几千年前的古人是如何解答算术题的？？？
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小学阶段，学生们都学过用加减乘除方法求解简单的算术题，到了初中就会学列方程解较为复杂的算术题。列方程求解的方法是非常通用的，仅用一两种方法就可以解决许许多多种类的算术问题。在《中小学数学要义》第三章中，我们也着重强调了列方程实质上就是提炼问题的数学本质。
但是对于几千年前的古人而言，这种设未知量为x然后列方程求解的抽象方法根本是无法想象的。所以他们只能运用一些非常原始朴素的方法求解各种类型的算术问题。和抽象的方程方法相比，这些原始朴素的方法更接近人类的直觉，更能反映人类早期探索数学解题思路的原始痕迹。
今天，我们就来介绍几千年前的古人最常用的一种解题方法——试错法(false position)。所谓的试错法就是针对特定的算术问题，先猜一个简单的答案，这个答案多半是错的，但这个错的答案却可以作为重要线索进一步探索最终的正确答案。
最早有文字记载使用试错法的是三千多年前的古埃及人，实际上古埃及人非常擅长使用试错法。在现存的古埃及莱茵德纸草书中就有记载这样一个问题：
某个数加上它的¼倍后会等于15，求这个数。
这个问题如果列出方程x + ¼ x= 15求解实在是太容易了。那么，古埃及人是如何解这个问题呢？
他们先尝试一个答案4，但是4加上它的¼倍后却等于5，所以这个答案肯定是错的，但是注意15是5的3倍，所以正确的答案是4×3=12！
在另一份古埃及文献——柏林纸草书碎片记载着下面这个问题：
将面积为100的正方形分成大小两个正方形，使得两个大小正方形的边长比率是1比3/4。
文献中的解法是先假设大小正方形边长分别是4和3，那么面积和就是16+9=25，而题目给出的原始大正方形的面积是100，为25的4倍，所以最终答案是大小正方形边长分别是8和6。
几乎同一时期的古巴比伦人，在数学解题上，也经常使用试错法，例如在编号为VAT8386的古巴比伦泥板文献中记载了这样一个问题：
一块土地每年每sar可以生产粮食2/3sila，另一块土地每年每sar可以生产粮食1/2sila。已知第一块土地比第二块土地每年多产粮食500sila，且两块土地总面积为1800sar。问两块土地面积分别是多少？
这个问题列出二元一次方程组就是：
现在我们都能轻而易举地解出这个方程组，那么古巴比伦人是怎么处理这个问题呢？
他们先假设两块土地都是900 sar，这时第一块第一块土地比第二块土地每年多产的粮食就不是500sila，而是150sila，这跟题目的条件相差了350 sila。所以为了凑出这多的350 sila，必须让第一块土地的面积增加一些，而第二块土地的面积减少同样多。那么，该增加多少呢？
这个增量的2/3与增量的1/2之和应该等于350，所以增量为
350÷(2/3+1/2)=300
所以最终答案是1200和600
最后值得一提的是，在中国古代一千多年前的数学著作《孙子算经》中也有一个典型的试错法应用问题：
“今有五等诸侯,共分橘子六十颗,人别加三颗.问:五人各得几何?”
这段文字的意思是说，有五位诸侯按爵位分60个橘子,他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问每个人各分几个橘子。
《孙子算经》中的解法是先给出一个试探的答案，
3，6，9，12，15，
这确实是公差为3的等差数列，但这时才分了45个橘子，还剩下15个橘子。如果把剩下的15个橘子平均再分给这五个人，那么每人所分的橘子数仍然还是一个公差为3的等差数列。所以最终的答案是
6，9，12，15，18
从数学教育的角度来看，很多学生在解题的时候也会使用这种试错法，虽然这种方法今天看起来不是很正规，但却反映了学生自主探索解题思路的过程。
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