关于十年美债利率的定价方程和数学的意义

引子

近期，美债的期限利差见顶回落，已经回落至-43bp附近。

不少投资者会有这样的疑问：

1、为什么加息周期末期期限利差始终为负？

2、这个阶段期限利差的波动机制又是什么？

这篇文章将回答这两个问题，并把我们之前的理论做一个整合。

两年美债利率的定价方程

两年美债利率是预期引导型货币体系的基石，我们从它的定价方程开始我们的讨论。

在《预期引导型货币体系和美联储的预期管理框架》一文中，我们讨论了两年美债利率的实质：对联邦基金利率预期路径的一种测度。

如上图所示，对于这个测度，更加数学化的表达过程如下所示：

1、在t时刻，有对未来联邦基金利率的预期函数γ（θ，t）；

2、我们对这个函数在【t,t+2】区间上积分，就可以得到两年美债利率的函数；

3、其中，θ为一组向量，代表基准预期框架。

我们用函数R（θ，t）代表γ（θ，t）在【t,t+2】区间上的积分，即我们经常所说的内部面积。

时间效应

在《价格预测的本质》一文中我们有提到时间效应，在这里我们将更详细地论述它。

如上图所示，我们让时间往后推移一个单位，前端的面积减少了一块，后端的面积增加了一块，把一增一减综合在一块，就是时间效应。

更进一步，我们可以结合实际情况去讨论时间效应。假设θ不变，即基准预期框架保持：1、未来有一次加息；2、明年有两次降息。

如下图所示，11月11日所对应的两年美债利率在5.06%。

12月11日，所对应的两年美债利率在4.96%。二者的差值就是-10bp，即时间效应。

放到两年美债利率的K线图上，其实际含义更加明确：给定θ不变的情况下，预期一个月后两年美债利率变化多少。

期限利差的定价方程

在数学上，我们可以把时间效应表达得更加精确，即R（θ，t）的导数，我们可以用dR（θ，t）/dt来表达。

不难发现，时间效应意味着市场对货币政策的预期，然而，还有其他影响期限利差的因素，最重要的是以下两个：

1、对经济的预期——风险偏好；

2、经济现实状况——货币的派生情况；

我们让这两个参数融合在μ和c两个参数之中，于是，期限利差可以表示为：

μ*dR（θ，t）/dt+c

于是，我们就得到了十年美债利率的定价方程：

结束语

综上所述，我们可以得到以下结论：

1、十年美债利率几乎都是预期项，现实项有两个：a、即期联邦基金利率；b、经济现实——货币的派生状况；

2、美联储对十年美债利率的掌控力很强，因为，他既掌控了两年美债利率本身，也掌控了两年美债利率的一阶项；

3、经济预期和经济现实是美联储无法直接掌握的项，它们相对独立；

4、在加息周期的末期，两年美债利率的一阶项必然为负，因此，期限利差往往是负的，一阶项的斜率越陡峭，期限利差负值的程度越深；

5、在加息周期的末期，美联储重点管控的不是两年美债利率本身，而是，两年美债利率的一阶项：

6、数学的意义不仅仅在于计算具体的数字，而在于具备一致性地去表达复杂的客体关系，其背后的要点是两个：a、定义良好；b、一致性体系；

7、不要老去想现实，要利用数学语言，沿着预期这条道往下走，现实的确重要，但跟预期比起来，它的权重实在是太小了。

ps：数据来自wind，图片来自网络

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