从专业角度谈谈2023高考数学天津卷压轴题(昨天的删文重发)
职业数学家在民间
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风云老师精华文章：
中小学篇：
1，在没有培训的时代，该如何规划中小学数学学习呢？该如何规避一些典型误区？
2，学数学自学提前学，该选择什么样的教材，该选择什么样的课外书？？？
小学篇：
3，小学数学的几何这一块究竟该怎么学，风云老师为你划重点和核心！
5，职业数学家出的一份小学数学试卷(不断更新中，已更新至21题)
中学篇：
2，初高中的几何究竟该怎么学？？风云老师为你传授绝世神功！！！
４，高考非常难，而中考却简单的新形势下，该如何整体规化初高中数学学习？？
高考篇：
1，风云老师详细讲解2022高考数学北京卷(不愧是首都高考卷)
2，风云老师详细讲解2022高考数学浙江卷(我从未有见过如此难度的高考数学题)
3，风云老师详细讲解2022高考数学乙卷理科(据说有道题出错了？)
第一小题，就是简单求导，请允许我之间跳过。
第二小题，千万不要着急对f(x)-1求导，注意要先化成等价不等式，
(x+2)ln(x+1)-2x>0
然后在对左边求导。
前面两小题都非常常规，我们重点谈谈这个第三小题。
二，
第三小题的这个结论，是相当强的，因为误差仅在1/6以内！
有分析学专业背景的读者，应该能看出了，这是Euler-Maclaurin求和公式的直接推论。题目中的ln(n!)其实就是和式：
ln(1)+ln(2)+。。。。。+ln(n)
Euler-Maclaurin求和公式有多种版本，最初阶的版本如下
图片来源于 Karatsuba《Basic analytic number theory》
但是，要推出第三小题这个结论，初阶版的求和公式是不够的，需要用到较强的二阶版本才可以直接推出：
图片来源于 Karatsuba《Basic analytic number theory》
注意当 f(x)=lnx时，这求和公式的最后一个积分项，本质上是一个交错和，其中第一项是
简单计算发现这个定积分的值是介于-1/6和0之间(实际上1/6可以改进为1/12)，
由此容易估计出上面这个Euler-Maclaurin求和公式的最后一项积分值也是介于-1/6和0之间，所以可以直接推出第三小题的结论。
Euler-Maclaurin求和公式是解析数论中的一个非常基本的工具，使用频率非常高。如果数学专业的本科生或者硕士生，学解析数论课程学到了Euler-Maclaurin求和公式时，这道第三小题就是一道绝好绝好的课后习题。
可惜，这种题目，
居然出现在了高考卷？？
三，
注意Euler-Maclaurin求和公式的证明涉及分布积分，
而正常的高中生，根本不会学到积分。
所以，指望考生会顺着Euler-Maclaurin求和公式的证明思路来证明这个第三小题是不现实的。
这道题几乎肯定是考察学生利用初等数学的工具再加上函数求导和单调性。
那么，利用函数求导和单调性能不能求出这道题呢？
理论上都是可以求的，
因为一切利用积分和中值定理求来的那些常见函数不等式，都可以用函数求导和单调性暴力证明。
但是，关于这个对数函数ln(x)的求和，以及无数其他函数的求和公式而言，积分方法才是本质的，才是通法。
如果非要另辟蹊径，非要企图利用函数求导和单调性来证明这第三小题，那注定就要重构一个证明框架，单单第二小题的那点微弱的线索肯定是远远不够的，
远远不够！
我不知道大家听懂我的意思了没有，所谓的重构一个证明框架就是指在没什么解题线索和突破口的情况下，自己精心设计整个证明思路框架，并把它一步步实现，
这，
很难，
非常难！
四，
历史上，很难的高考大题非常多，但至少这些题目还有一定的线索和突破口。
历史上，天外飞仙的高考证明题也有，比如有一年考了勾股定理的证明，但勾股定理的证明不算难，而且非常简短。
相比较之下，这第三小题，要求利用函数求导和单调性，重构一个证明框架，，，，，
这对于临场的天津考生而言，这个要求实在是
太，，，，
高了！
我很好奇，
出卷人在决定出这道题的时候，
心里是怎么想的？
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