大量和善良，这也是明智的。他没有误解他的朋友。某个夏夜，当我们远足归来，发现家门口坐着一个苍白的病人。“李！”我们惊喜地呼唤。两位风烛残年的老友两手紧握四目相对，自从上次见面后所发生的一切都烟消云散了。李跟我们待了一天，这位亲密的朋友，已经变了。我无法不带感情地想起他，想起他的悲惨命运。不久以后他去世了，但在那之前，他在挪威得到了国王般的礼遇。

本文源自《数学巨匠》，作者约安·詹姆斯（Ioan James），潘澍原，林开亮等译，上海科技教育出版社2016年9月出版。